Теорема 1.3.1 (Эргодическая теорема Фостера).

Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

имеет нетривиальное решение  такое, что При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим. [2, с. 8-14]

Эргодичность исследуем в соответствии с теоремой 1.3.1. Рассмотрим условия теоремы.

Регулярность следует из того, что .

,            ,            .

Согласно рисунку 1.1, получим:

,                   ,                 .

Таким образом, регулярность выполняется.

Так как все состояния сообщаются с нулевым, то есть в любое состояние можно перейти из нулевого  и в  можно перейти из любого состояния, путем поступления, обслуживания и ухода заявок из сети, то отсюда следует неприводимость.

Примечание – здесь учитывается, что матрица переходов  неприводима.

В качестве нетривиального решения системы уравнений из теоремы 1.3.1 возьмем . Тогда для эргодичности потребуется, чтобы     . Тогда получим,

,

где

,

Последний ряд сходится по признаку сравнения, если сходится ряд

Условие (1.3.1) и есть искомое условие эргодичности. Если это условие будет выполнятся, то будет существовать единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим.

ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ С ТРЕМЯ УЗЛАМИ

Пусть имеется открытая сеть массового обслуживания, состоящая из трёх узлов, в которую поступает простейший поток заявок с параметром . Причём, в первую систему массового обслуживания, входящая заявка поступает с вероятностью . Времена обслуживания заявок в -ом узле заданы функцией распределения времени обслуживания -ым прибором одной заявки ,  . При этом налагается следующее требование

, .            (2.1)

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети LCFS PR - заявка, поступающая в -ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться. Вытесненная с прибора заявка становится в начало очереди. Схематически сеть изображена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1

Состояние сети описывается случайным процессом

,

где , ,  - остаточное время обслуживания заявки, стоящей в -ой позиции.

Примечание. Случайный процесс

,

где - число заявок в -ом узле в момент , не является марковским процессом. Для марковизации процесса включаем дополнительные переменные. Чтобы  был марковским процессом, дополнительные переменные возьмем, как остаточные времена от момента времени  до полного завершения соответствующих времен. Значит, процесс  -марковский процесс.

Таким образом, из вышесказанного следует, что построена полумарковская модель открытой сети с тремя узлами.