При вирішенні багатьох задач у проекціях з числовими відмітками використовують такі поняття та визначення: заложення, нахил та інтервал прямої. Для з'ясування значення цих понять та визначень розглянемо рис. 2.7, де дано наочне зображення прямої AВ і її горизонтальна проекція A_2,6 В_4,4 на основну площину π₀ .

Заложенням називається довжина горизонтальної проекції від- різка прямої на основну площину і позначається буквою L /див. рис. 2.7/: L = A_2,6В_4,4 - заложення відрізка прямої А В.

Різниця числових відміток кінців відрізка прямої, тобто різниця висот або координат Z точок його кінців, називається підйомом відрізка прямої і позначається буквою h /рис. 2.7/ на відміну від позначення висот точок відрізка прямої буквою Н .

Підйом h відрізка AB /див. рис. 2.7/: h = Н_В-Н_А = 4.4 -- 2,6 = 1,8 м.

Заложення та підйом відрізка прямої вимірюються в одиницях масштабу.

Нахилом прямої і називається відношення підйоме відрізка прямої до заложення цього ж відрізка /див. рис. 2.7, ∆ABB : і = h/L

Оскільки кут, утворений прямою і її проекцією на основну площину π, дорівнює куту α - куту нахилу прямої до площини π₀ /див. рис. 2.7, ABB/, можна дати таке визначення нахилу прямої: нахил прямої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до основної площини: i = tg α = h/L /2.1/

Нахил прямої задається в десяткових дробах aбo у вигляді відношення 1:n, де n - будь-яке додатне число. Наприклад, нахил прямої AB /див. рис. 2.7, ∆АВВ / дорівнює: i=h/L= I.8/3.6 = = 0.5 - нахил заданий в десяткових дробах або i=1 : 2 - нахил прямої А В заданий, у вигляді відношення.

Іноді нахил вказують в промилях /позначається "°/оо"/ або в процентах /позначається "%"/. Промиле - одна тисячна будь-якого числа, а процент - сота частина будь-якого числа, тоді промиле - це десята частина процента. Наприклад:

 І°/оо = 0,1% = 1:1000 = 0,001;

 10°/оо = 1% = 1:100 = 0,01;

 50°/оо = 5% = 1:20 = 0,05;

 500°/оо = 50% = І:2 = 0,5.

На рис. 2.7 точки С та D прямої АВ мають числові відмітки, які дорівнюють 3 та 4, тобто підйом відрізка CD дорівнює одиниці, а довжина відрізка С₃D₄ - проекція відрізка CD на основну площину - являє собою інтервал прямої AВ.

Довжина горизонтальної проекції відрізка прямої, підйом якої дорівнює одиниці, називається інтервалом прямої /позначається буквою l /. Інтервал прямої чисельно дорівнює відношенню відрізка прямої до його підйому /див. рис. 2.7, ∆CDD/: l = L/h (2.2)

Інтервал прямої AB /див. рис. 2.7/ становить l = 3,6/1,8 = 2 м.

З /2.2/ випливає, що при h = 1 заложення чисельно дорівнює інтервалу, тобто і = l. Тоді інтервалу прямої можна дати і інше визначення: інтервал прямої є заложенням при підйомі, рівному одиниці.

Якщо знати нахил прямої або її кут нахилу до основної площини, пряму загального положення в проекціях з числовими відмітками можна задати горизонтальною проекцією з відміченими на ній однією точкою з числовою відміткою і нахилом прямої /рис. 2.8/ або кутом її нахилу /рис. 2.9/ до основної площини із зазначенням напряму спуску. Напрям спуску відмічається на кресленні відрізком прямої, на одному кінці якого показано стрілку, що вказує напрям зменшування числових відміток точок прямої.

З /2.1/ та /2.2/ виплаває, що і = 1/l = 1:l, тобто нахил та інтервал прямої - величини, обернені одна до одної. Наприклад, якщо нахил прямої задано у вигляді десяткового дробу і = 0,5, то цьому нахилу прямої відповідав інтервал прямої l = 1/і = 1/0,5 = 2; якщо нахил пряної задано у вигляді відношення і = 1:2,5, то цьому нахилу прямої відповідає інтервал прямої l = 2,5, оскільки і = 1:l = 1:2,5. З /2.1/ випливає, що при L = 1 нахил прямої чисельно дорівнює підйому, тобто і = Нl, отже, можна дати таке означення нахилу: нахилом прямої називається величина підйому відрізка прямої при заложенні цього ж відрізка прямої, який дорівнює одиниці.

Таким чином, якщо на проекції прямої на плані взяти відрізок, чисельно рівний одиниці масштабу, то підйом цього відрізка, заложення якого одиниця, чисельно дорівнює нахилу прямої. На цьому грунтується графічне визначення нахилу прямої.

Наприклад, потрібно графічно визначити нахил прямої AВ , яка зображена на плані своєю проекцією А_4,2В_1,6 /рис. 2.10/. Для цього будуємо профіль АВ відрізка прямої AB на вертикальну площину π у масштабі плана. Потім на горизонтальній проекції А_4.2 В_1,6 відкладаємо відрізок, заложения якого L = 1, і знаходимо підйом h цього відрізка, який чисельно буде дорівнювати нахилу i прямої AB : і = h = 0,6.

Градуювання прямої

Кінці відрізка прямої часто задають на плані числовими відмітками, які виражаються дробними числами. При розв'язуванні багатьох задач треба знати положення проекцій точок прямої з ціло-чисельними відмітками.

Розглянемо докладніше рис. 2.7. Пряма AB і її проекція А_2,6 В_4,4 розташовані у вертикальній площині π. В цій же площині паралельно проекції А_2,6 В_4,4, а отже, паралельно площині π₀ проводимо лінію рівня - горизонтальну пряму з числовою відміткою, рівною 3, і вище цієї лінії рівня на відстані, що дорівнює одній одиниці масштабу, проводимо лінію рівня з числовою відміткою 4.

 Ці лінії рівня перетинають пряму AB у точках С та D , які будуть мати числові відмітки відповідно 3 та 4. Спроецюємо точки С та D на горизонтальну проекцію А_2,6 В_4,4, одержимо проекції С₃ та D₄.

Існує декілька способів градуювання прямої, що являють собою різні варіанти розв'язування задачі ділення відрізка у данному відношенні.

1. Спосіб профіля. По цьому будують суміщений з основною площиною або з іншою горизонтальною площиною профіль прямої, причому висоти точок відкладають або в масштабі плану, або з метою більш точною градувванш прямої в більшому масштабі, ніж масштаб плана. Потім паралельно осі проводять ряд прямих на відстані одна від одної, що дорівнює одиниці масштабу, в якому відкладались висоти точок прямої. Приймають ці прямі за лінії рівня з ділочисельними відмітками. Опроеціювавши потім ці точки на проекцію прямої на плані, одержують на ній точки, які мають цілочисельні відмітки, таким чином виконавши операцію градуювання прямої.

Способом профіля розв'яжемо задачу на градуювання відрізка прямої АВ/рис. 2.11/. Для цього:

1/ будуємо суміщенний з основною площиною π₀ профіль АВ відрізка прямої AB, відкладаюча висоти точок А та В у масштабі плана;

2/ паралельно осі х проводимо ряд паралельних прямих, віддалених одна від одної на відстань, що дорівнює одиниці масштабу, і приймаємо ці прямі за лінії рівня з числовими відмітками 1, 2, 3, 4 та 5;

3/ знаходимо точки перетину ліній рівня з профілем AВ : точки 2, 3, 4 та 5 будуть мата числові відмітки, рівні 2, 3, 4 та 5;

4/ точки 2, 3, 4 та 5 опроектуємо на А_1,3 В_5,2, при цьому точки 2, 3, 4 та 5 перетину лінїй проекційного зв'язку з А_/,3 B_5,2 і будуть проекціями точок, які мають цілочисельні відмітки 2, 3, 4 та 5.

З рис. 2.11 легко графічно, тобто без обчислень, визначити інтервал l прямої AВ - він дорівнює довжині відрізка проекції прямої на плані між точками, які мають цілочисельні послідовні відмітки, оскільки підйом цих відрізків дорівнює одиниці масштабу.

Після градуювання прямої можна визначити відмітку будь-якої точки прямої і задати на ній точку, що має дану відмітку. Для цього відрізок між цілочисельними відмітками ділимо у пропорціональному відношенні.

Градуювання прямої способом профіля, який полягає у проведенні через рівні відстані паралельних прямих, покладено в основупалетки, що використовується при наведені горизонталей рельефа земної поверхні на планах і картах.

2. Способ пропорціонального ділення. Суть його розглянемо на прикладі градуювання прямої AВ , проекцій якої зображена на рис. 2.12.

З одного кінця відрізка прямої /точки А_1,4 / проведемо допоміжну пряму в довільному напрямку, на якій відкладемо в масштабі плана або в більшому відрізок АС', рівний підйому відрізка AB : h = H_B - H_A = (4.8 - І.4)l₁ = 3,4l , де l₁ - oдиниця масштабу, в якому вимірюємо підйом відрізка АВ.

На прямій АС від точки A_1,4 відкладемо відрізок, рівний 0,6l₁ , і позначимо точку 2. Точки 3, 4 віддалені одна від одної на відстань l₁. На рис. 2.12 l₁ дорівнює одиниці масштабу плана, тобто l₁ = 1м. Точка С віддалена від точки 4 на відстань, що дорівнює 0,8l₁.

Кінцеву точку С сополучимо з точкою В_4,8 і з кожної точки поділки /точки 2, 3, 4/ проведемо прямі, паралельні СВ_4,8. Ці прямі визначають в перетині з А_1,4 В_4,8 проекції точок прямої AВ , що мають числові відмітки, рівні цілим числам /див. рис. 2.12/. Це дає змогу поряд з визначенням числових відміток будь-якої точки відрізка прямої знайти також графічно і інтервал прямої l /див. рис. 2.12/.

3. Аналітичний спосіб дає змогу визначити положення точок прямої, що мають цілочисельні послідовні відмітки, за допомогою обчислення.

Проградуюємо аналітичним способом пряму АВ, наочне зображення якої показано на рис. 2.7, а зображення на плані - на рис. 2.13. Градуювання виконуємо в такій послідовності: визначаємо інтервал прямої за формулою /2.2/: підставляючи L = 3,6 м, h = 1,8 м, одержуємо l = L/h = 3,6/1,8 = 2м. Заходимо положення точки С з цілочисельною відміткою 3, наближчої точки А_2,6 її визначимо таким чином. На рис. 2.7 із порівняння подібних трикутників АСС та СDD можна скласти пропорцію: x/h = l/1, де x - відстань проекції точки С , що має цілочисельну відмітку 3 /точка С₃/; до точки А_2,6; h AC - підйом відрізка АС; l - інтервал прямої. З цієї пропорції знаходимо: x = hACl = /3 - 2.6/ 2 = 0.8 м. Потім від точки С відкладаємо відрізок, рівний інтервалу прямої AВ /l = 2 м/, і позначаємо точку з числовою відміткою 4 /точка D₄ /.

Приведену в останньому прикладі на градуювання прямої пропорцію можна використовувати для визначення відстані х від проекції точки прямої з відомою числовою відміткою /відома точка прямої/ до проекції точки прямої, числова відмітка якої задана. Відстань х знайдемо за формулою: x = hl , /2.3/

де h - підйом відрізка прямої між визначуваною і відомою точками прямої; l - інтервал прямої.

Прямі часткового положення

Пряма відносно основної площини може займати часткове положення: бути паралельного /горизонтальна пряма, або горизонталь, це лінія рівня/ або перпендикулярною /горизонтально-проеціююча пряма, або проецююча/ до основної площини.

На рис. 2.14 показані зображення прямих часткового положення на плані.

У горизонтальної прямої числові відмітки будь-яких двох точок однакові, тому горизонтальна пряма може бути задана на плані своєю проекцією і проекцією двох її точок, числові відмітки яких однакові, наприклад пряма AВ . Горизонтальну пряму можна позначити, вказуючи лише її числову відмітку, наприклад горизонталь з числовою відміткою 5.

Проеціюючу пряму на плані завжди позначають проекціями двох нетотожних точок прямої, які на плані збігаються /проецюються у точку/, наприклад проеціююча пряма CD.