Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
© 2018 - 2024
Розділ. І . Метод проекцій з числовими відмітками, проекції точки
Проекції точки. План
На комплексному кресленні /рис. 1.2/віддаль точки А від горизонтальної площини проекцій визначається відрізком А"Ах , тобто координатою z точка А : \ А"Ах \=ZА. Довжина відрізка \ А"Ах\ -це висота точки А або перевищення її відносно горизонтальної площини проекцій. На рис. 1.1. висота точки А з урахуванням масштабної одиниці дорівнює 4, тобто точка А має координату ZА= 4.
У методі проекцій з числовими відмітками проекції точок можна розглядати як горизонтальні проекції комплексного креслення.
На рис. 1.3. зображена горизонтальна проекція тієї ж точки А, що і на рис. 1.2. яка визначена координатами х та у точки А : А4 (х,у). Недостаючу координату Z точки А одержимо, вимірюючи довжину відрізка \А"Ах\ на комплексному кресленні /див. рис. 1.2/: z = А"Ах = 4. Цю висоту точки А , що дорівнює 4 і вказує на віддаль точки А від площини π0 , записуємо у вигляді числової відмітки. Вона проставляється поряд з горизонтальною проекцією точки А : А4 , де 4 - числова відмітка точки А .
Числові значення висот точок, що вказують на віддаль точок від горизонтальної площини проекцій /основної площини/, називають числовими відмітками або просто відмітками точок.
Очевидно, що числова відмітка точки разом з її горизонтальною проекцією становить оборотне креслення точки, одержане при її проектуванні на одну площину проекцій, оскільки числова відмітка замінює проекцію точки А на вертикальну площину проекцій, яку можна не відтворювати.
У проекціях а числовими відмітками проекцією точки називається. Її ортогональна проекція на основну площину, що супроводжується числовими відмітками, які вказують на віддаль точки від цієї ж основної площини. При цьому слід пам'ятати, що ортогональні проекції точок можуть не мати літерних позначень. В цьому випадку поряд з проекціями точок проставляються тільки їх числові відмітки.
Числові відмітки можуть бути як додатними, так і від'ємними.
Проілюструємо це на рис. 1.4. де побудовані прямокутні ізометричні проекції точок з урахуванням одиниці масштаба по заданих координатах точок: А /3, 2, 3/; С /2, 3,0/; В /4, З, -З/.
Далі виконуємо такі дії:
1. Через аксонометричні осі Ох та Оу проводимо основну площину π0
2. Спроектуємо точки А , В та С на площину π0 одержимо горизонтальні проекції точок А , В та С.
3. Поряд з горизонтальними проекцїями точок проставляємо їх числові відмітки з урахуванням одиниці масштаба /рис. 1.4/. При цьому точка А , яка розташована вище площини π0, має додатну числову відмітку: 3 - числова відмітка точки А ; точка В , яка розташована нижче площини π0 , має від'ємну числову відмітку; -З - числова відмітка точки В; точка С , яка знаходиться в площні π0 , має числову відмітку, що дорівнює нулю.
4. Площину π0 разом з проекціями точок з числовими відмітками і масштабом сумістимо з площиною креслення /рис. 1.5/. Одержане таким чином креслення називається планом або кресленням у проекціях в числовими відмітками.
Планом називається креслення, що являє собою зменшене та подібне зображення проекцій об'єкта, наприклад ділянки місцевості, на основну площину проекцій.
На плані проекцій точок, що лежать над площиною J, мають додатні числові відмітки, під площиною π0 - від'ємні /перед числовою відміткою ставиться знак "-"/, а в площині π0 - нуль.
Осі Ох та Оу , які показані на рис. 1.5. при зображенні місцевості на плані, як правило, не проводять, а положення проекцій точок на плані можна визначити не відносно осей Oх та Оу , а відносно інших точок місцевості, зображених на плані. При цьому рис. 1.5. набуває вигляду рис. 1.6.
В CРСP при зображенні рельєфу земної поверхні висоти її точок введені до нуля Кронштадського футштока /риска на мідній дошці, встановленій у гранітному стояні моста через Обвідний канал у Кронштадті/. При цьому одержимо значення абсолютних висот точок. Проте вдаються до вимірювання умовних висот точок відносно довільно розташованої горизонтальної площини, яку приймають за основну площину /площину нульового рівня/. Наприклад, при розробленні будівельних креслень площину нульового рівня умовно розташовують на рівні підлоги першого поверха будинку.
На практиці часто буває зручно перейти від однієї основної площини проекцій до іншої, їй паралельної і розташованої вище aбo нижче первісно вибраної основної площини. При цьому положення проекцій не змінюється, а тільки змінюються їх числові відмітки на величину, на яку переміщена основна площина.
Наприклад, якщо нова основна площина π5 розташована вище /рис. 1.7/ первісної площини π0 на 5 масштабних одиниць, то додатні числові відмітки усіх точок зменшаться на 5 одиниць, а від'ємні - збільшаться за модулем на 5 одиниць; якщо нова основна площина проекцій π-4 розташована нижче /рис. 1.8/ первісної основної площини π0 на 4 одиниці , то додатні числові відмітки усіх точок збільшаться на 4 одиниці, а модуль від'ємних відміток зменшиться на 4 одиниці. Нову основну площину позначають буквою Ж з відповідним індексом: π5,4 /див. рис. 1.7, 1.8/. Така заміна основних площин застосовується при переході від умовних числових відміток до абсолютних і навпаки.
Масштаб
Особливість креслень в проекціях з числовими відмітками або планів полягав в тому, що розміри на них, як правило, не проставляються. Відсутність розміра замінюється вказанням масштабу, в якому виконане креслення. Тому неодмінна умова всякого креслення, виконаного в проекціях з числовими відмітками - наявність масштабу.
Масштабом називається відношення довжини лінії на плані до відповідної проекції цієї лінії на місцевості, наприклад на ділянці земної поверхні. Це абстрактне число - правильний дріб. Для зручності користування і порівняння всі масштаби мають однаковий вигляд: чисельником дробу завжди є одиниця, при цьому знаменник безпосередньо виражає ступінь зменшення. Такий масштаб називається чисельним, наприклад: 1/100 /1:100/; 1/200 /1:200/; 1/500 /1:500/; 1/1000 /1:1000/ тощо. Чисельний масштаб дає загальну характеристику ступеня зменшення і не завжди зручний для практичних цілей. Для побудови планів або визначення довжини відрізків, узятих з плана, використовують лінійний масштаб, який наносять на плані у вигляді масштабної шкали /рис. 1.9/.
Зображенний на рас 1.9 лінійний масштаб відповідає чисельному 1:100 /10 мм на плані відповідають 1 м на місцевості/. Основу масштаба, розташовану ліворуч від нульової точки, як правило, ділять на десять рівних частин, кожна з яких /див. рис.1.9/ відповідає 0,1 м на місцевості. Це дає змогу робити вимірювання на плані з точністю до 0,1 м.
Градуювання прямої
Кінці відрізка прямої часто задають на плані числовими відмітками, які виражаються дробними числами. При розв'язуванні багатьох задач треба знати положення проекцій точок прямої з ціло-чисельними відмітками.
Розглянемо докладніше рис. 2.7. Пряма AB і її проекція А2,6 В4,4 розташовані у вертикальній площині π. В цій же площині паралельно проекції А2,6 В4,4, а отже, паралельно площині π0 проводимо лінію рівня - горизонтальну пряму з числовою відміткою, рівною 3, і вище цієї лінії рівня на відстані, що дорівнює одній одиниці масштабу, проводимо лінію рівня з числовою відміткою 4.
Ці лінії рівня перетинають пряму AB у точках С та D , які будуть мати числові відмітки відповідно 3 та 4. Спроецюємо точки С та D на горизонтальну проекцію А2,6 В4,4, одержимо проекції С3 та D4.
Існує декілька способів градуювання прямої, що являють собою різні варіанти розв'язування задачі ділення відрізка у данному відношенні.
1. Спосіб профіля. По цьому будують суміщений з основною площиною або з іншою горизонтальною площиною профіль прямої, причому висоти точок відкладають або в масштабі плану, або з метою більш точною градувванш прямої в більшому масштабі, ніж масштаб плана. Потім паралельно осі проводять ряд прямих на відстані одна від одної, що дорівнює одиниці масштабу, в якому відкладались висоти точок прямої. Приймають ці прямі за лінії рівня з ділочисельними відмітками. Опроеціювавши потім ці точки на проекцію прямої на плані, одержують на ній точки, які мають цілочисельні відмітки, таким чином виконавши операцію градуювання прямої.
Способом профіля розв'яжемо задачу на градуювання відрізка прямої АВ/рис. 2.11/. Для цього:
1/ будуємо суміщенний з основною площиною π0 профіль АВ відрізка прямої AB, відкладаюча висоти точок А та В у масштабі плана;
2/ паралельно осі х проводимо ряд паралельних прямих, віддалених одна від одної на відстань, що дорівнює одиниці масштабу, і приймаємо ці прямі за лінії рівня з числовими відмітками 1, 2, 3, 4 та 5;
3/ знаходимо точки перетину ліній рівня з профілем AВ : точки 2, 3, 4 та 5 будуть мата числові відмітки, рівні 2, 3, 4 та 5;
4/ точки 2, 3, 4 та 5 опроектуємо на А1,3 В5,2, при цьому точки 2, 3, 4 та 5 перетину лінїй проекційного зв'язку з А/,3 B5,2 і будуть проекціями точок, які мають цілочисельні відмітки 2, 3, 4 та 5.
З рис. 2.11 легко графічно, тобто без обчислень, визначити інтервал l прямої AВ - він дорівнює довжині відрізка проекції прямої на плані між точками, які мають цілочисельні послідовні відмітки, оскільки підйом цих відрізків дорівнює одиниці масштабу.
Після градуювання прямої можна визначити відмітку будь-якої точки прямої і задати на ній точку, що має дану відмітку. Для цього відрізок між цілочисельними відмітками ділимо у пропорціональному відношенні.
Градуювання прямої способом профіля, який полягає у проведенні через рівні відстані паралельних прямих, покладено в основупалетки, що використовується при наведені горизонталей рельефа земної поверхні на планах і картах.
2. Способ пропорціонального ділення. Суть його розглянемо на прикладі градуювання прямої AВ , проекцій якої зображена на рис. 2.12.
З одного кінця відрізка прямої /точки А1,4 / проведемо допоміжну пряму в довільному напрямку, на якій відкладемо в масштабі плана або в більшому відрізок АС', рівний підйому відрізка AB : h = HB - HA = (4.8 - І.4)l1 = 3,4l , де l1 - oдиниця масштабу, в якому вимірюємо підйом відрізка АВ.
На прямій АС від точки A1,4 відкладемо відрізок, рівний 0,6l1 , і позначимо точку 2. Точки 3, 4 віддалені одна від одної на відстань l1. На рис. 2.12 l1 дорівнює одиниці масштабу плана, тобто l1 = 1м. Точка С віддалена від точки 4 на відстань, що дорівнює 0,8l1.
Кінцеву точку С сополучимо з точкою В4,8 і з кожної точки поділки /точки 2, 3, 4/ проведемо прямі, паралельні СВ4,8. Ці прямі визначають в перетині з А1,4 В4,8 проекції точок прямої AВ , що мають числові відмітки, рівні цілим числам /див. рис. 2.12/. Це дає змогу поряд з визначенням числових відміток будь-якої точки відрізка прямої знайти також графічно і інтервал прямої l /див. рис. 2.12/.
3. Аналітичний спосіб дає змогу визначити положення точок прямої, що мають цілочисельні послідовні відмітки, за допомогою обчислення.
Проградуюємо аналітичним способом пряму АВ, наочне зображення якої показано на рис. 2.7, а зображення на плані - на рис. 2.13. Градуювання виконуємо в такій послідовності: визначаємо інтервал прямої за формулою /2.2/: підставляючи L = 3,6 м, h = 1,8 м, одержуємо l = L/h = 3,6/1,8 = 2м. Заходимо положення точки С з цілочисельною відміткою 3, наближчої точки А2,6 її визначимо таким чином. На рис. 2.7 із порівняння подібних трикутників АСС та СDD можна скласти пропорцію: x/h = l/1, де x - відстань проекції точки С , що має цілочисельну відмітку 3 /точка С3/; до точки А2,6; h AC - підйом відрізка АС; l - інтервал прямої. З цієї пропорції знаходимо: x = hACl = /3 - 2.6/ 2 = 0.8 м. Потім від точки С відкладаємо відрізок, рівний інтервалу прямої AВ /l = 2 м/, і позначаємо точку з числовою відміткою 4 /точка D4 /.
Приведену в останньому прикладі на градуювання прямої пропорцію можна використовувати для визначення відстані х від проекції точки прямої з відомою числовою відміткою /відома точка прямої/ до проекції точки прямої, числова відмітка якої задана. Відстань х знайдемо за формулою: x = hl , /2.3/
де h - підйом відрізка прямої між визначуваною і відомою точками прямої; l - інтервал прямої.
Прямі часткового положення
Пряма відносно основної площини може займати часткове положення: бути паралельного /горизонтальна пряма, або горизонталь, це лінія рівня/ або перпендикулярною /горизонтально-проеціююча пряма, або проецююча/ до основної площини.
На рис. 2.14 показані зображення прямих часткового положення на плані.
У горизонтальної прямої числові відмітки будь-яких двох точок однакові, тому горизонтальна пряма може бути задана на плані своєю проекцією і проекцією двох її точок, числові відмітки яких однакові, наприклад пряма AВ . Горизонтальну пряму можна позначити, вказуючи лише її числову відмітку, наприклад горизонталь з числовою відміткою 5.
Проеціюючу пряму на плані завжди позначають проекціями двох нетотожних точок прямої, які на плані збігаються /проецюються у точку/, наприклад проеціююча пряма CD.
Розділ 3. Проекції площин
3.1 Завдання площини на плані. Масштаб спаду площини
Площина на плані може бути задана такими ж геометричними елементами, як і в ортогональних проекціях: проекціями трьох точок, які не лежать на одній прямій /рис. 3.1/; прямої та точки, яка не лежить на прямій /рис. 3.2/; двох прямих, що перетинаються /рис. 3.3/; двох паралельних прямих - загального положення /рис. 3.4/ і горизонталями, що являє собою окремий випадок завдання площини паралельними прямими /рис. 3.5/; проекціями відсіку плоскої фігури /рис. 3.6/.
В проекціях з числовими відмітками досить поширене завдання площини прямою лінією та величиною нахилу площини /рис. 3.7 та 3.8/, причому пряма може бути загального положення /див. рис. 3.7/ або горизонталлю /див. рис. 3.8/.
Особливий випадок завдання площина простору на плані - завдання масштабом спада площини. Таке завдання більш наочне і зручне при розв'язувані більшості інженерних задач.
Масштабом спаду площини називається, проградуйована проекція лінії найбільшого окату /ЛНС/ площини.
Із розділу ортогональних проекцій відомо, що лінією найбільшого скату площини називається пряма, перпендикулярна до горизонталей площини. Назва "лінія скату" пов'язується з тим, що важка матеріальна точка рухається /скатується/ на похилій площині по ЛНС, тому що серед усіх прямих, які можна провести в даній площині. ЛНС утворює з горизонтальною площиною найбільший кут нахилу /скату/. Наприклад, найбільш імовірний напрям руху потока води під дією власної ваги /дощового потоку/ по плоскосних укосах греблі, дамби або меліоративного канала, а також земляного грунту при будівництві греблі, дамби - по ЛНС.
На рис. 3.9 дано просторове зображення площини γ, яка перетинає основну площину π0 по лінії h . У площині γ проведена лінія найбільшого скату MN/МN┴h0γ0γ/ і побудована її проекція Мо N4 на площині π0 . Лінія найбільшого скату площини називається також лінією падіння. Вона визначає кут нахилу /скату/, або кут падіння площини: кут α між лінією найбільшого скату MN і її проекцією М0N4 на основну площину π0 і з кутом нахилу або кутом падіння площина γ до площини π0 .
Площину γ перетнемо горизонтальними площинами ω1, ω 2, ω 3, ω 4, віддаленими одна від одної на 1 м, причому 1 проведена паралельно π0 на відстані також 1 м. Лінія перетину цих площин з площиною γ - це горизонталі площини і, отже, паралельні сліду h і перпендикулярні до лінії найбільшого спаду МN. Проекції цих горизонталей також паралельні сліду h і перпендикулярні до проекції Мо N4 лінії найбільшого скату площини γ .
Оскільки горизонталі площини γ розміщені по висоті через 1 м / їх підйом дорівнює 1 м/, то відстані між суміжними проекціями горизонталей з цілочисельними відмітками в інтервали ЛНС даної площини. Проекції горизонталей площини, що паралельні сліду площини, називаються просто горизонталями площини, при цьому слово "проекція" не вживається.
Проекція M0N4 лінії найбільшого скату MN із зазначенними на ній інтервалами називається масштабом спаду площини γ . Таким чином, масштабом спаду площини називається проградуйована проекція ЛНС площини.
Масштаб спаду площини зображують у вигляді двох паралельних ліній /подвійною лінією/, причому одна лінія товща за другу і проводиться із зазначенням проекцій точок, які мають послідовні цілочисельні відмітки, та позначається буквою з індексом "і", наприклад γі /рис. 3.9 і 3.10/.
Якщо через ЛНС, які мають послідовні цілочисельні відмітки, провести горизонталі, то буде задана площина того ж спаду, що і нахил /спад/ ЛНС, На рис. 3.11 спад площини α дорівнює спаду ЛНС цієї ж площини. Площина α задана масштабом спаду αі з нанесеними відрізками горизонталей площини, які віддалені одна від одної на відстань, що дорівнює інтервалу ЛНС.
Інтервал та спад площини дорівнюють відповідно інтервалу та спаду ЛНС даної площини. Для того щоб визначити спад площини, в ній потрібно провести і проградуювати ЛНС та визначити інтервал. Величина, обернена до інтервалу ЛНС, визначає кут нахилу самої площини.
Чим менший спад площини, тим більший інтервал, і навпаки: чим більший спад, тим менший інтервал площини.
Оскільки інтервал лінії найбільшого скату дорівнює інтервалу площини, просторову площину на плані можна задати масштабом спаду з обов'язковим нанесенням відрізків горизонталей цієї площини, які мають послідовні цілочисельні відмітки і проходять через відповідні точки масштаба спаду /наприклад, площини α та β на рис. 3.11/.
Масштаб спаду площина цілком визначає положення площини у просторі. У площині, яка задана геометричними елементами, можна побудувати її масштаб спаду. Нехай площина ß на плані /рис. 3.12/ задана прямою лінією ВС і точкою А поза прямою: ß(ВC, А). Виконаємо перехід від задання площини β геометричними елементами до задання площини ß її масштабом спаду. Для цього:
1/ проградуюємо пряму ВС і визначимо на ній точку, яка має відмітку, рівну відмітці точки А , тобто 3;
2/ через точку А і точку прямої ВС з відміткою 3 проведемо горизонталь n;
3/ перпендикулярно до n на плані проведемо проекцію βі лінії найбільшого скату. На перетині n з прямою ßі маємо точку з відміткою 3. Точки на прямій ßі, які мають відмітки 2 та З, визначаємо за допомогою горизонталей площини ß, що проходять через точки С та В паралельно n. Інші цілочисельні відмітки на βі відмічаємо через інтервали, рівні l, тобто виконуємо операцію градуювання проекції ЛНС площини ß , а отже, ßі буде масштабом спаду площини.
Таким чином, виконано перехід від задания площини β на плані геометричними елементами до задання площини ß її масштабом спаду /проградуйованою проекцією ЛНС/, причому заданию площини в обох випадках відповідає єдина площина у просторі.
Задания площини масштабом спаду дозволяє визначити її кут нахилу до основної площини. Наприклад, площина γ задана масштабом спаду γі /рис. 3.13/. Для визначення кута нахилу α площини γ до основної площини π0 будуємо профіль γ ЛНС, який буде також і профілем площини γ , оскільки вертикальна площина π перпендикулярна до γ, яка проецюється на π у пряму лінію. Кут α між профілем γ і віссю х1 і є кутом нахилу площини γ до площини π0 .
При проектуванні меліоративних та гідротехнічних споруд площини зображають у вигляді укосів меліоративних каналів, гребель, дамб, граней споруд тощо.
Серед земляних споруд найбільш поширені канали та греблі. Канали - це спорудження у вигляді штучного русла правильної форми, наприклад трапецеїдальної, розраховані для транспортування води для зрошування, осушування, обводнювання земель та інших цілей. Канали розділяються на відкриті, коли для транспортування води використовуваються, наприклад, насипи, виїмки, та закриті /підземні/, коли для транспортування води застосовують трубопроводи, які покладені відкрито на поверхні землі або під землею.
Відкриті канали застосовуються переважно при будівництві гідромеліоративних систем, а закриті - при будівництві систем водопостачання та каналізації, рідше - в меліоративно-гідротехнічному будівництві /дренажні труби, трубопроводи зрошення, трубопроводи насосних станції тощо/.
На рис. 3.14 зображено план меліоративного зрошуванного каналу у виїмці /виїмка - це земляна споруда, що залишається після зняття поверхового шару землі/, який для наочності доповнений перерізом /профілем/ 1-1. Розглянемо елементи каналу: 1 - дно каналу; 2 - водні укоси каналу; 3 - берма; 4 - надводні укоси каналу; 5,6 - бровки /верх/ відповідно водного та надводного укосів каналу; 7, 8 - підошва /низ/ відповідно водного та надводного укосів каналу.
Берма - це майданчик, що утворюють для забезпечення стійкості укосів, полегшення обчищання каналу від намулу і перевірка стану каналу технічним персоналом.
Дно каналу 1 та берму 3 можна уявити як горизонтальні площини, паралельні основній площині, що мають числові відмітки відповідно 5.0 та 7.0 /на практиці вони мають невеликий спад і = 0,002...0,005 до основної площини/. На плані дно каналу задано двома паралельними прямими - горизонталями 5.0, які мають однакові числові відмітки, а берма - двома паралельними горизонталями 7.0.
На плані горизонтальну ділянку або площадку можна позначити числовою відміткою, що проставляється всередині прямокутника: 5,0. На рис. 3.14 показані одночасно два варіанта позначення горизонтальних ділянок на плані.
В перерізі /на профілі/ числові відмітки дна каналу і берми позначаються відповідним знаком відмітки рівня, який являє собою стрілку у вигляді прямого кута, вершина якого дотикається в лінію. . контура поверхні або у виносну лінію рівня цієї поверхні,з короткими /2...4 мм/сторонами, проведеними суцільними товстими лініями під кутом 45° до лінії контура поверхні або до виносної лінії рівня цієї поверхні. Вертикальний відрізок і горизонтальну лінію знаку виконують тонкими лініями.
На рис. 3.14 водний та надводний укоси каналу можна уявити як фронтально-проеціюючі площини, нахилені до основної площини під деяким кутом, відмінним від 0, 90 та 180°. Такі площини земляних укосів на плані можна задавати двома паралельними прямим, наприклад горизонталями /див. рис. 3.14/, які являють собою бровку та підошву укосу із зазначенням їх числових відміток. На рис. З.14 площина водяного земляного укоса задана двома горизонталями 7.0 та 5.0, а площина надводного земляного укоса - горизонталями. 9.0 та 7.0. Крім цього, земляні укоси зображаються із штриховкою короткими та довгими лініями, так званими бергштрихами, причому довгі лінії бергштрихїв проводять на всю довжину укоса, а відстань між короткими та довгими лініями - від 1 до 10 мм. Бергштрихи проводять від верха укоса перпендикулярно до його горизонталей убік горизонталей с меншою числовою відміткою. Вони вказують напрям проекцій ліній найбільшого скату даної площини земляного укоса.
Земляні укоси на плані можуть бути також задані проекціями /нагадуємо, що олово "проекція" при цьому не вживається/ двох ліній - бровкою та підошвою укоса /рис. 3.15/, однією лінією - бровкою або підошвою із зазначенням величини спаду укоса /рис, 3.16, А4В3 - проекція на плані підошва укоса каналу/.
Часто нахил /спад/ площини земляного укоса позначається коефіцієнтом укоса m/див. рис. 3.14/, якай чисельно дорівнює відношенню заложення L відрізка ЛНС укоса, який вимірюється між його бровкою та підошвою, до підйому h цього відрізка /глибина каналу/: m = L/h . /3.1/
Коефіцієнт укоcа m чисельно дорівнює величині інтервалу укоса.
На рис. 3.І4 у перерізі 1-1 позначені коефіцієнти водного /m = 1.5/ та надводного /m = 1.0/ укосів зрошувального каналу, а на плані - спади цих же укосів каналу: коефіцієнт укоса і його спад - величини, обернені одна до одної. Коефіцієнт укоса визначається стійкістю грунта і змінюється переважно від 0,5 до 3,0.
Розглянемо також поширене в практиці меліоративно-гідротехнічного будівництва земляне спорудження, яка називається греблею. Це штучне спорудження у вигляді насипу /земляна споруда утворена від штучного присипання грунта на природну поверхню землі/ трапецоїдального або близького до трапецеїдального поперечного перерізу, яке перегороджує водний потік і тим самим піднімає /підпирає/ рівень води перед собою.
На рис. 3.17 зображено план земляної греблі, який доповнено перерізом 1-1. Розглянемо елементи греблі: 1 - тіло греблі; 2 - верхній /мокрий/ укіс, який є боковою поверхнею греблі і повернутий до води; 3 - низовий /сухий/ укіс; 4 - гребінь греблі, який може бути основою для полотна автомобільної або залізничної дороги; 5, 6 - підошва відповідно мокрого та сухого укосів; 7, 8 -бровка відповідно мокрого та сухого укосів.
Гребінь греблі являє собою горизонтальну площину, паралельну основній площині, і яка має числову відмітку 28.0. Мокрий та сухий укоси являють собою також площини, нахилені до основної площини, бровка та підошва яких є горизонталями з числовими відмітками відповідно 28.0 та 25.0, але з різними коефіцієнтами укосів; m = 1,5 --мокрого; m = 1.0 - сухого.
Пряма та точка у площині
Пряма належать площині якщо числові відмітки будь-яких двох її точок збігаються з відповідними числовими відмітками двох точок площини. Як правило, для побудови прямої, яка лежала б у площині, визначають дві точка прямої, що належать відповідним горизонталям цієї площини, які пряма перетинахє, причому в точках перетану прима має однакові числові відмітки з горизонталями площини.
Пряма AВ лежить у площині земляного укоса α /рис. 3.18/, заданого масштабом спаду, оскільки точка А2 прямої AB лежить на горизонталі площини укоса з числовою відміткою 2, а точка В4 - на бровці укоса n , яка в торизонталлю площини укоса з числовою відміткою 4.
Таким чином, якщо пряма має точки з числовими відмітками, вираженими цілими числами, то ці точки належатимуть відповідним горизонталям площини.
Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій цієї площини. Точку в площині можна побудувати за допомогою довільної прямої площини, яка проходить через точку. Для визначення числової відмітки точки пряма градуюється.
На рис. 3.19 в площині земляного укoca, заданого двома паралельними прямими - горизонталями 23 та 27, що являють собою підошву та, бровку укоса, необхідно визначити числову відмітку точки А , в якій трубопровід перетинає площину укоса, якщо дана горизонтальна проекція точки А . Для цього:
1/ через точку А проводимо довільну пряму, наприклад ВС , і позначаємо числові відмітки двох її точок: точка С лежить на бровці і має відмітку 27, а точка В лежить на підошві укоса і має відмітку 23;
2/ градуюємо пряму ВС способом пропорціонального ділення і виявляємо, що числова відмітка точки А знаходиться між цілими числами 24 та 25;
З/ визначаємо числову відмітку точки А з точністю до десятих долей. Для цього інтервел прямої ВС між точками з числовими відмітками 24 та 25 способом пропорціопального ділення розбиваємо на десять рівнях відрізків /ці побудови для вирішення поставленої задачі безпосередньо на кресленні можна не показувати/ і визначає /рис. 3.19/, що числова відмітка точки А з точністю до десятих долей дорівнює 24.6.
У площині можна провести пряму а різним нахилом, величина якого завжди менша чи дорівнює спаду площини. Нахил прямої у площині дорівнює спаду самої площини, якщо пряма паралельна /збігається/ лінії найбільшого скату площини. Оскільки нахил /спад/ - величина, обернена інтервалу, то інтервал будь-якої прямої, що лежить у площині, завжди більший за інтервал площини або дорівнює йому.
Розглянемо найбільш поширені в практиці випадки, коли в заданій площині потрібно провести пряму заданого нахилу або, навпаки, через дану пряму провести площину із заданим спадом.
Нехай через точку D площини земляного укоса Р /рис. 3.20 і 3.21/ провести пряму /вісь водостоку/ заданого нахилу, наприклад і = 1:3.
Розв'яжемо задачу на наочному зображенні /див. рис. 3.20/. Візьмемо конус обертання, що складається з двох симетричних прямих кругових конусів з висотами, які лежать на одній прямій, перпендикулярній до основної площини π0. Твірні прямих кругових конусів мають нахил, що дорівнює нахилу заданої прямої. Вершину конуса обертання установимо в точці D. В перерізі цього конуса обертання з площиною земляного укоса, що проходить через вершину конуса обертання, одержимо прямі AВ та MN, які являють собою твірні конуса і мають нахил і = 1:3, рівний нахилу заданої прямої. Якщо висоти обох прямих кругових конусів прийняти рівними одиниці, то радіуси основ конусів дорівнюють інтервалам l прямих АВ та MN. За значенням нахилу прямої визначаємо величину інтервалу l.
Щоб розв'язати цю задачу на плані /рис. 3.21/, з точки D3 як із центра проведемо коло радіусом R, рівним нтервалу l прямої заданого нахилу: R = l = 3 м. У перетині кола із суміжними горизонталями площини земляного укоса Р позначимо точки А 2 ,N2 та М4 , B4 . Прямі AВ та MN лежать в площині Р і мають нахил і =1:3, оскільки інтервал прямих дорівнює 3 м. При цьому через точку D можна провести дві прямі заданого нахилу. Щоб задача мала єдиний розв'язок, необхідно вказати напрямок прямої, що проходять через точку D.
Розглянемо обернену задачу: через пряму провести площину заданого спаду, тобто площина задана прямою і нахилом площини. З подібною задачею зустрічаються при зображенні та побудові укосів насипу або виїмки, що стикаються з бровкою полотна дороги, при градуюванні укосів.
Нехай до бровки нахиленої ділянки дороги /пряма AD / треба провести площину земляного укоса γ з нахилом і = 1:2 /рис. 3.22 та 3.23/.
Шукана площина заданого спаду, що проходить через задану пряму, є дотичною до поверхні прямою кругового конуса, твірні якого мають нахил, рівний спаду площини, а вершина конуса збігається з однією із точок, що лежать на прямій. Васота конуса перпендикулярна до основної площини, горизонталі конуса - кола, площини яких паралельні до основної площини.
Побудова площини земляного укоса γ до прямолінійної бровки AD на наочному зображенні показана на рис. 3.22. Площина γ , що проходить через прямолінійну бровку AD , дотикається до прямого кругового конуса з вершиною в точці А , твірні якого мають нахил і = 1:2 до горизонтальної площини π1 , а висота дорівнює З м /підйом відрізка AD прямої, у якого числові відмітки точок А та D відповідно дорівнюють 4 та 1 м/. При спаді і = 1:2 даної площини γ її інтервал l = 1/і = 2 м, тому горизонталі конуса, числові відмітки яких відрізняються на 1м, мають радіуси, які дорівнюють l = 2 м, 2l =4м, 3l = 6 м. Горизонталі площини земляного укоса γ-В3, C2, D1 визначаються як прямі, проведені iз точок В, С та D) , прямої АО, яка попередньо градуються, дотично до відповідних горизонталей конуса з числовими відмітками 3, 2 та 1м. Лінія дотику А1 площини γ з прямим конусом в лінією найбільшого скату площини земляного укоса γ, а градуйована інтервалами l проекція А41 цієї лінії - масштабом спаду γі площини γ.
Розв'язання цієї задачі показано на плані /див.рис. 3.23/. Послідовність побудов:
1/ градуюємо пряму AD. Зазначаємо точки В та С , які мають числові відмітки 3 та 2 /точки А та D мають задані числові відмітки 4 та 1/;
2/ із точки А4 як із центра проводимо кола радіусами R1 = l, R2 = 2l, R3 = 3l, які є горизонталями конуса з числовими відмітками відповідно 3, 2 та 1;
З/ дотично до горизонталей конуса з числовими відмітками 3, 2 та 1 проводимо паралельні між собою горизонталі площини земляного укоса - В33, C22, D11;
4/ перпендикулярно до горизонталей укоса проводимо проекцію ЛНС площини укоса, градуйовану, інтервалами l, яка являє собою масштаб спаду γі площина укоса γ.
Відзначимо, що інтервал площини не може бути більший за інтервал прямої, що лежать у цій площині. Якщо інтервали площини та прямої, що лежить у площині, рівні, то ця пряма є лінією найбільшого скату площина.
На рис. 3.22 та 3.23 показано побудову однієї із двох можливих площин із спадом і = 1:2, які проходять через пряму AD. Друга площина буде симетрична побудованій площині відносно площини симетрії, що проходить через пряму AD перпендикулярно до основної площини. Щоб задача мала єдиний розв'язок, вказують напрям нахилу площини у вигляді стрілочки /напрям скату/ із зазначенням спаду площини /див. рис. 3.23/.
Градуювання площини
Із усіх прямих, що лежать у площині, в проекціях з числовими відмітками найбільш часто застосовуються горизонталі. Тому основною задачею в проекціях з числовими відмітками є задача на відшукування горизонталей заданої площини, наприклад горизонталей укосів каналів, гребель та інших споруджень.
Проведення горизонталей площини, числові відмітки яких цілі послідовні числа, називається градуюванням площини.
Розглянемо найбільш поширені випадки градуювання площин.
1. При заданні площини масштабом спаду горизонталі проводять перпендикулярно до масштабу спаду площини через інтервальні ділення.
2. Якщо площина задана геометричними елементами, то необхідно знайти точки, що мають однакові цілочисельні відмітки, через які можуть бути проведені горизонталі.
Наприклад, проградуюємо площину ω , задану на плані /рис. 3.24/ двома прямими А2,2 В6,4 та В6,4 С4,5 , що перетинаються. Для цього:
1/ градуюємо прямі способом пропорціонального ділення;
2/ сполучаємо прямими лініями точки, що мають однакові цілочисельні відмітки. Ці прямі є горизонталями площини;
3/ проводимо пряму, перпендикулярну до горизонталей площини. Ця градуйована пряма є масштабом спаду ωі площини ω , заданої двома прямими, що перетинаються.
Розглянемо градуювання площин, заданих горизонталлю та спадом площини, наприклад земляних укосів, бровка або підошва яких прямолінійна і горизонтальна.
3. Якщо площина земляного укоса задана прямолінійною горизонтальною бровкою або підошвою і спадом площини, то необхідно провести проекцію лінії найбільшого скату площини перпендикулярно до бровки або підошви укоса, а потім проградуювати її, враховуючи, що інтервал l = 1/і . Горизонталі площини з цілочисельними відмітками проводимо перпендикулярно до масштабу спаду площини через інтервальні ділення, причому горизонталі площини укосів будуть паралельна прямолінійній горизонтальній бровці або підошві укоса.
Розглянемо такі приклади. Нехай площина земляного укоса ω на плані /рис. 3.25/ задана бровкою, що є горизонталлю 7.0 і спадом площини укоса і = 1:2. Щоб проградуювали площину укоса, проводимо перпендикулярно до бровки укоса проекцію лінії найбільшого скату і градуюємо її. У побудованому масштабі спаду ωі площини ω точки, що мають цілочисельні відмітки, знаходяться одна від одної на відстані, яка дорівнює інтервалу площини l = 1/i = 2 м. Через ці точки проводимо горизонталі площини перпендикулярно до масштабу спаду ωі, які будуть паралельні бровці 7.0 укоса.
Нехай ллощана укоса насипу, що примикає до гребня греблі, задана прямолінійною горизонтальною бровкою, яка має дробову числову відмітку 49.4, і спадом площина укоса і = 1:1,5 /рис. 3.26/. Щоб проградуювати площину укоса, проводимо проекцію лінії найбільшого окату перпендикулярно до бровка. Знайдемо на ній точку з числовою відміткою 49,0. Проекція цієї точки віддалена від бровки укоса на відстань х , яка визначається за формулою /2.3/: х = hl = /49.4 - 49.0/ 1,5 = 0,6 м.
Точки, що мають послідовні цілочасельні відмітки 48.0, 47.0 і інші, знаходяться одна від одної на відстані, яка дорівнює інтервалу площини l = 1/i = 1.5 м. Через одержані точки проводимо горизонталі укоса насипу паралельно бровці укоса.
Розглянемо градуювання площини, заданої прямою загального положення, та спадом площини, наприклад земляних укосів, бровка та підошва яких прямолінійна і нахилена до основної площини.
4. Якщо площина земляного укоса задане прямолінійною бровкою або підошвою ї величиною спаду площини, то така площина є дотичного до поверхні прямих кругових конусів, твірні яких мають нахил, рівний спаду площини, а вершини знаходяться на бровці або підошві укоса. Горизонталі площини укоса, що мають послідовні цілочисельні відмітки, - це прямі, дотичні до кіл, які є горизонталями конусів і мають визначені рівні між собою цілочисельні відмітки.
Проградуюємо площину земляного укоса γ, бровка якого -прямолінійна нахилена пряма AB , а спад площини укоса і = 1:2 /рис. 3.27, 3.28/.
Виконаємо побудови на наочному зображенні /див. рис. 3.27/. Нехай точки А та В прямолінійної нахиленої бровки мають цілочисельні відмітки 1 та 2. Побудуємо два прямих кругових конуса з вершинами S1 та S2 у точках А та В, висотою відповідно 1 та 2 одиниці масштабу, твірні яких мають спад і = 1:2. Кола основ цих конусів лежать в основній площині π0 і є горизонталями конуса, точки яких мають нульові числові відмітки. Кожна точка горизонталі конуса з вершиною S' віддалена від S1 на величану інтервала площини l = 2 одиницям масштабу і її числова відмітка відрізняється від відмітки вершини S' конуса на одну одиницю: вершина S' має числову відмітку, що дорівнює одиниці, а кожна точка горизонталі конуса - відмітку, що дорівнює нулю. Кожна точка горизонталі конуса з вершиною S2 , що лежить в основній площині, віддалена від S2 на величину 2l = 4 одиницям масштабу і її числова відмітка відрізняється від відмітки вершини S2 конуса на дві одиниці: вершина S2 має числову відмітку 2, а кожна точка горизонталі конуса - відмітку 0.
В прямому круговому конусі з вершиною S2 проведемо горизонталь конуса з числовою відміткою, що дорівнює одиниці. Для цього від точки по висоті конуса відкладаємо відрізок ВВ1 , рівний одиниці масштабу, і проводимо коло радіусом, що дорівнює інтервалу l площини укоса. Це коло і буде горизонталлю конуса, всі точки якої мають числову відмітку, то дорівнює одиниці, яка відрізняється від відмітки вершини S2 на одну одиницю.
Горизонталь площини укоса з нульовою числовою відміткою визначається як пряма, дотична до відповідних горизонталей конуса, а горизонталь з відміткою 1 - як пряма, що проведена з точки А прямолінійної бровки дотично до горизонталі конуса з вершиною S2, яка має числову відмітку, що дорівнює одиниці.
Лінії дотику AВ , BL площини земляного укоса γ із конусами з вершинами S1 та S2 є лініями найбільшого скату площини, перпендикулярними до горизонталей площини укоса.
Для одержання формули по обчисленню радіусів горизонталей конусів розглянемо два подібних трикутника /рис. 3.27/: ∆ВВ2L та ∆ВВ1К. На основі подібності трикутників запишемо ВВ2/В2L = BB1/B1K.
Позначимо відрізки BB2 ,B2L, ВВ1, B1K відповідно h, R, 1 , l. Підставляюча нові позначення величин в останнє співвідношення, маємо h/R = 1/l, звідки радіуси R горизонталей конуса із заданими числовими відмітками визначаємо за формулою; R = hl, /3.2/
де h - підйом між відомою числовою відміткою площини, в яку уcтановлена вершина прямого кругового конуса, твірні якого мають нахил, рівний спаду площини, і числовою відміткою рівня, на якому провадиться горизонталь площини; l - інтервал площини.
Розв'язування даної задачі на плані показано на рис. 3.28. Спочатку знаходимо точки прямої, що мають цілочисельні відмітки. В даному випадку де точки А та В , які мають числові відмітки відповідно 1 та 2 м. Потім виконуємо побудову в такій послідовності :
1. Будуємо горизонталі конуса, які мають нульову відмітку. Для цього з точок А1 та В2 /рис. 3.28/ як із центрів проводимо дуги кіл радіусами згідно з /3.2/: R1 =hl = (1-0) l = l = 2м, R3 = hl = (2-0) l = 2l = 2*2 = 4м. Ці дуги кіл радіусів R1 та R3 визначають горизонталі конусів з вершинами S1 та S2, які мають нульову відмітку /див. рис. 3.27/
2. Проводимо прямолінійну дотичну до горизонталей конусів з нульовою відміткою, яка буде горизонталлю площини укоса γ з нульовою відміткою.
3. Дня того щоб провести горизонталь площини укоса з числовою відміткою 1 м, спочатку із точка В2 проводимо дугу горизонталі конуса радіусом R2 = hl = (2-1) l = 2м , застосовуючи формулу /3.2/.
4. Із точка А1 з числовою відміткою 1 м проводимо прямолінійну дотичну до горизонталі конуса радіусу R2, яка є горизонталлю площини укоса γ з числовою відміткою 1 м.
5. Проводимо масштаб спаду площини γі перпендикулярно до горизонталей площини укоса з числовими відмітками 1 та 0.
у розглянутих прикладах не градуювання площини земляного укоса, заданої прямолінійною нахиленою бровкою і спадом площини /рис. 3.27 і 3.28/, а також на проведення площини укоса заданого спаду через прямолінійну нахилену бровку /див. рис. 3.22 ї 3.23/ використовувались горизонталі прямого кругового конуса як допоміжні лінії при побудові горизонталей укосів.
З цих прикладів випливають такі висновки:
1. Горизонталями пряного кругового конуса і їх проекціями є концентричні кола.
2. Радіуси суміжних горизонталей, різниця числових відміток яких дорівнює одиниці, відрізняються на один інтервал твірної конуса, який дорівнює інтервалу площини, дотичної до прямого кругового конуса.
3. Різниця числових відміток горизонталі конуса і його вершини дорівнює кількості інтервалів, що містяться в радіусі цієї горизонталі: якщо довжина радіуса горизонталі конуса дорівнює двом інтервалам, то числова відмітка горизонталі конуса на дві одиниці більша /або менша/ відміткам вершка конуса.
Розглянемо ще один, поширений в практиці приклад на використання горизонталей конусів як допоміжних ліній. Побудуємо горизонталі укосів насипу нахиленого в'їзду на греблю, якщо спад в'їзду і = 1:5, а спад укосів насипу ін = 1:1,5 /рас. 3.29/. Для цього:
1/ градуюємо площину нахиленого в'їзду. Спочатку градуюємо нижню бровку в'їзду, враховуючи, що відстань між точками бровки, що мають послідовні цілочисельні відмітки дорівнює інтервалу площини в'їзду: l = 1/і = 5 м. Відмітки 60, 59, 58 та 57 переносимо на верхню бровку в'їзду. Оскільки бровки в'їзду являють собою проекції ліній найбільшого скату площинив'їзду, то із точок нижньої бровки з відмітками 60, 59, 58 та 57 проводимо прямі, перпендикулярні до бровки /ці прямі є горизонталями площини в'їзду/, які перетинають верхню бровку у точках, що мають відпоаїдні числові відмітки 60, 59, 58 та 57.
Таким чином, виконано градуювання площини нахиленого в'їзду проведено в ньому горизонталі з числовими відмітками 60, 59, 58 та 57;
2/ градуюємо нижній укіс насипу. У будь-яку точку нижньої бровки, наприклад з відміткою 60, розмістимо вершину прямого кругового конуса і з неї як із центра описуємо дугу кола, щo є допоміжною горизонталлю конуса, радіусом, рівним інтервалу укоса насипу: l = 1/i = 1,5 м. Відмітка цієї горизонталі конуса буде на одиницю менша від числової відмітки вершини і становитиме 59 м;
З/ проводимо ряд дуг кіл, які є також допоміжними горизонталями конуса, радіусами, рівними 2lH, 3lH , i одержимо горизонталі конуса з числовими відмітками 58, 57 м;
4/ дотично до горизонталей конуса з відмітками 59, 58, 57 м iз точок бровки з відповідними числовими відмітками проводимо горизонталі нижнього укоса насипу;
5/ перпендикулярно до горизонталей нижнього укоса проводимо масштаб спаду площини.
Задачу можна спростити, як це показано для верхнього укоса. Досить провести одну допоміжну горизонталь конуса з відміткою 59 м і дотично до неї а точки верхньої бровка з відміткою 59 м - горизонталь укоса, яка має числову відмітку 59 м. Усі наступні горизонталі з цілочисельними відмітками проводять паралельно горизонталі з відміткою 59 м, причому відстань між горизонталями дорівнює інтервалу укоса lH = 1,5 м.
Визначення площ укосів
Для того щоб визначити площу укосів насипу та виїмки, необхідно знайти натуральну величину відсіку площини укоса, що можна здійснити методом обертання відсіку площини укоса навколо горизонталі.
Наприклад, необхідно визначити площу правого укоса насипу AВCD, що примикає до горизонтального майданчика а відміткою 40,0 м /рис. 3.30/. Спочатку визначимо натуральну величину відсіка площини укоса, який є трапецією AВCD. Для цього площину укоса необхідно сумістити з однією з горизонтальних площин рівня. Оскільки укіс АВСD являє собою трапецію, в якій основи AB та CD є горизонталями з числовими відмітками відповідно 40 та 35 м, площину укоса слід сумістити з горизонтальними площинами рівня, що мають числові відмітки 40 та 35 м. Сумістимо площину укоса з горизонтальною площиною з відміткою 35 м. Позначимо цю площину π35 . Обертання площини укоса будемо здійснювати навколо горизонталі CD з відміткою 35 м.
Для побудови натуральної величини площини укоса сумістимо з π35 точки А та В укоса. Визначимо радіуси обертання точок А та В. Для цього на плані з точок А40 та В40 проводимо прямі, перендикулярні до С35 D35, точка перетину яких з C35 D35 позначимо К та L. . Точки K та L є центрами обертання точок A та B , а A40K та B40L - проекціями радіусів обертання, які у даному прикладі рівні між собою (A40K = B40L) і є лініями найбільшого скату площини правого укоса.
Проекції точок А та В на плані при обертанні навколо CD будуть переміщуватись по прямих А40К та В40L та їх продовженнях. При суміщенні площини укоса з π35 радіуса обертання АК та ВL проецюються на π35 у натуральну величину. Тому знайдемо натуральну величину радіусів АК та BL. На рас. 3.30 натуральні
величини радіусів АК та BL визначені способом прямокутного трикутника: А'К та В'L - натуральні величина радіусів обертання АК та ВL.
Із точок К та L як із центрів радіусам А'К та В'L проводимо дугу кола до перетину з продовженням прямих А40К та В40L одержуємо точки А та В, які є проекціями суміщенних з π35 точок А та В і мають числові відмітки 35 м. Після суміщення всі точки вершин трапеції AВCD площини укоса мають однакові числові відмітки, що дорівнюють 35 м. Отже, сполучивши точки А та В між собою, точку А - з D35, а В - з С35, одержимо натуральну величину площини укоса, що дорівнює трапеції АВСD/рис. 3.30/. Це дає змогу визначити і площу укоса.
Площі укосів насипу та виїмки можна визначити планіметром, палеткою або графічним методом - шляхом розбивання їх на найпростіші геометричні фігури.
Розділ. І . Метод проекцій з числовими відмітками, проекції точки
Дата: 2019-05-28, просмотров: 259.