Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Диапазон изменения этих коэффициентов [-1;1].

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель. Диапазон изменения этого коэффициента [0;1].

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных, входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная – в регрессионном) – оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (n´k), которая представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются: вектор средних X _ср, вектор среднеквадратических отклонений S и корреляционная матрица R:

X _ср=(x_1ср, x_2ср,…, x_jср,…, x_kср);

S=(s₁, s₂, …, s_j, …, s_k);

где r_jl=[S(x_ij-x_jср)(x_il-x_lср)]/(ns_js_l), j,l=1,2,…,k;

s_j=([S(x_ij - x_jср)²]/n)^0,5, i=1…n;

x_il – значение i-того наблюдения j-того фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка k-2 между факторами X₁ и X₂ равен

r_12/3,4,…,k=-R₁₂/(R₁₁R₂₂)^0,5,

где R_jl – алгебраическое дополнение элемента r₁₂ матрицы R.

    Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X₁ (результативного признака) определяется по формуле

r_1/2,3,…,k= r₁=(|R₁₂|/R₁₁)^0,5,

где |R₁₂| – определитель матрицы R.

    Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

t_набл=(n-l-2)^0,5r/(1-r²)^0,5,

где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀: r=0 отвергается с вероятностью ошибки a), если |t_набл|>t_кр, определяемого по таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного a и n=n-l-2.

    Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата – коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое значение, например, для r²_1/2,…k, находится по формуле

F_набл= [r²_1/2,…k/(k-1)]/[(1-r²_1/2,…k)/(n-k)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если F_набл>F_кр(a, k-1, n-k), где F_кр определяется по таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных a, n₁=k-1 и n₂=n-k.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных x_j, рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j. Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=j(x₁,x₂,…,x_k), являющимся функцией от аргументов x_j, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией s². Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_jx_j+…+b_kx_k, линейные относительно неизвестных параметров b_j (j=0,1,…,k) и аргументов x_j.

Коэффициент регрессии b_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную x_j увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y=X b+e,

где Y – случайный вектор-столбец размерности [n´1] наблюдаемых значений результативного признака (y₁,y₂,…,y_n); X – матрица размерности [n´ (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы x_ij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; x_оi=1); b – вектор-столбец размерности [(k+1)´1] неизвестных коэффициентов регрессии модели; e – случайный вектор-столбец размерности [n´1] ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.