Сущность и значение средних величин.

В результате группировки единиц совокупности по величине варьирующего признака получают ряды распределения - первичную характеристику массовой статистической совокупности. Чтобы охарактеризовать такую совокупность в целом, часто пользуются средней величиной.

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения, т.е. в замене x₁, x₂, x₃, ... x_n некоторой уравненной величиной .

Средние величины применяются для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий (объединений), фирм, банков и других хозяйственных единиц; средние используются при выявлении взаимосвязей явлений, при прогнозировании, а также расчете нормативов. Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности.

Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Поэтому очень важное правило - вычислять средние величины лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное, присущее всем единицам исследуемой совокупности. Прежде чем вычислять средние величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними .

Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Вычисление средней арифметической интервального ряда.

Вариационные ряды получаются в результате группировок, причем часто группировочные признаки показаны не одной величиной, а в определенных интервалах. Такие ряды называются интервальные.

Вычисление средней из интервального ряда имеет некоторые особенности. Для того, чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем - среднюю для всего ряда.

Средняя для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по формуле средней арифметической простой.

Определение варианты как полусуммы верхней и нижней границ интервального ряда исходит из предположения, что индивидуальные значения признака внутри интервала распределяются равномерно и, следовательно, средние значения интервалов достаточно близко примыкают к средней арифметической в каждой группе.

В действительности это не всегда так, поэтому средние, вычисленные из интервальных рядов, являются приблизительными.

Мода и медиана.

Мода в статистике – это величина варьирующего признака, который чаще всего встречается в данной совокупности или признак, который имеет наибольшую частоту.

Медиана – это значение признака, которая делит ряд распределения пополам, т.е. по обе стороны этого признака будет находиться одинаковое единиц изучаемого признака.

Мода и медиана – это описательное–среднее. Описательный характер моды и медианы связан с тем, что в них не погашаются индивидуальные отклонения. Они всегда соответствуют определенной варианте.

Правило сложения дисперсий.

На вариацию признака влияют различные причины, факторы. Все они делятся на случайные и систематические (постоянные). Поэтому вариация может быть случайной, вызванной, вызванной действием случайных причин, и систематической, обусловленной воздействием постоянных факторов. В связи с этим возникает необходимость в определении случайной и систематической вариации, их роли в общей вариации и влияния на нее.

Как уже отмечалось, общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех условий, всех причин, вызывающих эту вариацию, и рассчитывается следующим образом:

;

Для определения влияния постоянного фактора на величину вариации пользуются аналитической группировкой, т.е. расчленяют по нему всю совокупность на группы и определяют, как изменяется, варьируется общий результат под влиянием фактора, положенного в основание группировки.

Вариация, обусловленная фактором, положенным в основание группировки, называется межгрупповой вариацией.

Размеры ее определяются при помощи дисперсии групповых средних.

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых или частных средних ( _i) около общей средней (x_i) и исчисляется по формулам:

;

где x_i - средняя по каждой отдельной группе;

- средняя по всей совокупности;

n - число единиц совокупности;

f - частоты или веса.

Таким образом, межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) равна средней арифметической из квадратов отклонений частных средних от общей средней.

Она характеризует систематическую вариацию, которая возникает под влиянием фактора признака, положенного в основу группировки.

Для определения влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют дисперсию в пределах каждой группы, т.е. внутригрупповую дисперсию, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, которая возникает по влиянием всех факторов, кроме положенного в основание группировки.

Чтобы определить её, надо рассчитать вначале внутригруппировочные дисперсии по каждой группе в отдельности, а затем среднюю их них.

Сущность и значение средних величин.

В результате группировки единиц совокупности по величине варьирующего признака получают ряды распределения - первичную характеристику массовой статистической совокупности. Чтобы охарактеризовать такую совокупность в целом, часто пользуются средней величиной.

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения, т.е. в замене x₁, x₂, x₃, ... x_n некоторой уравненной величиной .

Средние величины применяются для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий (объединений), фирм, банков и других хозяйственных единиц; средние используются при выявлении взаимосвязей явлений, при прогнозировании, а также расчете нормативов. Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности.

Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Поэтому очень важное правило - вычислять средние величины лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное, присущее всем единицам исследуемой совокупности. Прежде чем вычислять средние величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними .

Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.