 |
Пусть характеристическое уравнение линейной или линеаризованной системы уравнений (12) возмущенного движения представлено в виде (17), причем, для определенности
В противном случае уравнение умножают на –1.
Нетрудно доказать следующее необходимо условие устойчивости. Для устойчивости линейной системы любого порядка необходимо, но не достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.
Иными словами, если линейная система устойчива, то коэффициенты ее характеристического уравнения положительны, но не наоборот.
 |
При доказательстве положим, что система заведомо устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части:
Характеристическое уравнение (17), как известно, можно записать в виде:
 |
Тогда, подставляя (24) в (25), получим
Последнее соотношение можно записать в следующей форме:
 |
 |
Легко сообразить, что, раскрывая скобки и перемножая сомножители в последнем выражении, можно получить только положительные коэффициенты в характеристическом уравнении (17).
Тем самым доказано утверждение, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (28), (23), если система устойчива.
Критерий Гурвица.
Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства.
Общий определитель Гурвица Δ n имеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов aν (23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:
 |
Частные определители Гурвица имеют вид:
 |
и так далее. Общий определитель Δn может быть разложен по последнему столбцу и составит:
Критерий Гурвица формулируется следующим образом.
 |
Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n частных определителей Гурвица Δν, ν=1,2,.. n, получаемых из общего определителя (30), (31), составленного из коэффициентов а0, а1, а2,...а n характеристического уравнения (17), были положительны:
 |
откуда, в частности, вытекает условие
Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).
 |
Тогда для системы первого порядка с характеристическим уравнением
 |
условием устойчивости в соответствии с критерием Гурвица будет
 |
Для системы второго порядка с характеристическим уравнением
 |
условия устойчивости согласно критерию Гурвица примут вид:
 |
Из последних двух условий получим:
Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).
 |
Наконец, рассмотрим систему третьего порядка с характеристическим уравнением
 |
Для которой на основании критерия Гурвица можно записать следующие условия устойчивости:
 |
Из этих неравенств получаем:
Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.
Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.
Критерий Рауса.
Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.
Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.
ФОРМУЛА 42
В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается.
Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.
Следует отметить, что критерий Рауса неприменим в двух случаях. Во-первых, когда какой-либо элемент первого столбца, начиная со второго, равен нулю. Тогда все члены следующей строки будут равны бесконечности. Во-вторых, когда все элементы второй или любой из следующих строк равны нулю. В этих специальных случаях необходимо использовать для анализа другие методы.
 |
Для примера рассмотрим уравнение:
 |
Сопоставляя (43) с (17), можно записать
 |
Тогда таблица Рауса будет иметь следующий вид:
 |
Замечаем, что знак элементов первого столбца таблицы сначала изменяется с плюса на минус, а затем – опять на минус. Это означает, что уравнение имеет два корня с положительными вещественными частями. Действительно, корнями уравнения (43) являются:
Следует иметь в виду, что для упрощения вычислений можно разделить (или умножить) все элементы любой строки на положительное число, прежде чем использовать их для получения следующей строки. Очевидно, что такая операция не изменит знака членов следующей строки и не отразится на конечном результате. Например, элементы третьей строки таблицы (45) можно было бы разделить на 8 для упрощения последующих вычислений.
Дата: 2019-05-28, просмотров: 163.
