Определение устойчивости и асимптотической устойчивости

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Введение.

Анализ устойчивости непосредственно связан с определением условий равновесия. В линейных системах существуют только одно состояние равновесия. Поэтому зависимые переменные, характеризующие состояние системы, с течением времени приближаются либо к состоянию покоя, либо периодического изменения. В нелинейных же системах возможны ситуации, когда существуют несколько состояний равновесия. Причем достаточно малого возмущения, чтобы начался переходный процесс, который приведет систему к новому состоянию равновесия, существенно отличающемуся от первоначального. Следовательно, при рассмотрении подобных систем необходимо проанализировать особенности их поведения в непосредственных окрестностях всех возможных состояний равновесия.

Если достаточно малое (независимо от того, какими причинами оно вызвано) возмущение приводит к существенному отклонению режима от исходного (установившегося) состояния или от невозмущенного движения, то говорят о нестабильности или неустойчивости положения равновесия или невозмущенного движения. Если же после прекращения действия возмущения система не отклоняется существенно от своего исходного состояния, то такой режим называют устойчивым.

Таким образом, в нелинейной теории недостаточно только получить весь спектр возможных решений. Необходимо еще провести исследование всех решений на устойчивость.

Исследованию вопросов устойчивости посвящено множество работ. Широко известны первые работы в этой области Лагранжа, Рауса, Жуковского и Пуанкаре. Значительным вкладом в теорию устойчивости явилось исследование выдающегося русского математика А. М. Ляпунова « Общая задача об устойчивости движения» (1892), которая еще и сегодня представляет собой основу всех исследований в этой области. А. М. Ляпунов дал строгое математическое определение устойчивости. Рассматривая нелинейные задачи небесной механики, А. М. Ляпунов доказал несколько теорем, решающих в общем виде задачу устойчивости. Он показал, что при малых отклонениях от состояния равновесия правильное суждение об устойчивости можно получить, используя линеаризацию исходного нелинейного уравнения.

Прежде чем перейти к методам исследования устойчивости или неустойчивости движения введем определение устойчивости.

Критерий Гурвица.

Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства.

Общий определитель Гурвица Δ _n имеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов a_ν (23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:

Частные определители Гурвица имеют вид:

и так далее. Общий определитель Δ_n может быть разложен по последнему столбцу и составит:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n частных определителей Гурвица Δ_ν, ν=1,2,.. n, получаемых из общего определителя (30), (31), составленного из коэффициентов а₀, а₁, а₂,...а _n характеристического уравнения (17), были положительны:

откуда, в частности, вытекает условие

Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).

Тогда для системы первого порядка с характеристическим уравнением

условием устойчивости в соответствии с критерием Гурвица будет

Для системы второго порядка с характеристическим уравнением

условия устойчивости согласно критерию Гурвица примут вид:

Из последних двух условий получим:

Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).

Наконец, рассмотрим систему третьего порядка с характеристическим уравнением

Для которой на основании критерия Гурвица можно записать следующие условия устойчивости:

Из этих неравенств получаем:

Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.

Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.

Критерий Рауса.

Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.

Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.

ФОРМУЛА 42

В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается.

Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.

Следует отметить, что критерий Рауса неприменим в двух случаях. Во-первых, когда какой-либо элемент первого столбца, начиная со второго, равен нулю. Тогда все члены следующей строки будут равны бесконечности. Во-вторых, когда все элементы второй или любой из следующих строк равны нулю. В этих специальных случаях необходимо использовать для анализа другие методы.

Для примера рассмотрим уравнение:

Сопоставляя (43) с (17), можно записать

Тогда таблица Рауса будет иметь следующий вид:

Замечаем, что знак элементов первого столбца таблицы сначала изменяется с плюса на минус, а затем – опять на минус. Это означает, что уравнение имеет два корня с положительными вещественными частями. Действительно, корнями уравнения (43) являются:

Следует иметь в виду, что для упрощения вычислений можно разделить (или умножить) все элементы любой строки на положительное число, прежде чем использовать их для получения следующей строки. Очевидно, что такая операция не изменит знака членов следующей строки и не отразится на конечном результате. Например, элементы третьей строки таблицы (45) можно было бы разделить на 8 для упрощения последующих вычислений.

Введение.

Определение устойчивости и асимптотической устойчивости.

Поведение широкого класса физических систем часто описывается дифференциальными уравнениями n–го порядка, которое всегда может быть преобразовано в эквивалентную систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка в виде:

Здесь y_ν(t) являются какими – либо зависимыми переменными, связанными с «движением» (в свете механики), т. е. С временным (динамическим) протеканием процесса; например, в электрических системах это могут быть напряжения, токи, заряды и т. п. Точка сверху означает производную от этих величин по времени: формула

Частному решению f_ν(t) одного из системы уравнений (1) соответствует движение системы, которое назовем невозмущенным движением в противоположность другому движению, которое обозначим как возмущенное движение y_ν(t) . Очевидно, что f_ν(t) должно удовлетворять следующей системе уравнений:

Различие значений возмущенного y_ν(t) и невозмущенного f_ν(t) движений в каждый момент времени t назовем возмущением x_ν(t):

Затем при следующих выражениях:

Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называется устойчивым, если для всякого небольшого положительного числа δ > 0 может быть найдено другое такое число ε(δ), чтобы для всех возмущенных движений y_ν(t) для начального момента времени t = t₀ выполнялось неравенство (4), а во все последующие моменты времени t > t₀ было справедливо неравенство (5). В противном случае невозмущенное движение неустойчиво. Иными словами невозмущенное движение устойчиво, если, будучи возмущено в начальный момент времени оно в дальнейшем целиком проходит в непосредственной окрестности своего первоначального состояния и не покидает эту соседнюю область.

Из данного определения устойчивости движения получается устойчивость положения равновесия как частный случай, когда все f_ν(t)=С_ν, т.е. являются постоянными величинами.

Более жестким, чем только что данное определение, является определение асимптотической устойчивости. А именно, невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво в смысле вышеуказанного определения (4), (5), и, во-вторых, если можно выбрать число δ такое, чтобы для всех возмущенных движений, которые удовлетворяют неравенству (4) дополнительно выполнялось условие (6). Другими словами это означает, что при возмущенном в начальный момент времени t=t₀ асимптотически устойчивом движении возмущения не только остаются внутри окрестности первоначального состояния ε(δ), как при нормальной устойчивости, но и дополнительно с течением времени затухают до нуля.

Итак, возмущенное движение устойчиво, если возмущенное в начальный момент времени движение проходит в его непосредственной окрестности и не покидает определенную соседнюю область. Оно асимптотически устойчиво, если возмущенное движение асимптотически стремится к невозмущенному.

Приведенное определение устойчивости называется устойчивым «в малом». Наряду с ним часто пользуются понятиями об устойчивости «в большом» и «в целом», которые характеризуют поведение движения по отношению к большим начальным возмущениям из определенной области или даже для произвольных начальных возмущений. Такие случаи часто имеют существенное значение в некоторых задачах. Однако во многих практически важных задачах вполне достаточным оказывается исследование устойчивости «в малом». Именно этот вариант и будет рассматриваться в дальнейшем изложении.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения; уравнения первого приближения.

Продифференцировав (3) по времени, получим:

где, в соответствии с (1), (2), обозначено

Уравнения (7) записаны относительно возмущений x_ν(t) и называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное решение уравнений (8). Например, полностью невозмущенному движению соответствует тривиальное решение:

при котором, как легко видеть (8), функции X_ν также становятся тождественно равными нулю.

Для многих задач исследования устойчивости желательно правые чести уравнений возмущенного движения (7) разложить в ряд по степеням возмущений X_ν в окрестности нулевой точки (9). Так как здесь выполяются условия (10), то свободные члены в разложение не попадают (ряд Маклорена) и можно записать:

где а_ν1, а_ν2, ..., а_νn– постоянные коэффициенты при разложении функции X_ν в ряд Маклорена, X_ν – сокращенная запись для суммарного обозначения всех слагаемых разложения, которые относительно возмущений x_ν имеют степень выше единицы, а также - перекрестных членов ряда. Во многих случаях, если начальные значения возмущений x_ν малы, то при исследовании устойчивости можно пренебречь членами высших порядков малости и рассматривать линеаризованную систему уравнений возмущенного движения:

Эту систему называют системой уравнений 1-го приближения.

Вопрос о возможности суждения об устойчивости или неустойчивости первоначальной нелинейной системы на основании рассмотрения уравнений 1-го приближения, т. е. Линеаризованной системы уравнений возмущенного движения, впервые был рассмотрен А. М. Ляпуновым для всех случаев исследования уравнений (7). При этом найденные и доказанные им положения об устойчивости линеаризованной системы получаются из общей теории А. М. Ляпунова об устойчивости и неустойчивости.

Дата: 2019-05-28, просмотров: 196.

12 3 Следующая ⇒