П.1. Сведение двойного интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу

Теорема 1 Пусть 1) функция  интегрируема на прямоугольнике ; 2)  существует интеграл . Тогда функция  - интегрируема на , причем .

Следствие 1  Пусть ,  интегрируема на . Если  и , тогда

       (1)

Следствие 2 Если  - непрерывна на , то верны условия следствия 1, и равенство (1) выполняется.

П.2 Сведение двойного интеграла по элементарной области

К повторному интегралу

          Пусть  и  − непрерывны на  и .

Область  называется элементарной относительно оси . Это множество является измеримым по Жордану, т.к.  ограничено кривыми и отрезками.

Теорема 2  Пусть  элементарная относительно оси  область, функция    интегрируема на  и , тогда

                               .                                     (2)

Следствие  Если  непрерывна на , то справедлива формула  (2).

Пример   Вычислить , если .

Опр. Определим область, элементарную относительно оси  − это множество .

Теорема 3  Если  непрерывна в области , элементарной относительно оси , то .

П.3  Сведение тройных интегралов к повторным

Область  называется элементарной относительно оси , если:            , где  − замкнутое и ограниченное множество  в , функции  и  − непрерывные.

Теорема 4  Если функция  − непрерывна в области , элементарной относительно оси , то .

Если при этом  =     ,

      то .

Пример 1 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле , если  − область, ограниченная параболоидом  и плоскостью . Ответ: .

Пример 2  Вычислить  по области , ограниченной плоскостями , , , .

Замена переменных в кратном интеграле

П.1 Двойные интегралы

Рассмотрим . Перейдем от переменных  к переменным  по формулам:     , , .

При этом отображении каждой точке  соответствует некоторая точка . (Т.е. если точка ( ) пробегает область , то ( ) пробегает область .) Область  является образом  при данном отображении.

Пусть отображение , ,      (1) удовлетворяет следующим условиям:

1) Отображение (1) взаимно однозначно (т.е. различные точки области  переходят в различные точки области );

2) Функции  и  имеют непрерывные частные производные первого порядка в области ;

3) Якобиан отображения     ≠  0 в .

Теорема   Пусть  и  - замкнутые ограниченные множества, функция  ограничена в области  и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества меры 0, а отображение (1) удовлетворяет условиям 1-3. Тогда справедливо равенство

.

Замечание 1 Отображение, удовлетворяющее условиям 1-3, обладает следующими свойствами:

1) непрерывные кривые при этом отображении переходят в непрерывные кривые;

2) граница области  переходит в границу области .

Замечание 2

  Если условие 1 (взаимная однозначность отображения (1)) или условие 3 (неравенство нулю Якобиана) нарушается на множестве меры 0 (например, в отдельных точках или на отдельных кривых), то формула замены переменных остается в силе.

Пример Вычислить , если  ограничена кривыми:

, .

Решение. Замена . Тогда .

Выразим , .

Якобиан I =