Пусть множество G измеримо по Жордану в .

Опр. Разбиением множества G называется совокупность измеримых по Жордану  в  и попарно непересекающихся множеств , , если .

    Разбиение будем обозначать буквой Т, – диаметр множества . Число  называется мелкостью разбиения.

Опр. Пусть функция f(x) определена на измеримом по Жордану множестве ,  − разбиение множества .

      Возьмем в каждом множестве  произвольную точку .

Выражение  называется интегральной суммой Римана функции  f(x) на множестве , соответствующей разбиению T и выборке .

Опр. Число I называется пределом интегральных сумм  при мелкости разбиения , если , такое, что для любого разбиения с мелкостью  и при любом выборе точек  выполняется неравенство

.

    Если число I  является пределом интегральных сумм при , то число I называют кратным интегралом Римана от функции f(x) по множеству , а функцию f(x) − интегрируемой по множеству .

      Обозначается  или .

В случае  интеграл называется двойным, а в случае  − тройным. Обозначается …

    Прежде, чем сформулировать теорему, введем определение.

    Если f(x) ограничена на множестве , то для  разбиения  T  определены числа   и .

Выражения  и  называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению  Т.

Теорема (критерий интегрируемости)

Ограниченная функция  интегрируема по множеству  тогда и только тогда, когда  : для любого разбиения с мелкостью  выполняется неравенство , т.е.  при .

П.3. Классы интегрируемых функций

Теорема 1  Непрерывная на измеримом по Жордану компакте функция интегрируема на нем.

Теорема 2 Пусть функция  ограничена на измеримом по Жордану компакте  и множество ее точек разрыва имеет Жорданову меру 0, тогда  интегрируема на множестве .

Доказательство. Пусть Е − множество точек разрыва функции  и . Тогда  существует открытое клеточное множество А, такое, что  и , где

На множестве  (а оно замкнуто и ограничено)  непрерывна, следовательно, интегрируема. Значит,  существует разбиение  множества  такое, что

Пусть . Тогда множества  образуют разбиение Т множества , причем .

Тогда

П.4. Свойства кратного интеграла

 1) Справедливо равенство .  

2) Если  и   интегрируема на множестве , то .

3) Если  и   интегрируемы на множестве , то  − интегрируема на множестве , причем

.

4) Если  и  интегрируемы на множестве  и , ,  то .

5) Теорема о среднем. Если – непрерывна на связном компакте , то

 : .

6) Если  − разбиение множества , причем  интегрируема на каждом , то  интегрируема на множестве , причем

.

7) Произведение интегрируемых на  функций, есть интегрируемая на  функция.

8) Если  интегрируема на множестве , то  тоже  интегрируема на , причем .