Свойства множеств жордановой меры 0

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Свойства множеств жордановой меры 0.

1) Множество меры 0 измеримо по Жордану (по определению).

2) Объединение конечного числа множеств меры 0 есть множество меры 0.

3) Подмножество множества меры 0 есть множество меры 0.

П.2. Определение кратного интеграла Римана

Пусть множество G измеримо по Жордану в .

Опр. Разбиением множества G называется совокупность измеримых по Жордану в и попарно непересекающихся множеств , , если .

Разбиение будем обозначать буквой Т, – диаметр множества . Число называется мелкостью разбиения.

Опр. Пусть функция f(x) определена на измеримом по Жордану множестве , − разбиение множества .

Возьмем в каждом множестве произвольную точку .

Выражение называется интегральной суммой Римана функции f(x) на множестве , соответствующей разбиению T и выборке .

Опр. Число I называется пределом интегральных сумм при мелкости разбиения , если , такое, что для любого разбиения с мелкостью и при любом выборе точек выполняется неравенство

Если число I является пределом интегральных сумм при , то число I называют кратным интегралом Римана от функции f(x) по множеству , а функцию f(x) − интегрируемой по множеству .

Обозначается или .

В случае интеграл называется двойным, а в случае − тройным. Обозначается …

Прежде, чем сформулировать теорему, введем определение.

Если f(x) ограничена на множестве , то для разбиения T определены числа и .

Выражения и называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению Т.

Теорема (критерий интегрируемости)

Ограниченная функция интегрируема по множеству тогда и только тогда, когда : для любого разбиения с мелкостью выполняется неравенство , т.е. при .

П.3. Классы интегрируемых функций

Теорема 1 Непрерывная на измеримом по Жордану компакте функция интегрируема на нем.

Теорема 2 Пусть функция ограничена на измеримом по Жордану компакте и множество ее точек разрыва имеет Жорданову меру 0, тогда интегрируема на множестве .

Доказательство. Пусть Е − множество точек разрыва функции и . Тогда существует открытое клеточное множество А, такое, что и , где

На множестве (а оно замкнуто и ограничено) непрерывна, следовательно, интегрируема. Значит, существует разбиение множества такое, что

Пусть . Тогда множества образуют разбиение Т множества , причем .

Тогда

Сведение кратных интегралов к повторным

П.2 Сведение двойного интеграла по элементарной области

К повторному интегралу

Пусть и − непрерывны на и .

Область называется элементарной относительно оси . Это множество является измеримым по Жордану, т.к. ограничено кривыми и отрезками.

Теорема 2 Пусть элементарная относительно оси область, функция интегрируема на и , тогда

. (2)

Следствие Если непрерывна на , то справедлива формула (2).

Пример Вычислить , если .

Опр. Определим область, элементарную относительно оси − это множество .

Теорема 3 Если непрерывна в области , элементарной относительно оси , то .

П.1 Двойные интегралы

Рассмотрим . Перейдем от переменных к переменным по формулам: , , .

При этом отображении каждой точке соответствует некоторая точка . (Т.е. если точка ( ) пробегает область , то ( ) пробегает область .) Область является образом при данном отображении.

Пусть отображение , , (1) удовлетворяет следующим условиям:

1) Отображение (1) взаимно однозначно (т.е. различные точки области переходят в различные точки области );

2) Функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка в области ;

3) Якобиан отображения ≠ 0 в .

Теорема Пусть и - замкнутые ограниченные множества, функция ограничена в области и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества меры 0, а отображение (1) удовлетворяет условиям 1-3. Тогда справедливо равенство

Замечание 1 Отображение, удовлетворяющее условиям 1-3, обладает следующими свойствами:

1) непрерывные кривые при этом отображении переходят в непрерывные кривые;

2) граница области переходит в границу области .

Замечание 2

Если условие 1 (взаимная однозначность отображения (1)) или условие 3 (неравенство нулю Якобиана) нарушается на множестве меры 0 (например, в отдельных точках или на отдельных кривых), то формула замены переменных остается в силе.

Пример Вычислить , если ограничена кривыми: