Свойства множеств жордановой меры 0
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Свойства множеств жордановой меры 0.

1) Множество меры 0 измеримо по Жордану (по определению).

2) Объединение конечного числа множеств меры 0 есть множество меры 0.

3) Подмножество множества меры 0 есть множество меры 0.

 

 

П.2. Определение кратного интеграла Римана

    Пусть множество G измеримо по Жордану в .

Опр. Разбиением множества G называется совокупность измеримых по Жордану  в  и попарно непересекающихся множеств , , если .

    Разбиение будем обозначать буквой Т, – диаметр множества . Число  называется мелкостью разбиения.

 

Опр. Пусть функция f(x) определена на измеримом по Жордану множестве ,  − разбиение множества .

      Возьмем в каждом множестве  произвольную точку .

Выражение  называется интегральной суммой Римана функции  f(x) на множестве , соответствующей разбиению T и выборке .

 

Опр. Число I называется пределом интегральных сумм  при мелкости разбиения , если , такое, что для любого разбиения с мелкостью  и при любом выборе точек  выполняется неравенство

.

    Если число I  является пределом интегральных сумм при , то число I называют кратным интегралом Римана от функции f(x) по множеству , а функцию f(x) − интегрируемой по множеству .

      Обозначается  или .

В случае  интеграл называется двойным, а в случае  − тройным. Обозначается …

 

    Прежде, чем сформулировать теорему, введем определение.

    Если f(x) ограничена на множестве , то для  разбиения  T  определены числа   и .

Выражения  и  называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению  Т.

 

Теорема (критерий интегрируемости)

Ограниченная функция  интегрируема по множеству  тогда и только тогда, когда  : для любого разбиения с мелкостью  выполняется неравенство , т.е.  при .

        

П.3. Классы интегрируемых функций

Теорема 1  Непрерывная на измеримом по Жордану компакте функция интегрируема на нем.

Теорема 2 Пусть функция  ограничена на измеримом по Жордану компакте  и множество ее точек разрыва имеет Жорданову меру 0, тогда  интегрируема на множестве .

Доказательство. Пусть Е − множество точек разрыва функции  и . Тогда  существует открытое клеточное множество А, такое, что  и , где

На множестве  (а оно замкнуто и ограничено)  непрерывна, следовательно, интегрируема. Значит,  существует разбиение  множества  такое, что

Пусть . Тогда множества  образуют разбиение Т множества , причем .

Тогда

 

Сведение кратных интегралов к повторным

П.2 Сведение двойного интеграла по элементарной области

К повторному интегралу

          Пусть  и  − непрерывны на  и .

Область  называется элементарной относительно оси . Это множество является измеримым по Жордану, т.к.  ограничено кривыми и отрезками.

Теорема 2  Пусть  элементарная относительно оси  область, функция    интегрируема на  и , тогда

                               .                                     (2)

 

 

Следствие  Если  непрерывна на , то справедлива формула  (2).

 

Пример   Вычислить , если .

 

Опр. Определим область, элементарную относительно оси  − это множество .

 

Теорема 3  Если  непрерывна в области , элементарной относительно оси , то .

 

П.1 Двойные интегралы

Рассмотрим . Перейдем от переменных  к переменным  по формулам:     , , .

При этом отображении каждой точке  соответствует некоторая точка . (Т.е. если точка ( ) пробегает область , то ( ) пробегает область .) Область  является образом  при данном отображении.

Пусть отображение , ,      (1) удовлетворяет следующим условиям:

1) Отображение (1) взаимно однозначно (т.е. различные точки области  переходят в различные точки области );

2) Функции  и  имеют непрерывные частные производные первого порядка в области ;

3) Якобиан отображения     ≠  0 в .

Теорема   Пусть  и  - замкнутые ограниченные множества, функция  ограничена в области  и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества меры 0, а отображение (1) удовлетворяет условиям 1-3. Тогда справедливо равенство

.

 

Замечание 1 Отображение, удовлетворяющее условиям 1-3, обладает следующими свойствами:

1) непрерывные кривые при этом отображении переходят в непрерывные кривые;

2) граница области  переходит в границу области .

Замечание 2

  Если условие 1 (взаимная однозначность отображения (1)) или условие 3 (неравенство нулю Якобиана) нарушается на множестве меры 0 (например, в отдельных точках или на отдельных кривых), то формула замены переменных остается в силе.

 

Пример Вычислить , если  ограничена кривыми:

, .

Решение. Замена . Тогда .

Выразим , .

Якобиан I =

 

Свойства множеств жордановой меры 0.

1) Множество меры 0 измеримо по Жордану (по определению).

2) Объединение конечного числа множеств меры 0 есть множество меры 0.

3) Подмножество множества меры 0 есть множество меры 0.

 

 

Дата: 2019-03-05, просмотров: 339.