П.2 Непрерывность функции многих переменных

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

П.2 Непрерывность функции многих переменных

. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке , если существует .

. Функция , определенная в окрестности , непрерывна в точке , если .

. Функция называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример Функция не является непрерывной в точке , так как не существует . Действительно, если взять две последовательности и , то получим

, при .

Теорема (о непрерывности сложной функции) Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке ; функция определена в окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая непрерывна в точке .

Пример непрерывна на .

Здесь , , , .

§3 Дифференцируемость функций многих переменных

п.1 Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки . Зафиксируем переменные . Тогда функцию можно рассматривать как функцию одной переменной . Если такая функция имеет производную, то эта производная называется частной производной функции по переменной . Таким образом,

Аналогично, при

Обозначается i -тая частная производная также .

Так как при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функций одной переменной. Например, если , то , .

П.2 Дифференцируемость функций многих переменных

О. Функция называется дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности и существуют такие числа , что приращение функции в точке представимо в виде:

при .

Теорема Если функция дифференцируема в точке , то она имеет все частные производные , , причем

при .

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке . Это значит, что существуют такие числа , что при

Возьмем в последнем равенстве , , … , .

Тогда последнее равенство примет вид:

, .

Разделим это равенство на и устремим . Получим

Аналогично доказывается, что , ■

Доказанная теорема говорит о том, что дифференцируемость функции является достаточным условием для существования частных производных. Однако существование частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в точке.

Теорема Если все частные производные , определены в окрестности точки и непрерывны в точке , то функция дифференцируема в точке .

Непрерывность частных производных в точке является достаточным условием дифференцируемости функции, но не является необходимым условием.

Дифференциала

Пусть функция дифференцируема на открытом множестве . Рассмотрим её график, т.е. множество

Пусть точка лежит на графике функции , т.е. .

Найдем дифференциал .

Известно, что вектор есть касательный вектор к кривой Г, проходящей через точку и лежащей на графике функции .

Условие означает, что вектор ортогонален вектору касательной. Поэтому вектор ортогонален любой кривой, лежащей на графике и проходящей через точку . Его называют вектором нормали к графику функций в точке Р.

Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная вектору нормали , называется касательной плоскостью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:

Прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:

Если поверхность задана неявно, т.е. уравнением , то уравнение касательной плоскости имеет вид:

Из уравнения касательной плоскости получаем:

Получили геометрический смысл дифференциала: есть приращение аппликаты (координаты z) на касательной плоскости.

Геометрический смысл дифференцируемости функции в точке: если функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная плоскость к графику этой функции.

Высших порядков

Пусть для функции , существуют частная производная . Если эта функция имеет в некоторой точке частную производную , то эта производная называется частной производной второго порядка и обозначается или .

Если , то эта производная обозначается .

Производные и называются смешанными. Вообще говоря, не всегда равна .

Теорема (о смешанных производных) Если обе смешанные производные и определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то = .

Производные более высоких порядков определяются по индукции.

Например, .

Дифференциалом второго порядка для называется величина

Если смешанные производные непрерывны, то для функции двух переменных .

Если обозначить оператор , то для

Например, .

Отметим, что дифференциалы второго и более высокого порядков не обладают свойством инвариантности относительно замены переменных.

Нескольких переменных

Теорема Если функция дифференцируема раз в некоторой окрестности точки (т.е. все частные производные n-го порядка дифференцируемы в этой точке), то для любой точки из этой окрестности справедливо равенство:

Здесь .

Остаточный член в форме Пеано: , при .

Остаточный член в форме Лагранжа: .

§5 Локальный экстремум функции

Нескольких переменных

п.1 Определения

. Пусть и пусть .

Точка называется точкой (локального) минимума функции , если существует такой шар , что для выполняется неравенство .

Если выполняется неравенство , то – точка строгого локального минимума функции .

Аналогично определяются точки локального максимума (строгого локального максимума) функции .

Например, для функции точка является точкой строгого минимума, т.к. .

. Точки локального максимума и точки локального минимума функции называются точками экстремума.

Теорема 1 Если – точка экстремума функции и существует частная производная , то она равна нулю.

Следствие Если – точка экстремума функции , и дифферен-цируема в этой точке, то

Действительно, т.к. дифференцируема в точке , то в этой точке существуют все частные производные, и они равны нулю.

. Если дифференцируема в точке и , то называется стационарной точкой функции (иногда называют точкой возможного экстремума).

Замечание. Точка экстремума дифференцируемой функции всегда является стационарной точкой. Обратное не всегда верно. Например, для точка является стационарной точкой, но не является точкой экстремума, так как в любой её окрестности есть точки вида такие, что , и есть точки вида такие, что . При этом .

Теорема 2 Пусть – точка минимума функции , функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные I и II порядка. Тогда , . Если же – точка максимума функции , то , .