Тригонометрическая система состоит из функций:
(1)
Тригонометрическая система функций является ортогональной в пространстве , но не является нормированной. В самом деле, легко проверить, что
при ;
при ;
; ; ;
; ; .
Кроме того, тригонометрическая система функций является замкнутой в пространстве .
Ряд Фурье по тригонометрической системе принято записывать в виде:
, (2)
а коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
(3)
Таким образом, наилучшим среднеквадратическим приближением функции в семействе тригонометрических многочленов вида
(4)
(здесь и - произвольные вещественные постоянные коэффициенты) является частичная сумма тригонометрического ряда Фурье
. (5)
Из замкнутости тригонометрической системы следует, что погрешность этих приближений, стремится к нулю при .
Рассмотрим некоторые свойства полученных приближений функции тригонометрическими многочленами. Сходимость ряда (1) к функции по норме пространства не означает, что ряд (1) будет сходиться к функции в каждой точке отрезка . Приведем без доказательства условия поточечной сходимости ряда Фурье к порождающей его функции .
Теорема 2. Если функция кусочно-непрерывна на отрезке и периодична с периодом , то во всех точках x, где функция непрерывна, сумма ряда Фурье (1) будет совпадать с функцией . В тех точках, где функция терпит разрыв первого рода, сумма ряда Фурье (1) будет равна .
В проколотой окрестности точек разрыва первого рода функции -сходимость частичных сумм тригонометрического ряда Фурье к функции при является неравномерной. Если, например, функция имеет период 2 и на периоде задана формулой:
Рис. 7 Приближение при n=10,20,50
то , в то время как (явление Гиббса). Чтобы понять это явление полезно посмотреть, как ведут себя графики частичных сумм тригонометрического ряда Фурье для этого случая с ростом n. На рисунке изображены графики при , и (сверху вниз). Из рисунка видно, что в проколотой окрестности точки разрыва ( ) на графиках возникают гребни и провалы, высота которых с ростом n не стремится к нулю (а стремится к 0,09). Эти гребни и провалы с ростом n сужаются и смещаются к точке разрыва. Поэтому при любом фиксированном значении n существуют точки x в окрестности точки разрыва, в которых функция отличается от на величину, не меньшую 0,09. В самой же точке разрыва при любом n, в то время как .
Осталось заметить, что если функция является четной, то все интегралы (5.1.26) с синусами обратятся в 0 (как интегралы от нечетных функций с симметричными пределами интегрирования) и ряд Фурье примет вид
. (6)
В этом случае говорят, что функция разлагается по косинусам.
А если функция является нечетной, то все интегралы (2) с косинусами обратятся в 0 (как интегралы от нечетных функций с симметричными пределами интегрирования) и ряд Фурье примет вид
. (7)
В этом случае говорят, что функция разлагается по синусам.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 303.