Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
© 2018 - 2024
Отображение f: Mn ® M называют n-местной операцией на М. n-местной операции на множестве М соответствует n+1 – местный предикат на множестве М. В этом случае говорят, что множество М замкнуто относительно данной операции. Свойства бинарных операций приведены в таблице
| Свойство операции | Мультипликативная запись | Аддитивная запись | Пояснения |
| Множество ВÍА замкнуто относительно операции | "x,yÎB ® x·yÎB | "x,yÎB® xÅyÎB | Операция не выводит из множества В. |
| Операция ассоциативна. | "x,y,z: x,y,zÎA ® (x·y)·z = x·(y·z) | "x,y,z: x,y,zÎA ® (xÅy)Åz=xÅ(yÅz) | Результат операции не зависит от порядка выполнения. |
| Операция коммутативна. | "x,y: x,yÎA ® x·y = y·x | "x,y: x,yÎA ® xÅy = yÅx | Результат операции не зависит от порядка операндов. |
| Элемент с является центральным элементом | "x: xÎA ® c·x = x·c | "x: xÎA ® cÅx = xÅc | Элемент “с” коммутативен с любым элементом из А. |
| aÎA – элемент, регулярный слева. | "x,y: a·x=a·y ® x=y | "x,y: aÅx=aÅy ® x=y | В каждом равенстве элемент «а» слева может быть исключен. |
| аÎА – элемент, регулярный справа | "x,y: x·a=y·a ® x=y | "x,y: xÅa = yÅa ® x=y | В каждом равенстве элемент «а» справа может быть исключен. |
| Для операции существует нейтральный элемент е. | $!e"x:x·e=e·x=x е-единичный элемент, e=1 | $!e "x: xÅe=eÅx=x, е - нулевой элемент , e=0 | Элемент «е» оставляет при операции все элементы неизменными. |
| Для элемента аÎА существует обратный элемент а-1 | a·a-1= a-1·a=e | aÅa-1=a-1Åa=0 a-1=`a | Результатом операции «а» с обратным элементом «а-1» является нейтрал ьный элемент |
| Операция · (Å) дистрибутивна относительно Å (·) | "x,y,z:x·(yÅz)= =(x·y)Å(x·z) | "x,y,z:xÅ(y·z)= =(xÅy)·(xÅz) | |
| Операция тождественна | "x: x · x = x | "x:xÅx=x | |
| Справедлива аксиома поглощения | "x,y; x · (x Å y) = x | "x,y: xÅ(x·y)=x |
Алгебра моделей с одной определяющей операцией
Совокупность множества М и заданных на нем операций называют алгеброй. Алгебра А определяется как кортеж длины 2, элементами которого являются несущее множество алгебры М и множество операций Ф, которое называется сигнатурой алгебры А: А = (М,Ф). Вектор арностей операций алгебры А называется ее типом.
К фундаментальным алгебрам относятся группы, кольца, решетки.
ГРУППЫ
Алгебра вида А= (М, f(2)) называется группоидом, множество М замкнуто относительно операции ·. Если операция f(2) типа умножения, группоид называется мультипликативным, если типа сложения – аддитивным. В мультипликативном группоиде нейтральный элемент называется единицей, обозначается 1. В аддитивном группоиде нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.
Алгебра G = (M, ·) , где · - двуместная операция на М, называется полугруппой, если она является группоидом и операция «·» ассоциативна. Полугруппа называется абелевой полугруппой, если операция «·» коммутативна. Если в полугруппе определены нейтральный элемент и обратный элемент, то такая полугруппа называется группой. Коммутативная группа называется абелевой группой. Аксиомы группы:
G1: "x, y:x,yÎM, то x·yÎM; множество М замкнуто относительно операции “·”;
G2: "x,y,z:(x·y)·z=x·(y·z); ассоциативность;
G3: "x$!e:x·e=e·x=x; существование нейтрального элемента
G4: "x$x-1: x · x-1 = x-1 · x = e; существование обратного элемента;
Абелева группа:
G5: "x, y: x · y = y · x; (коммутативность);
G6: "x, y $!t: x · t = y, t · x = y; (существование и единственность решения).
Мощность множества М называется порядком группы.
ПРИМЕР:
А = (R\{0}, ´ ). Здесь R – множество действительных чисел, ´ - операция арифметического умножения.
Операция ´ ассоциативна – полугруппа, коммутативна – абелева полугруппа, е=1, следовательно, выполнена аксиома G3; "x: x-1 = 1/x, следовательно, выполнена аксиома G4; аксиома G6 также выполняется. Следовательно, данная алгебра является абелевой группой.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 221.