Операции пересечения, объединения, разности и дополнения позволяют формировать новые множества. Однако, как правило, мы не можем сказать, как одно множество соотносится с другим. Например, пусть даны два множества А и В. Пересечение А и В в некотором смысле "меньше" (или по крайней мере не больше), чем А. Действительно, все элементы множества А Ç В принадлежат также множеству А. Из этого наблюдения можно формально определить равенство множеств и различных выражений для того же множества. С помощью этих определений мы также в состоянии написать подходящие логические доказательства важных фактов, относящихся к множествам. Эти результаты, хотя и очевидны, обеспечивают подходящие ситуации, в которых можно ввести некоторые из основных способов доказательств, используемых в дальнейшем.

Доказательство тождественного равенства множеств может быть основано на следующем определении:

Здесь символ "Û" означает "тогда и только тогда, когда" или "если и только если" и означает эквивалентность двух утверждений. В общем случае мы должны провести доказательство в обе стороны раздельно. Заметим, что эквивалентность может быть легко получена с помощью диаграммы Эйлера - Венна, однако не всегда можно начертить диаграмму, относительно которой можно быть уверенным, что она настолько отвечает требованиям, насколько необходимо.

Доказательство состоит из последовательности утверждений вида "если Р , то Q". Следовательно, если имеется последовательность P₀, P₁, ..., P_n, такая что P₀ÞP₁, P₁ÞP₂, ..., P_n-1ÞP_n, то мы имеем прямое доказательство P₀ÞP_n. В следующих примерах мы покажем, как на практике применить вышеприведенные рассуждения.

Пример 2. Доказать справедливость тождества: А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).

§ Пусть  Тогда  Следовательно,

. Следовательно,

Таким образом, доказано прямое включение рассматриваемых множеств. Обратное включение доказывается путем аналогичных рассуждений.¨

Пример 3. Доказать, что

§ В этой задаче нет доказательства тождественного равенства множеств. Подход к решению такого рода задач состоит в том, что доказывается вначале, что из левого утверждения следует правое утверждение и затем обратное следование из правого утверждения левого утверждения. Доказательство проводится в два этапа.

1. Пусть  и  Рассмотрим два случая:  или  Если , то  и . Если же  и , то . Следовательно, .

2. Пусть  и . Тогда  и . Следовательно,  Следовательно, .

¨

Пример 4. Доказать, что . Доказательство строится аналогично предыдущему.

Утверждения, доказываемые в примерах 3 и 4, следует также использовать при решении задач, связанных с доказательством тождеств на множествах.

Такие же приемы используются при решении систем уравнений в теории множеств.

Пример 5. Решить систему уравнений

§ 1. Для первого уравнения из определения тождественного равенства множеств запишем:

 Из второго включения следует:  и . Из первого включения, учитывая Пример 3, запишем, . Объединив полученные результаты, получим

2. Для второго уравнения запишем аналогично:  Из первого включения получим . Из второго включения, учитывая пример 4, получим . Объединяя полученные включения, получим

3. Теперь нужно объединить два двойных неравенства, полученные в пунктах 1 и 2. В соответствии с определением отношения включения, части неравенств, стоящие слева от знака Í, следует соединить операцией объединения, а стоящие справа – операцией пересечения:

 Если множества, входящие в это двойное неравенство одинаковы, то можно сделать вывод относительно множества X. Преобразуем левое множество с целью получить выражение, совпадающее с правым множеством.

 так как ранее было получено, что  Следовательно, X=

¨

Пример 6. В некоторых случаях оказывается полезным соотношение:

Докажем его.

§ По определению тождественного равенства множеств:  По определению включения  следовательно,  Аналогично из второго включения получим:  следовательно  Следовательно, исходное соотношение справедливо, так как объединение пустых множеств пусто.

¨

Пример 7. Доказать, что любое уравнение относительно множества Х, в правой части которого стоит пустое множество Æ, равносильно уравнению:

§ Докажем вначале, что левая часть уравнения может быть представлена в предложенной форме. Действительно, предложенная форма представляет собой НФК, в которой может быть представлено любое множество путем применения аксиом и тождеств алгебры Кантора к исходному уравнению, как это было описано выше. А и В – это формулы, являющиеся пересечением конечного числа множеств.

Далее, исходя из определения операции объединения множеств, заключаем, что объединение двух множеств пусто тогда и только тогда, когда оба эти множества пусты.

Получив НФК, приравняем нулю каждое из полученных слагаемых. В соответствии с предыдущими рассуждениями, из равенства пересечения двух множеств пустому множеству следуют включения:  Следовательно,  Здесь А и В – произвольные множества. Решение существует, если выполняется полученное двойное включение.

¨

Опишем метод решения системы двух уравнений относительно неизвестного множества Х, основанный на примерах 6 и 7.

1. Учитывая пример 6, заменить каждое уравнение системы на уравнения, в правой части которых стоит 0.
2. Записать каждое уравнение в виде объединения пересечений пустых множеств.
3. Учитывая пример 7, записать условия существования решения.
4. Найти решение.

Рассмотрим применение этого метода.

Пример 8. Решить систему уравнений:

§ 1. Из первого уравнения имеем:

отсюда в результате преобразований получим:

Отсюда получим неравенства:

 и

2. Из второго уравнения:

После преобразований получим:

Отсюда получим:

 и

1. Объединяя двойные неравенства, полученные в пунктах 1 и 2, получим:

 откуда сразу получаем:

Следовательно, X=A.

¨