Формирование исходных данных к задачам

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания

по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения,

обучающихся по направлению 38.03.01 Экономика

Санкт-Петербург

2017

УДК

ББК

Рассмотрено и рекомендовано к изданию Методическим советом

Института экономики и менеджмента и информационных технологий

(протокол № ____ от «___» ___________ 2017 г.)

Составители:

кандидат экономических наук, доцент Т.А. Черняк

кандидат педагогических наук, доцент С.Д. Прозоровская

Рецензент:

доктор технических наук, доцент, профессор кафедры Информационных

технологий и математики С.В. Колесниченко

М-14 Математическая статистика: методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения / сост. Т.А. Черняк, С.Д. Прозоровская С.-Петерб. ун-т технол. упр. и экон. — СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета технологий управления и экономики, 2017. — 34 с.

ISBN 978-5-94047-331-2

Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения предназначены для студентов высших учебных заведений (бакалавров), обучающихся по направлению 38.03.01 Экономика

УДК

ББК

ISBN 978-5-94047-331-2 © Черняк Т.А., составление, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

1	Требования к оформлению контрольных работ………………………	4
2	Контрольная работа № 2. Элементы математической статистики….	24
3	Краткое содержание (программа) курса………………………………	48
4	Приложение 1. Значения функции Лапласа…………………………..	50
5	Приложение 2. Таблица значений ………………………	52

Требования к оформлению

Контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номера задач по данному сборнику. В условия задач следует сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, после чего выполняется их решение.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач

Пример

Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
	3	8	14	27	20	16	7	5

1. Найти функцию распределения выборки и построить ее график.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию .

4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .

5. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

Решение

Объем выборки , длина интервала . Для нахождения эмпирической функции распределения , построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
	3	8	14	27	20	16	7	5
		2,25	4,75	7,25	9,75	12,25	14,75	17,25
	0,03	0,08	0,14	0,27	0,2	0,16	0,07	0,05
	0,03	0,11	0,25	0,52	0,72	0,88	0,95	1
	0,012	0,032	0,056	0,108	0,08	0,064	0,028	0,02

1. Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках – серединах интервалов группированного статистического ряда.

Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:

График эмпирической функции распределения изображен на рис. 1.

0,95

0,88

0,72

0,52

0,25

0,11

0,03

-0,25 2,25 4,75 7,25 9,75 12,25 14,75 17,25 х

Рис. 1

2. Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис. 2.

h_i

0,108

0,08

0,064

0,056

0,032 0,028

0,02

0,012

-1,5 1 3,5 6 8,5 11 13,5 16 18,5

Рис. 2

3. Найдем числовые характеристики выборки. Выборочное среднее находим по формуле , в нашем случае

Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле , в нашем случае

4. При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

Используя таблицу значений функции Лапласа (приложение 1) находим .

Вычислим , тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

или

5. Выдвигаем простую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается случайная величина

где находятся по формуле вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе

где – функция Лапласа.

Замечание. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе распределения находится по формуле .

Для соблюдения условия полагают , .

Для вычисления критерия составим расчетную таблицу:

Таблица 2

I	1	2	3	4	5	6	7	8
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
	3	8	14	27	20	16	7	5
		2,25	4,75	7,25	9,75	12,25	14,75	17,25
	1	3,5	6	8,5	11	13,5	16
		1	3,5	6	8,5	11	13,5	16
					0,5803	1,1849	1,7895
						0,5803	1,1849	1,7895
					0,438	0,764	0,926	1
						0,438	0,764	0,926
	0,033	0,0755	0,1565	0,2255	0,2285	0,163	0,081	0,037
	3,3	7,55	15,65	22,55	22,85	16,3	8,1	3,7
		10,85	15,65	22,55	22,85	16,3	11,8
		0,15		4,45			0,2
		0,0225	2,7225	19,8025	8,1225	0,09	0,04
		0,0020	0,1739	0,8781	0,3554	0,0055	0,0033

Находим сумму элементов 11-ой и 12-ой строк таблицы 2, получаем .

Критерий равен сумме элементов последней строки таблицы 12:

Находим критическую область . Так как уровень значимости по условию, число степеней свободы , то согласно таблице распределения - , критическая область имеет вид .

Так как критерий не попал в критическую область , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

Условные средние компонент

, ,

где усреднение ведется в 1-ой формуле лишь по тем , которые появились совместно с данным у, а во 2-ой формуле лишь по тем , которые появились совместно с данным х.

Функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей и может быть использована для прогнозирования значений одной из СВ, если известны значения другой СВ. Точность такого прогноза определяется условной дисперсией. Однако возможности практического применения функции регрессии весьма ограничены, так как для ее использования необходимо знать аналитический вид двумерного распределения . Поэтому идут на упрощение и вместо корреляционной зависимости рассматривают статистическую зависимость, которая устанавливает функциональную связь между значениями одной из величин и условным средним другой величины, например

эта функция называется эмпирической функцией регрессии, а ее график – эмпирической линией (кривой) регрессии. На практике получают лишь оценку кривой регрессии, так как число значений величины Х в выборке конечно.

Функция регрессии обладает замечательным свойством – она дает наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза, т.е. величина

является минимальной именно для функции

На этом свойстве построен метод наименьших квадратов для определения неизвестных параметров функции регрессии.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в выборе линии регрессии таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от теоретических была наименьшей.

Для иллюстрации метода рассмотрим частный случай линейной регрессии

По данным выборки требуется определить параметры а и b.

Строим функцию :

Используя корреляционную таблицу функцию можно записать в виде

Составляем необходимые условия экстремума:

После упрощения система примет вид:

Последнюю систему называют нормальной, решая ее получаем значения неизвестных коэффициентов а и b.

Уравнение регрессии можно также найти путем вычисления коэффициента регрессии. Уравнение регрессии у на х можно записать в виде

Число называют коэффициентом регрессии у на х.

Пример

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей:

Таблица 5

Y X	3	4,2	5,4	6,6	7,8
1,2	2	3	–	–	–	5
3	3	8	2	–	–	13
4,8	–	14	18	–	–	32
6,6	–	–	10	8	–	18
8,4	–	–	9	10	–	19
10,2	–	–	3	6	1	10
12	–	–	–	1	2	3
	5	25	42	25	3	100

1. Найти выборочные средние и выборочные дисперсии .

2. Построить уравнение линии регрессии у на х в виде .

3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

Решение

1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:

	1,2	3	4,8	6,6	8,4	10,2	12
	5	13	32	18	19	10	3

	3	4,2	5,4	6,6	7,8
	5	25	42	25	3

Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:

;

выборочные дисперсии:

2. Найдем уравнение линии регрессии у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:

выше при вычислении числовых характеристик было найдено:

, .

Используя корреляционную таблицу каждому варианту признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.

результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).

Таблица 6

	1,2	3	4,8	6,6	8,4	10,2	12
	3,72	4,10769	4,875	5,9333	6,03157	6,36	7,4

Вычислим:

Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим

Решим систему по формулам Крамера:

тогда

Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:

Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии

Найдем:

, ,

выборочный корреляционный момент найдем по формуле

в нашем случае

выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле

в нашем случае

Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :

следовательно, связь достаточно вероятна.

Подставим найденные значения в уравнение

получим

после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х

3. Изобразим корреляционное поле и построим прямую (рис. 3).

Рис. 3

Краткое содержание (программа) курса

Математическая статистика

Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд. Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия (Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.

Приложение 1

Значения функции Лапласа

х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
0,00	0,0000	0,30	0,2358	0,60	0,4515	0,90	0,6319
0,01	0,0080	0,31	0,2434	0,61	0,4581	0,91	0,6372
0,02	0,0160	0,32	0,2510	0,62	0,4647	0,92	0,6424
0,03	0,0239	0,33	0,2586	0,63	0,4713	0,93	0,6476
0,04	0,0319	0,34	0,2661	0,64	0,4878	0,94	0,6528
0,05	0,0399	0,35	0,2737	0,65	0,4843	0,95	0,6579
0,06	0,0478	0,36	0,2812	0,66	0,4907	0,96	0,6629
0,07	0,0558	0,37	0,2886	0,67	0,4971	0,97	0,6680
0,08	0,0638	0,38	0,2961	0,68	0,5035	0,98	0,6729
0,09	0,0717	0,39	0,3035	0,69	0,5098	0,99	0,6778
0,10	0,0797	0,40	0,3108	0,70	0,5161	1,00	0,6827
0,11	0,0876	0,41	0,3182	0,71	0,5223	1,01	0,6875
0,12	0,0955	0,42	0,3255	0,72	0,5285	1,02	0,6923
0,13	0,1034	0,43	0,3328	0,73	0,5346	1,03	0,6970
0,14	0,1113	0,44	0,3401	0,74	0,5407	1,04	0,7017
0,15	0,1192	0,45	0,3473	0,75	0,5467	1,05	0,7063
0,16	0,1271	0,46	0,3545	0,76	0,5527	1,06	0,7109
0,17	0,1350	0,47	0,3616	0,77	0,5587	1,07	0,7154
0,18	0,1428	0,48	0,3688	0,78	0,5646	1,08	0,7199
0,19	0,1507	0,49	0,3759	0,79	0,5705	1,09	0,7243
0,20	0,1585	0,50	0,3829	0,80	0,5763	1,10	0,7287
0,21	0,1663	0,51	0,3899	0,81	0,5821	1,11	0,7330
0,22	0,1741	0,52	0,3969	0,82	0,5878	1,12	0,7373
0,23	0,1819	0,53	0,4039	0,83	0,5935	1,13	0,7415
0,24	0,1897	0,54	0,4108	0,84	0,5991	1,14	0,7457
0,25	0,1974	0,55	0,4177	0,85	0,6047	1,15	0,7499
0,26	0,2051	0,56	0,4245	0,86	0,6102	1,16	0,7540
0,27	0,2128	0,57	0,4313	0,87	0,6157	1,17	0,7580
0,28	0,2205	0,58	0,4381	0,88	0,6211	1,18	0,7620
0,29	0,2282	0,59	0,4448	0,89	0,6265	1,19	0,7660
х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
1,20	0,7699	1,50	0,8664	1,80	0,9281	2,50	0,9876
1,21	0,7737	1,51	0,8690	1,81	0,9297	2,55	0,9892
1,22	0,7775	1,52	0,8715	1,82	0,9312	2,60	0,9907
1,23	0,7813	1,53	0,8740	1,83	0,9328	2,65	0,9920
1,24	0,7850	1,54	0,8764	1,84	0,9342	2,70	0,9931
1,25	0,7887	1,55	0,8789	1,85	0,9357	2,75	0,9940
1,26	0,7923	1,56	0,8812	1,86	0,9371	2,80	0,9949
1,27	0,7959	1,57	0,8836	1,87	0,9385	2,85	0,9956
1,28	0,7995	1,58	0,8859	1,88	0,9399	2,90	0,9963
1,29	0,8029	1,59	0,8882	1,89	0,9412	2,95	0,9968
1,30	0,8064	1,60	0,8904	1,90	0,9426	3,00	0,9973
1,31	0,8098	1,61	0,8926	1,91	0,9432	3,10	0,9981
1,32	0,8132	1,62	0,8948	1,92	0,9451	3,20	0,9986
1,33	0,8165	1,63	0,8969	1,93	0,9464	3,30	0,9990
1,34	0,8198	1,64	0,8990	1,94	0,9476	3,40	0,9993
1,35	0,8230	1,65	0,9011	1,95	0,9488	3,50	0,9995
1,36	0,8262	1,66	0,9031	1,96	0,9500	3,60	0,9997
1,37	0,8293	1,67	0,9051	1,97	0,9512	3,70	0,9998
1,38	0,8324	1,68	0,9070	1,98	0,9523	3,80	0,9999
1,39	0,8355	1,69	0,9090	1,99	0,9534	3,90	0,9999
1,40	0,8385	1,70	0,9109	2,00	0,9545	4,00	0,9999
1,41	0,8415	1,71	09127	2,05	0,9596	4,42	1-10^-5
1,42	0,8444	1,72	0,9146	2,10	0,9643	4,89	1-10^-6
1,43	0,8473	1,73	0,9164	2,15	0,9684	5,33	1-10^-7
1,44	0,8501	1,74	0,9181	2,20	0,9722
1,45	0,8529	1,75	0,9199	2,25	0,9756
1,46	0,8557	1,76	0,9216	2,30	0,9786
1,47	0,8584	1,77	0,9233	2,35	0,9812
1,48	0,8611	1,78	0,9249	2,40	0,9836
1,49	0,8638	1,79	0,9265	2,45	0,9857

Приложение 2

Таблица значений c ² в зависимости от r = n -1 и p.

	р
n -1		0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
1		0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455	1,074	1,642	2,71	3,84	5,41	6,64	10,83
2		0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21	13,82
3		0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,34	11,84	16,27
4		0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,67	13,28	18,46
5		0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	13,39	15,09	20,5
6		0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,93	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	15,03	16,81	22,5
7		1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	16,62	18,48	24,3
8		1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	18,17	20,1	26,1
9		2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	19,68	21,7	27,9
10		2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	21,2	23,2	29,6
11		3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,34	12,90	14,63	17,28	19,68	22,6	24,7	31,3
12		3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34	14,01	15,81	18,55	21,0	24,1	26,2	32,9
13		4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,34	15,12	16,98	19,81	22,4	25,5	27,7	34,6
14		4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34	16,22	18,15	21,1	23,7	26,9	29,1	36,1
15		5,23	5,98	7,26	8,55	10,31	11,72	14,34	17,32	19,31	22,3	25,0	28,3	30,6	37,7
16		5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34	18,42	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0	39,3
17		6,41	7,26	8,67	10,08	12,00	13,53	16,34	19,51	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4	40,8
18		7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8	42,3
19		7,63	8,57	10,11	11,65	13,72	15,35	18,34	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,7	43,8
20		8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6	45,3
21		8,90	9,92	11,59	13,24	15,44	17,18	20,3	23,9	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9	46,8
22		9,54	10,60	12,34	14,04	16,31	18,10	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3	48,3
23		10,20	11,29	13,09	14,85	17,19	19,02	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6	49,7
24		10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	51,2
25		11,52	12,70	14,61	16,47	18,94	20,9	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,7	44,3	52,6
26		12,20	13,41	15,38	17,29	19,82	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6	54,1
27		12,88	14,12	16,15	18,11	20,7	22,7	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0	55,5
28		13,56	14,85	16,93	18,94	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3	56,9
29		14,26	15,57	17,71	19,77	22,5	24,6	28,3	32,5	35,1	39,1	42,6	46,7	49,6	58,3
30		14,95	16,31	18,49	20,6	23,4	25,5	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9	59,7

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания

по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения,

обучающихся по направлению 38.03.01 Экономика

Санкт-Петербург

2017

УДК

ББК

Рассмотрено и рекомендовано к изданию Методическим советом

Института экономики и менеджмента и информационных технологий

(протокол № ____ от «___» ___________ 2017 г.)

Составители:

кандидат экономических наук, доцент Т.А. Черняк

кандидат педагогических наук, доцент С.Д. Прозоровская

Рецензент:

доктор технических наук, доцент, профессор кафедры Информационных

технологий и математики С.В. Колесниченко

ISBN 978-5-94047-331-2

УДК

ББК

СОДЕРЖАНИЕ

1	Требования к оформлению контрольных работ………………………	4
2	Контрольная работа № 2. Элементы математической статистики….	24
3	Краткое содержание (программа) курса………………………………	48
4	Приложение 1. Значения функции Лапласа…………………………..	50
5	Приложение 2. Таблица значений ………………………	52

Требования к оформлению

Контрольных работ

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

Формирование исходных данных к задачам

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Числовые значения параметров т и п определяются по двум последним цифрам личного шифра (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п – из таблицы 2. Числа т и п следует подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра т)

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
т	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5

Таблица 2 (выбор параметра п )

В	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
п	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Например, если шифр студента 1037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 1. Полученные т = 4 и п = 1 подставляются в условия всех задач контрольной работы студента.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) основная литература:

1. Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ. Учебник для вузов. — М. : Издательство Юрайт, 2010 г. — 679 с. — Электронное издание. — ISBN 978-5-9916-0229-7

2. Гусева Е.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Флинта, 2011 г. — 220 с. — Электронное издание. — ISBN 978-5-9765-1192-7

3. Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Стандарт третьего поколения. — СПб. : Питер, 2012 г. — 192 с. — Электронное издание. — УМО. — ISBN 978-5-496-00120-5

4. Маталыцкий М.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. — Минск: Вышэйшая школа, 2012 г. — 720 с. — Электронное издание. — МО. — ISBN 978-985-06-2105-4

5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. Пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.

б) дополнительная литература:

6. Богомолов, Н.В., Математика: учебник для бакалавриата: рекомендовано Мин. образования/ Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2012. - 396 с. - (Бакалавр). - ISBN 978-5-9916-1631-7: 291.61 р.

7. Гмурман, В. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для вузов: рекомендовано Мин. образования/ В. Е.Гмурман. - 11-е изд., перераб. и доп.. - М.: Юрайт, 2011. - 404 с. - (Основы наук). - Приложения: с. 388.. - ISBN 978-5-9916-1266-1: 336.71 р.

Дата: 2019-02-19, просмотров: 275.

12 3 4 Следующая ⇒