n

å ( хi - a )2 = min. (2.8 )

i = 1

Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим

тогда оценку а найдем из условия

n

å ( хi - a )2 =

i = 1

^ n

¶Q/¶ а = - 2 å ( хi - a ) = 0. (2.9)

i = 1

Отсюда получим

n

а = ( 1/ n ) å хi = х, (2.10)

i = 1

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.

Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

М = а, s2 = s2 / n. (2.11)

Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в Ö n раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений

n

s2 = ( s2 / n) ,

i j

где rij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений.

Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия (2 ), представив ее в виде

n é n ù

L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = Õ f ( хi, a ) = ( 2p )-n/2 (s2 )-n/2 exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê. (2.12)

i = 1 ë i = 1 û

На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку s2 из условия

L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) = max. (2.13)

Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)

n

i = 1

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции ( 7 ) и ( 9 ) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

¶ ln L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) /¶ s2 = 0. (2.15)

Продифференцировав (2.15) по s2 , получим

- (1 / n ) ( 1 / s2) + (1/ 2s4) å ( хi - a )2 = 0. (2.16.)

i = 1

n

s2 = ( 1 / n ) å ( хi - a )2. (2.17)

i = 1

Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2 :

n

S2 = ( 1 / n ) å ( хi - х )2. (2.18)

i = 1

Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S2.

Предварительно преобразуем (2.18):

n n n

S2 = ( 1 / n ) å ( хi2 - 2 х ( 1 / n ) å хi + ( х )2 = ( 1 / n ) å хi2 - ( х )2 . (2.19)

i = 1 i = 1 i = 1

é n ù n

М = М ê( 1 / n ) å хi2 ê - М = ( 1 / n ) å М - М =

ë i = 1 û i = 1

= ( 1 / n ) å ( s2 + а2 ) - ( s / n + а2) = s2 ( 1 - 1 / n ) = s2 . (2.20)

i = 1

lim М = s2 .

n®¥

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим s2:

^ n

s2 = n /( n - 1 ) S2 = n /( n - 1 ) å ( хi - х )2. (2.20)

i = 1

Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений:

ë i = 1 û

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.

Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.

Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки s среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины

tn -1 = ( х - а ) / S Ö n - 1 = ( х - а ) / s Ö n. (2.22)

Обычно в таблицах приводятся значения ta для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия

¥

ò f n - 1 ( t ) dt = a, (2.23)

ta

Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

х - ta s / Ö n а х + ta s / Ö n .

u = n S2 / s2 = ( n - 1 ) s2 / s2

распределена по закону C2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия

¥

ò f n - 1 ( u ) du = a, (2.24)

C2a

Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения C2a1 и C2a2 , получим границы доверительного интервала для дисперсии:

n S2 / C2a1 s2 n S2 / C2a2

или

( n - 1 ) s2 / C2a1 s2 ( n - 1 ) s2 / C2a2