Как известно, для определения оценки S (или, в терминах теории вероятностей, σ ) рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, используют формулу Бесселя: S=√((∑(x_i-х_ср)²)/n-1), где x_i - результат i-го единичного измерения; x_ср - среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов; S (или σ ) - оценка рассеяния единичных результатов измерений - СКО.

Примечание - На практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение - (СКО). Под отклонением понимают отклонение единичных результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. В метрологии это отклонение называется погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки на действие систематических погрешностей, то отклонения представляют собой случайные погрешности. Поэтому с точки зрения упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин "погрешность измерения", целесообразно применять термин "средняя квадратическая погрешность". После проведения серии измерений конкретной физической величины должно быть получено число, определяющее ее значение, и указана степень его достоверности, т. е. должен быть получен результат измерения. Но в данной серии из n измерений среднее арифметическое x_ср является линейной функцией результатов отдельных измерений x₁; x₂; x₃;… x_n, и, если произвести новую серию из п измерений, то вследствие влияния отдельных факторов значения x_i будут отличаться от полученных в первой серии, а следовательно, и новое значение x_ср будет иным. Следовательно, x_ср, полученное в одной из серий измерений, является случайным приближением к x_ист. Чтобы иметь представление о возможных отклонениях x_ср от x_ист необходимо определить его среднее квадратическое отклонение. Вспомним свойства дисперсии независимых случайных величин из курса теории вероятностей:

Для конечного числа п независимых случайных величин:

D(x₁±x₂± x₃...± x_n)=D(x₁)+D(x₂)+...+D(x_n). Если x₁; x₂; x₃;… x_n – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна σ², то дисперсия их суммы равна п•σ², а дисперсия среднего арифметического равна σ²/п. Так как результаты x_i отдельных измерений представляют взаимонезависимые случайные величины, то применяя теорему о дисперсии D линейной функции таких величин, можно записать D(x_ср)=∑(D(x_i)/n²)

Равноточность ряда измерений предполагает равенство всех отдельных D(x_i)= ², следовательно,

D(x_ср)=(∑(x_i-х_ср)²)/n(n-1) Значит, средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического S_x (т.е. оценка S_x случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений) вычисляется по формуле: S_x=S/√n, где S - средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; n - число единичных измерений в ряду

Однако, если случайные величины x_i распределены по иному закону, чем нормальный, при небольшом числе измерений п вычисленное значение среднего квадратического отклонения среднего S_x будет существенно отличаться от его действительного значения и в этом случае нормальный закон для определения доверительной погрешности среднего применять нельзя.

При малом числе повторных измерений п используют обычно распределение случайных погрешностей, предложенное У. Госсетом (Англия), писавшим под псевдонимом Стьюдент (Student). Распределение (плотность вероятности) по этому закону зависит не только от значения случайной погрешности Δ⁰ , но и от числа измерений n. Закон Стьюдента можно записать как

, где у (Δ⁰ , n)- - плотность вероятности случайной погрешности при заданном числе измерений п; Г(n) - - гамма-функция, значение которой зависит от числа измерений п и обладающая свойством Г(п+1)=п´ Г (п);

t_{СТ -} - параметр, определяемый выражением t_СТ = Δ⁰ /s, т. е. значение случайной погрешности, выраженное в долях среднего квадратического отклонения.