Бертран Рассел пытался свести все типы математических отношений к логике, и здесь важно понятие множества. Рассел определяет его как «совокупность членов или элементов» (иными словами, объектов). Множества бывают в том числе определяемыми отрицательно и состоящими из подмножеств, которые можно добавлять или исключать. Примером множества могут быть все американцы. Множество, которое определяется отрицательно, – все люди, которые не являются американцами. Пример подмножества – все жители Нью-Йорка в составе множества «все американцы».

Бертран Рассел – не создатель теории множеств (идея принадлежит Готлобу Фреге), но он произвел настоящий переворот в основных ее принципах, когда в 1901 г. сформулировал свой знаменитый парадокс.

Парадокс Рассела касается множества всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Рассмотрим в качестве примера множество всех когда-либо существовавших собак. Множество всех собак не является собакой. Но есть множества, которые содержат себя в качестве элемента. Во множество всего, что не является собакой, должно быть включено и это множество, потому что оно не собака.

Если пытаться найти множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, возникнет парадокс. Почему? Есть много множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, но, по их определению, они должны быть включены в себя. Однако определение гласит, что это недопустимо. Налицо противоречие.

Именно благодаря парадоксу Рассела становится очевидным несовершенство теории множеств. Если считать любую группу объектов множеством, возможно возникновение ситуаций, противоречащих логике. Рассел заявляет: чтобы исправить этот недостаток, теория множеств должна быть более строгой. По Расселу, множеством может считаться только группа объектов, удовлетворяющая конкретным аксиомам (так можно избежать логического противоречия, возникающего в современной модели). Теория множеств до Рассела носит название наивной, а ее развитие с учетом работ Рассела получило название аксиоматической теории множеств.

Феноменология

Изучение сознания

Феноменология – одно из основных направлений в философии ХХ в., изучающее познание и личный опыт. Особую роль в его развитии сыграли работы Хайдеггера и Сартра. Но они не смогли бы достичь всего того, что они сделали, без работ Эдмунда Гуссерля, основателя феноменологии.

Происхождение феноменологии

Моравийский философ Эдмунд Гуссерль начал карьеру как математик и сосредоточился на изучении философии математики. Изначально он считал, что арифметика основана на чистом эмпиризме, но с помощью Готлоба Фреге пришел к выводу, что некоторые арифметические истины нельзя объяснить эмпирически. В книге «Логические исследования»[44] Гуссерль выступил против принципов психологизма – идеи о том, что истина зависит от психологии (сознания) отдельного человека, и утверждал, что она не может быть редуцирована сознанием человека. На основе этой концепции Гуссерль начал развивать идею феноменологии.

По Гуссерлю, феноменология – идея о том, что сознание интенционально. Все его действия направлены на объекты, материальные или идеальные (такие как математика). Интенциональные объекты и поступки определяются через сознание. Чтобы человек мог описать объект и содержание сознания, нет нужды в реальном существовании этого объекта (это позволяет человеку, например, рассказывать о своем сне точно так же, как о прочитанной книге).

Ранние работы Гуссерля основывались на реалистичном подходе. Тогда он был убежден, что восприятие объекта сознанием означает существование объекта сознания и объекта как такового. В более поздних работах произошел сдвиг в сторону интенциональности и изучения человеческого «Я». Этот поворот к трансцендентальным идеям изменил саму концепцию, сформулированную Гуссерлем изначально.

В книге «Общее введение в чистую феноменологию»[45], опубликованной в 1931 г., Гуссерль проводит различие между естественной точкой зрения, когда человек просто осознает фактическое присутствие объектов, и феноменологической, когда человек не только видит внешнюю сторону объекта, но и понимает его сознание. Чтобы приобрести феноменологическую точку зрения, человек должен освободить сознание от натуралистической установки, пройдя серию феноменологических редукций.

Гуссерль создал много феноменологических редукций. Двумя самыми важными из них можно считать принцип эпохе и феноменолого-психологическую редукцию.

Принцип эпохе

По Гуссерлю, люди принимают многие аспекты своей жизни (язык, культуру, собственное тело и т. д.) как должное и попадают в зависимость от них. Принцип эпохе – феноменологическая редукция, когда человек перестает воспринимать эти аспекты как данность и истину. Он должен обрести самоосознание, увидев себя отдельно от того, что раньше воспринимал безусловно. Гуссерль называет этот процесс «заключением в скобки». Это не означает отрицания существования мира: цель «заключения в скобки» и принципа эпохе – в воздержании от метафизических суждений. Человек не может ни подтвердить, ни опровергнуть существование мира.