Гамма - распределение относится по классификации Пирсона к третьему типу кривых, в этот тип входит обширная группа асимметричных распределений (в том числе и бета – распределение). Данные, которые подчиняются этим распределениям, никакими преобразованиями не могут быть преобразованы таким образом, чтобы после они имели нормальное распределение. Однако одна из разновидностей гамма - распределения  имеет для нас значение, так как существуют способы преобразования данных, после которых они могут подчиняться логнормальному и нормальному распределению. Плотность вероятности гамма - распределения описывается следующей формулой

G (x;Γ;β) = x^r-1*e^-χ/β/ Γ(г) β^r x≥0, r >0, β>0.

Дополнительными параметрами гамма  - распределения являются величины r и β, первый является параметром положения, а второй параметром масштаба.

Рис Примеры кривых плотности вероятности, соответствующие различным значениям  r, при β = 1.

Выбор гамма распределения в качестве модели распределения изучаемой совокупности определяется наличием у изучаемой кривой распределения так называемого хвоста, являющегося следствием асимметричности распределения и препятствующим различным математическим преобразованиям привести экспериментальные данные к нормальному или логнормальному распределению. Так же как и для нормального распределения плотности вероятности распределения, выраженные через площади под кривой распределения, давно рассчитаны и опубликованы в таблицах. Вычислить и оценить параметры - r и β можно по таблицам Сиддикуи и Вейса и через них рассчитать μ и σ² (то есть истинное среднее совокупности и ее дисперсию) по формулам

μ = β* r;

σ²= β²* r.

Как видно из этих формул, для гамма - распределений отмечается сильная зависимость между средним и дисперсией, тогда как в случае нормального распределения такой зависимости нет.

Основные компоненты полиметаллических месторождений, месторождений цветных металлов и золота могут подчиняться разновидностям гамма – распределения. Частным случаем, гамма распределений является распределение Пуассона, если его использовать для анализа непрерывных случайных величин. Особенно это распределение характерно для месторождений золота, так как именно в большей части на этих месторождениях часты находки самородков золота (редкие события) или можно перефразировать - встречаются пробы с аномальным высоким содержанием золота (ураганные пробы), во много раз превышающим наиболее распространенные содержания металла по конкретному месторождению (эффект самородков). Несмотря на то, что гамма - распределения, в том числе и распределение Пуассона хорошо изучены на практике, специалисты стараются не использовать эту модель для оценки истинных параметров изучаемой совокупности из-за ряда причин, в том числе и из-за сильной зависимости между средним и дисперсией. Для решения этой задачи общепринят иной подход, при котором эффект самородков стараются нейтрализовать и затем  после возможных преобразований данных предположить нормальную модель их распределения и оценивать параметры исходя из нормальной модели распределения значений полезных и вредных компонентов месторождений.

Учет ураганных проб.

Сама проблема ураганных проб предполагает две стадии ее решения, в первую стадию, нужно выявить ураганные пробы, а во вторую стадию их нейтрализовать. Существует много способов регистрации ураганных проб, и они подробно описаны в специализированной литературе [ 5 ].   Однако в последнее время среди специалистов наибольшую популярность получили “квантильный” способ обнаружения ураганных значений металлов в пробах и способ обнаружения ураганных проб по излому на кумулятивной кривой распределения, описанные  в книге Ю.Е. Капутина “Горные компьютерные технологии и геостатистика”.   Если придерживаться терминологии предложенной в этих лекциях, то первый способ можно назвать децильным способом, так как массив проб сначала сортируется по величине содержания металла от минимального до максимального, затем строится частотная таблица и гистограмма. А после таблица разделяется на заданное количество квантилей, обычно на 10 частей (то есть массив разделяется на децили). В результате формируется таблица, пример которой приведен ниже.

Если последний класс (90-100%) содержит долю металла, большую чем 40% от общего количества, то считается, что в массиве данных существуют ураганные пробы. Далее рассчитывается аналогичная таблица для последнего класса. Границей для ураганных проб считается минимальное содержание первого класса, содержащего долю металла более 10%. В данном примере – это 3.7 г/т. Считается, что подобный анализ нужно проводить для каждого типа руд, и для каждого участка месторождения. На практике отмечается много случаев, когда границы ураганных проб на одном и том же месторождении резко отличались друг от друга на разных его участках.

Второй способ состоит в том, что строится кумулятивное распределение массива данных, но отображается оно в виде огивы и исследуется конечная часть хвоста распределения. На графике отмечается место перегиба кумулятивной кривой, которое и является границей, после которой фиксируются ураганные пробы.

Рис . Определение границы, после которой фиксируются ураганные пробы по месту излома огивы (вместо накопленных частот по оси абсцисс фиксируются соответствующие номера проб).

Существуют еще более простые методы выявления ураганных проб, можно например, просто определить ураганные пробы в хвосте массива распределения, после достижения 95% или 99% накопленных частот или использовать соотношение между модой, медианой и среднеарифметическим значением которое, характерно для умеренно асимметричных кривых -

M_o– χ=3(M_e – χ).

Есть несколько подходов и  к нейтрализации ураганных проб.

1. Можно исключить аномальные значения из выборки (например, просто отрезать хвост распределения после достижения 95%-99% накопленных частот).

2. Можно вместо аномальных значений указать пороговые значения, при которых выборочные данные будут иметь нормальное или логнормальное распределение.

3. Можно присвоить аномальным значениям среднеарифметические значения выборки.

Подразумевается, что в первом и третьем случае, после процедур данные будут иметь нормальное или логнормальное распределение. Однако вопрос и о способах выявления и о необходимости нейтрализации ураганных проб остается открытым, так как в любом случае, мы можем допустить еще большую ошибку при оценке истинных параметров,  как всей изучаемой совокупности, так и ее частей. Так, например, нейтрализация ураганных проб в выборке, при разведке месторождений золота может уменьшить оценку запасов месторождения, но главное значительно ухудшить экономическую оценку месторождения, из-за высокой цены на этот металл. Тем не менее, большинство специалистов соглашаются, что лучшим выбором для оценки параметров будет выбор нормальной модели распределения выборочных данных. То есть наши оценки параметров будут более точными, чем ближе к нашему экспериментальному распределению будет подходить нормальная модель распределения.

 Кроме логарифмирования данных и нейтрализации ураганных проб можно предложить и другие полезные преобразования данных, после которых наши данные могут быть ближе к нормальному распределению. Одно из таких преобразований это преобразование типа -  y_i=√x_i  и оно в ряде случаев может привести к сокращению пуассоновского хвоста, если наблюдаемые значения близки к 0, то используют преобразование типа - y_i=√x_i +1/2. Можно использовать также и степенные преобразования, в этом случае больше будут увеличиваться большие значения, чем малые, ко всему прочему данное преобразование позволит лучше читать  каротажные диаграммы.