Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть тело имеет две неподвижные точки А и В. Тогда все точки на прямой

АВ неподвижны. Прямая АВ называется осью вращения, движение тела называется вращательным. Все точки тела описывают окружности с центрами на оси АВ.

Положение тела определяется одним параметром - углом поворота φ тела между подвижной плоскостью П1, жестко связанной с телом, и неподвижной плоскостью П2 (рис. 2.3).

Рис 2.3 Пусть в момент времени t угол между плоскостями равен φ(t), а в момент времени t + ∆t – φ(t + ∆t). Следовательно, за время ∆t тело повернулось на угол ∆φ = φ(t + ∆t) – φ(t). Средняя угловая скорость за промежуток времени ∆t: ωz,ср = . Угловая скорость тела в данный момент времени равна:

 

                                     ωz =  =  = .                                       (2.2)

Модуль угловой скорости обозначим

ω =  = .

Единица измерения угловой скорости  или .

Зависимость между угловой скоростью ω и n – числом оборотов в минуту

ω = .

Угловую скорость можно представить как вектор , модуль которого равен ω и направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно против часовой стрелки.

                                                        = ωz                                               (2.3)

Пусть в момент времени t угловая скорость вращения ωz(t), а в момент t + ∆t равна ωz (t + ∆t). Приращение угловой скорости за промежуток времени ∆t равно:

∆ωz = ωz (t + ∆t) – ωz(t).

Средним угловым ускорением за время ∆t будем называть

εz,ср = .

Угловым ускорением в данный момент времени называется

                                εz =  =  =  =  =                         (2.4)

Модуль углового ускорения обозначим

ε = .

Единица измерения углового ускорения - , .

Вектором углового ускорения будем называть вектор

 =  = εz

Если ωz и εz одного знака, то они направлены в одну сторону и движение называют ускоренным, разных знаков – замедленным. Если ε = const, то вращение тела называют равноускоренным или равнозамедленным и формулы для ω и φ имеют вид:

                                                                             (2.5)

где ωo – начальная угловая скорость тела, φо – начальный угол поворота тела.

Пусть  – вектор, проведенный из точки А в точку М (рис. 2.3). Тогда скорость точки М тела можно выразить формулой Эйлера

 =  х .

По правилу векторного произведения вектор  направлен перпендикулярно  и , т.е. по касательной к траектории движения точки М. По модулю

υ = ω ∙ r ∙ sinα = υ = ω ∙ R,

где R= СМ – радиус окружности.

    Продифференцируем (2.6)по времени

 =  х  +  х .

 =  х  +  х ,

где  = ,  = .

Вращательное ускорение  х  = ;

по модулю авр = ε ∙ r∙sinα = ε∙R.

Центростремительное ускорение  х  = ;

по модулю ац = ω ∙ υ ∙ sin900 = ω ∙ ω ∙ r = ω2∙R.

Направление  и  определяется правилом векторного произведения и указано на (рис. 2.3).

Модуль ускорения точки М равен

а = .                                  (2.8)

2.4. Плоское движение тела: определение, задание движения.

    Движение тела называют плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

   Например: Плоское движение совершает колесо на прямолинейном участке, шатун АВ кривошипно-шатунного механизма (рис. 2.4).

      Пусть все точки и тела движутся в плоскостях параллельных плоскости хОу (рис. 2.5). Проведем плоскости П1 и П2 параллельно хОу. Проведем прямую перпендикулярно П1 и П2. Получим точки А и В. АВ – кратчайшее расстояние
     

между плоскостями. При движении точки А и В не выйдут из плоскостей П1 и П2, следовательно, А'В'||AB, т.е. отрезок АВ движется поступательно. Таким образом, вместо изучения движения прямой АВ можно изучать только движение точки А, а вместо изучения движения тела, можно изучать движение только одного сечения. Задание движения тела сводится к заданию движения сечения.

    Плоское движение можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. Пусть плоская фигура переместилась из положения I в положение II.

     Отрезок АВ занял положение А'В'. Представим это перемещение как сумму движений. Переместим фигуру из положения I в положение III поступательно, так, чтобы точки А и А' совпали и повернем её на угол φ1 вокруг точки А'. Получим положение II (рис. 2.6). Переместим фигуру из положения I в

положение IV поступательно, так, чтобы точки В и В' совпали и повернем её на угол φ2 вокруг точки В'. Получим положение II. Очевидно, что φ12, следовательно, поступательное движение зависит от выбора полюса, а вращательное не зависит.

    Пусть О1х1у1 – неподвижная система координат, Ах2у2 – подвижная система координат, движущаяся поступательно относительно неподвижной.

     Свяжем с плоской фигурой систему координат Аху. Положение плоской фигуры определится тремя параметрами: координатами точки А и углом поворота φ.      х= х(t); у= у(t); φ=φ(t)            (2.9) Равенства (2.9) называются уравнениями движения плоской фигуры.

Дата: 2018-12-28, просмотров: 24.