Движение точки по окружности

Глава 1. Кинематика точки.

Основные понятия кинематики.

В этом разделе будем изучать движение материальных точек и тел. Под движением тела подразумевают, изменение его положения в пространстве с течением времени. С телом, по отношению к которому изучается движение, связывают систему координатных осей. Время непрерывно, одинаково во всех точках и не зависит от движения тел. Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Непрерывную кривую, которую описывает точка в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория прямая линия, то движение прямолинейное, кривая линия – криволинейное.

Задачи кинематики: найти способы задания движения точек и тел и для каждого способа определить скорости и ускорения.

1.2. Способы задания движения точки.

Движение точки по отношению к избранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Векторный способ задания движения (рис.1.1)

Положение точки в пространстве будет вполне определено, если задан ее радиус-вектор (t), проведенный из неподвижного центра.  = (t) – векторное уравнение движения точки. Например,

Координатный способ задания движения (рис.1.2)

Положение точки полностью определено заданием координат точки, как функций времени. Например, в декартовой системе координат задаются

x = x (t), y = y (t), z = z (t).

 

Естественный способ задания движения (рис.1.3.). В этом случае задаются: траектория точки, начало отсчета Мо, положительное направление отсчета и закон движения по траектории σ = МоМ, т.е. σ = σ (t). Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.
       

Скорость точки.

Скорость при векторном способе задания движения.

Пусть в момент t положение точки определяется радиусом – вектором  (t), а в момент t + ∆t радиусом – вектором  (t + ∆t). Назовем ∆  =  (t + ∆t) –  (t) –вектор перемещения точки за время ∆t. 

Средней скоростью за промежуток времени ∆ t называется вектор ср= .

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, когда этот промежуток времени стремится к нулю.

                                 =  =                                      (1.1)

В системе СИ единица измерения скорости м/с.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Скорость при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат принятой за неподвижную, следовательно, известны x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Вектор  можно записать через проекции  

= x·  + y· +z·                                               

=  =  ∙  +  ∙  +  ∙ , т.к. , ,  – .                                      (1.2)

Вектор можно записать через проекции

 = υx·  + υy·  +υz·                                          (1.3)

Сравнивая формулы (1.2) и (1.3) получим υx= ; υy= ; υz= , т.е. проекции скорости на оси равны первой производной от координаты.

Модуль скорости υ =

Направляющие косинусы вектора скорости

cos ( ; ) =

cos ( ; ) =

cos ( ; ) =

Скорость при естественном способе задания движения.

    Рис 1.5 Пусть точка М движется по кривой и за время ∆t переместилась из точки М в точку М1 (Рис 1.5). Воспользуемся формулой 1.1

=  =  =  ·  ,

где вектор  =  – единичный, направленный по касательной к траектории в точке М в сторону возрастания дуговой координаты..

По определению производной  =  =  , получим

                                                                     =  ·                                            (1.4)

Обозначим  =  τ – проекция вектора скорости на касательную, тогда          

                                                =  τ ·                                              (1.5)

Модуль  = .

Ускорение точки.

Ускорение при векторном способе задания движения.

                     Рис 1.6 Пусть в момент времени t скорость точки М (t) (Рис 1.6), а в момент времени t+∆t скорость  (t+∆t). Изменение вектора скорости за промежуток ∆ t :  = (t+∆t) - (t)

Средним ускорением точки за время ∆t называется вектор ср= ∆ /∆t.

 Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости  к приращению времени ∆ t при условии ∆ t →0, т.е. производной скорости по времени.

                             =  =  =                                (1.6)

Ускорение при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в прямоугольной декартовой системе координат:

По определению ускорения (1.6)

Вектор ускорения можно записать через проекции на оси x, y, z:

Сравнивая последние формулы , получим:

                                                   (1.7)

                                         ,                                      (1.8)

Модуль ускорения

Направляющие косинусы вектора :

Ускорение при естественном способе задания движения.

Рис. 1.7 Рассмотрим пространственную кривую. Пусть  единственный вектор касательной в точке М. Возьмем близкую точку М1, в ней . Перенесем  в точку М и проведем плоскость П через  и ( Рис.1.7).

Устремим М1 к М.Плоскость П будет поворачиваться вокруг  и в пределе займет некоторое положение Ι (Рис. 1.8).

Полученную таким образом плоскость Ι называют соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Если кривая плоская,то она вся лежит в соприкасающейся плоскости.

Плоскость II,проведенная в точке М перепендикулярно касательной называется нормальной плоскостью (Рис.1.8).

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М, по которой направлен единичный вектор главной нормали .

Плоскость III, проведенную в точке М перпендикулярно главной нормали называют спрямляющей плоскостью (Рис 1.8).

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей бинормаль к кривой в точке М. Единичный вектор бинормали = · . Векторы , ,  образуют правую тройку векторов.

Трехгранник из плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называют естественным трехгранником, а векторы , ,  единичными векторами осей естественного трехгранника.

Продифференцируем скорость (1.5) по времени

Назовем касательным ускорением вектор:

Вектор преобразуем

Из математики

Тогда

– радиус кривизны траектории в точке М.

Назовем нормальным ускорением вектор

Тогда

                                                                                               (1.9)

где

                                                                            (1.10)

Модуль ускорения

.

Если ,  одного знака, то движение называется ускоренным, разно – замедленным.

Если =0, то =const – движение называется равномерным.

Для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство

В декартовых координатах

Если = const, то движение называется равноускоренным или равнозамедленным .

Тогда скорость  и путь S равны

 S =

где ,  начальные скорости и путь.

Задание движения твердого тела.

Основные задачи кинематики твердого тела:

- установление способа задания движения тела;

- изучение кинематических характеристик присущих всему телу;

- определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.

    Движение тела задано, если есть способ, позволяющий определить положение любой его точки в любой момент времени.

Положение тела в пространстве полностью определено заданием трех точек А1, А2, А3 с координатами х1, y1, z12, y2, z23, y3, z3. Координаты точек должны удовлетворять трем уравнениям связи (рис. 2.1):

d21 = (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 + (z2 – z1)2,

d22 = (х3 – х2)2 + (у3 – у2)2 + (z3 – z2)2,

d23 = (х1 – х3)2 + (у1 – у3)2 + (z1 – z3)2.

    Следовательно, из девяти координат независимых только шесть.

    Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение твердого тела в пространстве, называется числом степеней свободы твердого тела.

Мгновенный центр ускорений

Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.

Пусть известны ускорение точки А –  , угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Отложим из точки А под углом  отрезок AQ (рис. 2.13), где

Определим ускорение точки Q где ,    . Следовательно  

Угол между  и отрезком

Следовательно,  параллельно . В точке Q два вектора равны и противоположно направлены,

и точка Q – мгновенный центр ускорений. Ускорения всех точек тела пропорциональны расстояниям до мгновенного центра ускорений.

 

Глава III. Сложное движение точки.

3.1 Основные определения.

Пусть О1x1y1z1 – неподвижная, основная система координат, Аxyz – подвижная система координат. Точка М движется относительно подвижной системы, а подвижная система координат движется относительно неподвижной системы О1x1y1z1.

Будем называть сложным или абсолютным движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную.

Движение точки в подвижной системе координат будем называть относительным.

Движение подвижной системы координат относительно неподвижной будем называть переносным движением.

Пусть вектор а задан в подвижной системе координат.

Так как подвижная система движется относительно неподвижной, то              

    

Продифференцируем по времени.

=   z

Обозначим                              

 и назовем это выражение локальной производной вектором , или производный вектор  в подвижной системе координат.

Так как векторы  имеют постоянную длину и проведены из начала подвижной системы координат, то по формуле Эйлера (2.6):

            

x )+ay )+ az( = ( x +ay + az ) =

                                                                              (2.14)

Формула (2.14) называется формулой Бура или производной вектора, заданного в подвижной системе координат.

 

§ 17. Теорема о сложении скоростей.

Скорость точки M по отношению к основной системе координат назовем абсолютной скоростью, ее обозначения M; a. ,

Скорость точки М по отношению подвижной системе назовем относительной скоростью r.

Переносной скоростью называют скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, обозначается е.

Проведем радиус-векторы , A, ;

где  задан в подвижной системе. Продифференцируем  по времени

Так как  задан в подвижной системе координат, то его производную найдем по формуле Бура.

 

                                                                 (2.15)

Пусть точка М не движется в подвижной системе. Тогда =0 ;  

 - переносная скорость.

Из формулы (2.15) получим:
Пусть точка М не движется в подвижной системе координат, тогда ;  – относительная скорость.

Из формулы (2.15) получим:

Формула (2.15) принимает вид:                                      (2.16)

Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении точки: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

§18. Теорема о сложении ускорений.

Заменим в формуле (2.15) Продифференцируем  по времени:

Векторы  и  заданы в подвижной системе координат, следовательно, их производную найдём по формуле Бура:

                         (2.17)

 

 

Пусть точка М не движется в подвижной системе, тогда ; . Т.е. относительное движение отсутствует, остается переносное движение.

Получим переносное ускорение, в которое войдут три слагаемых из формулы (2.17).

Пусть подвижная система не движется относительно неподвижной, тогда ; ;  остается относительное движение точки.

Из формулы (2.17) получим:

В формуле (2.17) остались два слагаемых, которые не вошли в  и

назовём их ускорением Кориолиса:
Формула (2.17) принимает вид:                                    (2/18)

Получена теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и ускорения Кориолиса.

Направление ускорения Кориолиса можно определить по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

 Правило Жуковского: спроецируем  в плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и повернём проекцию на 90˚ в сторону  (рис.2.15)

Величина (модуль) ускорения Кориолиса равна

где  – угол между векторами  и

Ускорение  если:

1. , например, переносное движение - поступательное

2.

3. , то есть  или π, векторы  и  коллинеарны.

 

 

 

 

 

Глава 1. Кинематика точки.

Основные понятия кинематики.

В этом разделе будем изучать движение материальных точек и тел. Под движением тела подразумевают, изменение его положения в пространстве с течением времени. С телом, по отношению к которому изучается движение, связывают систему координатных осей. Время непрерывно, одинаково во всех точках и не зависит от движения тел. Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Непрерывную кривую, которую описывает точка в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория прямая линия, то движение прямолинейное, кривая линия – криволинейное.

Задачи кинематики: найти способы задания движения точек и тел и для каждого способа определить скорости и ускорения.

1.2. Способы задания движения точки.

Движение точки по отношению к избранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Векторный способ задания движения (рис.1.1)

Положение точки в пространстве будет вполне определено, если задан ее радиус-вектор (t), проведенный из неподвижного центра.  = (t) – векторное уравнение движения точки. Например,

Координатный способ задания движения (рис.1.2)

Положение точки полностью определено заданием координат точки, как функций времени. Например, в декартовой системе координат задаются

x = x (t), y = y (t), z = z (t).

 

Естественный способ задания движения (рис.1.3.). В этом случае задаются: траектория точки, начало отсчета Мо, положительное направление отсчета и закон движения по траектории σ = МоМ, т.е. σ = σ (t). Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.
       

Скорость точки.

Скорость при векторном способе задания движения.

Пусть в момент t положение точки определяется радиусом – вектором  (t), а в момент t + ∆t радиусом – вектором  (t + ∆t). Назовем ∆  =  (t + ∆t) –  (t) –вектор перемещения точки за время ∆t. 

Средней скоростью за промежуток времени ∆ t называется вектор ср= .

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, когда этот промежуток времени стремится к нулю.

                                 =  =                                      (1.1)

В системе СИ единица измерения скорости м/с.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Скорость при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат принятой за неподвижную, следовательно, известны x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Вектор  можно записать через проекции  

= x·  + y· +z·                                               

=  =  ∙  +  ∙  +  ∙ , т.к. , ,  – .                                      (1.2)

Вектор можно записать через проекции

 = υx·  + υy·  +υz·                                          (1.3)

Сравнивая формулы (1.2) и (1.3) получим υx= ; υy= ; υz= , т.е. проекции скорости на оси равны первой производной от координаты.

Модуль скорости υ =

Направляющие косинусы вектора скорости

cos ( ; ) =

cos ( ; ) =

cos ( ; ) =

Скорость при естественном способе задания движения.

    Рис 1.5 Пусть точка М движется по кривой и за время ∆t переместилась из точки М в точку М1 (Рис 1.5). Воспользуемся формулой 1.1

=  =  =  ·  ,

где вектор  =  – единичный, направленный по касательной к траектории в точке М в сторону возрастания дуговой координаты..

По определению производной  =  =  , получим

                                                                     =  ·                                            (1.4)

Обозначим  =  τ – проекция вектора скорости на касательную, тогда          

                                                =  τ ·                                              (1.5)

Модуль  = .

Ускорение точки.

Ускорение при векторном способе задания движения.

                     Рис 1.6 Пусть в момент времени t скорость точки М (t) (Рис 1.6), а в момент времени t+∆t скорость  (t+∆t). Изменение вектора скорости за промежуток ∆ t :  = (t+∆t) - (t)

Средним ускорением точки за время ∆t называется вектор ср= ∆ /∆t.

 Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости  к приращению времени ∆ t при условии ∆ t →0, т.е. производной скорости по времени.

                             =  =  =                                (1.6)

Ускорение при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в прямоугольной декартовой системе координат:

По определению ускорения (1.6)

Вектор ускорения можно записать через проекции на оси x, y, z:

Сравнивая последние формулы , получим:

                                                   (1.7)

                                         ,                                      (1.8)

Модуль ускорения

Направляющие косинусы вектора :

Ускорение при естественном способе задания движения.

Рис. 1.7 Рассмотрим пространственную кривую. Пусть  единственный вектор касательной в точке М. Возьмем близкую точку М1, в ней . Перенесем  в точку М и проведем плоскость П через  и ( Рис.1.7).

Устремим М1 к М.Плоскость П будет поворачиваться вокруг  и в пределе займет некоторое положение Ι (Рис. 1.8).

Полученную таким образом плоскость Ι называют соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Если кривая плоская,то она вся лежит в соприкасающейся плоскости.

Плоскость II,проведенная в точке М перепендикулярно касательной называется нормальной плоскостью (Рис.1.8).

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М, по которой направлен единичный вектор главной нормали .

Плоскость III, проведенную в точке М перпендикулярно главной нормали называют спрямляющей плоскостью (Рис 1.8).

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей бинормаль к кривой в точке М. Единичный вектор бинормали = · . Векторы , ,  образуют правую тройку векторов.

Трехгранник из плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называют естественным трехгранником, а векторы , ,  единичными векторами осей естественного трехгранника.

Продифференцируем скорость (1.5) по времени

Назовем касательным ускорением вектор:

Вектор преобразуем

Из математики

Тогда

– радиус кривизны траектории в точке М.

Назовем нормальным ускорением вектор

Тогда

                                                                                               (1.9)

где

                                                                            (1.10)

Модуль ускорения

.

Если ,  одного знака, то движение называется ускоренным, разно – замедленным.

Если =0, то =const – движение называется равномерным.

Для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство

В декартовых координатах

Если = const, то движение называется равноускоренным или равнозамедленным .

Тогда скорость  и путь S равны

 S =

где ,  начальные скорости и путь.

Движение точки по окружности.

Пусть точка М движется по окружности радиуса R. Положение точки М зададим дуговой координатой : . По формуле (1.5)  =  τ· где  τ = угол поворота радиуса ОМ.

Обозначим  =  и называется угловой  скоростью вращения радиуса ОМ.

Тогда

Вектор скорости направлен по касательной к окружности. По формулам (1.9) и (1.10)

 – нормальное ускорение направленно по главной нормали к центру О, его называют центростремительным ускорением.

 – касательное ускорение, направлено по касательной к окружности,

где  называют угловым ускорением радиуса ОМ,

ускорение  называют вращательным. Так как , окончательно получим

                                                               (1.11)

 

                                                                                                  

Дата: 2018-12-28, просмотров: 11.