Глава 1. Кинематика точки.
Основные понятия кинематики.
В этом разделе будем изучать движение материальных точек и тел. Под движением тела подразумевают, изменение его положения в пространстве с течением времени. С телом, по отношению к которому изучается движение, связывают систему координатных осей. Время непрерывно, одинаково во всех точках и не зависит от движения тел. Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Непрерывную кривую, которую описывает точка в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория прямая линия, то движение прямолинейное, кривая линия – криволинейное.
Задачи кинематики: найти способы задания движения точек и тел и для каждого способа определить скорости и ускорения.
1.2. Способы задания движения точки.
Движение точки по отношению к избранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.
Векторный способ задания движения (рис.1.1)
![]() | Положение точки в пространстве будет вполне определено, если задан ее радиус-вектор ![]() ![]() ![]() ![]() |
Координатный способ задания движения (рис.1.2)
| Положение точки полностью определено заданием координат точки, как функций времени. Например, в декартовой системе координат задаются x = x (t), y = y (t), z = z (t). | ||
| Естественный способ задания движения (рис.1.3.). В этом случае задаются: траектория точки, начало отсчета Мо, положительное направление отсчета и закон движения по траектории σ = МоМ, т.е. σ = σ (t). Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна. | ||
Скорость точки.
Скорость при векторном способе задания движения.
![]() | Пусть в момент t положение точки определяется радиусом – вектором ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Средней скоростью за промежуток времени ∆ t называется вектор ср=
.
Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, когда этот промежуток времени стремится к нулю.
=
=
(1.1)
В системе СИ единица измерения скорости м/с.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Скорость при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат принятой за неподвижную, следовательно, известны x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Вектор можно записать через проекции
= x·
+ y·
+z·
=
=
∙
+
∙
+
∙
, т.к.
,
,
–
. (1.2)
Вектор можно записать через проекции
= υx·
+ υy·
+υz·
(1.3)
Сравнивая формулы (1.2) и (1.3) получим υx= ; υy=
; υz=
, т.е. проекции скорости на оси равны первой производной от координаты.
Модуль скорости υ =
Направляющие косинусы вектора скорости
cos ( ;
) =
cos ( ;
) =
cos ( ;
) =
Скорость при естественном способе задания движения.
![]() | Пусть точка М движется по кривой и за время ∆t переместилась из точки М в точку М1 (Рис 1.5). Воспользуемся формулой 1.1 |
=
=
=
·
,
где вектор =
– единичный, направленный по касательной к траектории в точке М в сторону возрастания дуговой координаты..
По определению производной =
=
, получим
=
·
(1.4)
Обозначим =
τ – проекция вектора скорости на касательную, тогда
=
τ ·
(1.5)
Модуль =
.
Ускорение точки.
Ускорение при векторном способе задания движения.
![]() | Пусть в момент времени t скорость точки М ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Средним ускорением точки за время ∆t называется вектор ср= ∆
/∆t.
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости ∆ к приращению времени ∆ t при условии ∆ t →0, т.е. производной скорости по времени.
=
=
=
(1.6)
Ускорение при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в прямоугольной декартовой системе координат:
По определению ускорения (1.6)
Вектор ускорения можно записать через проекции на оси x, y, z:
Сравнивая последние формулы , получим:
(1.7)
,
(1.8)
Модуль ускорения
Направляющие косинусы вектора :
Ускорение при естественном способе задания движения.
![]() ![]() | Рассмотрим пространственную кривую. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Устремим М1 к М.Плоскость П будет поворачиваться вокруг и в пределе займет некоторое положение Ι (Рис. 1.8).
Полученную таким образом плоскость Ι называют соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Если кривая плоская,то она вся лежит в соприкасающейся плоскости.
Плоскость II,проведенная в точке М перепендикулярно касательной называется нормальной плоскостью (Рис.1.8).
Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М, по которой направлен единичный вектор главной нормали .
Плоскость III, проведенную в точке М перпендикулярно главной нормали называют спрямляющей плоскостью (Рис 1.8).
![]() | Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей бинормаль к кривой в точке М. Единичный вектор бинормали
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Трехгранник из плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называют естественным трехгранником, а векторы ,
,
единичными векторами осей естественного трехгранника.
Продифференцируем скорость (1.5) по времени
Назовем касательным ускорением вектор:
Вектор преобразуем
Из математики
Тогда
– радиус кривизны траектории в точке М.
Назовем нормальным ускорением вектор
Тогда
(1.9)
где
(1.10)
Модуль ускорения
.
Если ,
одного знака, то движение называется ускоренным, разно – замедленным.
Если =0, то
=const – движение называется равномерным.
Для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство
В декартовых координатах
Если = const, то движение называется равноускоренным или равнозамедленным .
Тогда скорость и путь S равны
S =
где ,
начальные скорости и путь.
Задание движения твердого тела.
Основные задачи кинематики твердого тела:
- установление способа задания движения тела;
- изучение кинематических характеристик присущих всему телу;
- определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.
Движение тела задано, если есть способ, позволяющий определить положение любой его точки в любой момент времени.
![]() | Положение тела в пространстве полностью определено заданием трех точек А1, А2, А3 с координатами х1, y1, z1;х2, y2, z2;х3, y3, z3. Координаты точек должны удовлетворять трем уравнениям связи (рис. 2.1): |
d21 = (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 + (z2 – z1)2,
d22 = (х3 – х2)2 + (у3 – у2)2 + (z3 – z2)2,
d23 = (х1 – х3)2 + (у1 – у3)2 + (z1 – z3)2.
Следовательно, из девяти координат независимых только шесть.
Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение твердого тела в пространстве, называется числом степеней свободы твердого тела.
Мгновенный центр ускорений
Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.
Пусть известны ускорение точки А – , угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Отложим из точки А под углом
отрезок AQ (рис. 2.13), где
![]() | Определим ускорение точки Q
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Угол между и отрезком
Следовательно, параллельно
. В точке Q два вектора равны и противоположно направлены,
и точка Q – мгновенный центр ускорений. Ускорения всех точек тела пропорциональны расстояниям до мгновенного центра ускорений.
Глава III. Сложное движение точки.
3.1 Основные определения.
Пусть О1x1y1z1 – неподвижная, основная система координат, Аxyz – подвижная система координат. Точка М движется относительно подвижной системы, а подвижная система координат движется относительно неподвижной системы О1x1y1z1.
Будем называть сложным или абсолютным движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную.
Движение точки в подвижной системе координат будем называть относительным.
Движение подвижной системы координат относительно неподвижной будем называть переносным движением.
Пусть вектор а задан в подвижной системе координат.
Так как подвижная система движется относительно неподвижной, то
Продифференцируем по времени.
=
z
Обозначим
и назовем это выражение локальной производной вектором
, или производный вектор
в подвижной системе координат.
Так как векторы имеют постоянную длину и проведены из начала подвижной системы координат, то по формуле Эйлера (2.6):
x
)+ay
)+ az(
=
(
x
+ay
+ az
) =
(2.14)
Формула (2.14) называется формулой Бура или производной вектора, заданного в подвижной системе координат.
§ 17. Теорема о сложении скоростей.
Скорость точки M по отношению к основной системе координат назовем абсолютной скоростью, ее обозначения M;
a. ,
Скорость точки М по отношению подвижной системе назовем относительной скоростью r.
Переносной скоростью называют скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, обозначается е.
Проведем радиус-векторы ,
A,
;
где задан в подвижной системе. Продифференцируем
по времени
Так как задан в подвижной системе координат, то его производную найдем по формуле Бура.
(2.15)
Пусть точка М не движется в подвижной системе. Тогда =0 ;
- переносная скорость.
Из формулы (2.15) получим:
Пусть точка М не движется в подвижной системе координат, тогда ;
– относительная скорость.
Из формулы (2.15) получим:
Формула (2.15) принимает вид: (2.16)
Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении точки: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
§18. Теорема о сложении ускорений.
Заменим в формуле (2.15)
Продифференцируем
по времени:
Векторы и
заданы в подвижной системе координат, следовательно, их производную найдём по формуле Бура:
(2.17)
Пусть точка М не движется в подвижной системе, тогда ;
. Т.е. относительное движение отсутствует, остается переносное движение.
Получим переносное ускорение, в которое войдут три слагаемых из формулы (2.17).
Пусть подвижная система не движется относительно неподвижной, тогда ;
;
остается относительное движение точки.
Из формулы (2.17) получим:
В формуле (2.17) остались два слагаемых, которые не вошли в и
назовём их ускорением Кориолиса:
Формула (2.17) принимает вид: (2/18)
Получена теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и ускорения Кориолиса.
Направление ускорения Кориолиса можно определить по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.
Правило Жуковского: спроецируем
в плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и повернём проекцию на 90˚ в сторону
(рис.2.15)
Величина (модуль) ускорения Кориолиса равна
где – угол между векторами
и
Ускорение если:
1. , например, переносное движение - поступательное
2.
3. , то есть
или π, векторы
и
коллинеарны.
Глава 1. Кинематика точки.
Основные понятия кинематики.
В этом разделе будем изучать движение материальных точек и тел. Под движением тела подразумевают, изменение его положения в пространстве с течением времени. С телом, по отношению к которому изучается движение, связывают систему координатных осей. Время непрерывно, одинаково во всех точках и не зависит от движения тел. Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Непрерывную кривую, которую описывает точка в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория прямая линия, то движение прямолинейное, кривая линия – криволинейное.
Задачи кинематики: найти способы задания движения точек и тел и для каждого способа определить скорости и ускорения.
1.2. Способы задания движения точки.
Движение точки по отношению к избранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.
Векторный способ задания движения (рис.1.1)
![]() | Положение точки в пространстве будет вполне определено, если задан ее радиус-вектор ![]() ![]() ![]() ![]() |
Координатный способ задания движения (рис.1.2)
| Положение точки полностью определено заданием координат точки, как функций времени. Например, в декартовой системе координат задаются x = x (t), y = y (t), z = z (t). | ||
| Естественный способ задания движения (рис.1.3.). В этом случае задаются: траектория точки, начало отсчета Мо, положительное направление отсчета и закон движения по траектории σ = МоМ, т.е. σ = σ (t). Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна. | ||
Скорость точки.
Скорость при векторном способе задания движения.
![]() | Пусть в момент t положение точки определяется радиусом – вектором ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Средней скоростью за промежуток времени ∆ t называется вектор ср=
.
Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, когда этот промежуток времени стремится к нулю.
=
=
(1.1)
В системе СИ единица измерения скорости м/с.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Скорость при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат принятой за неподвижную, следовательно, известны x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Вектор можно записать через проекции
= x·
+ y·
+z·
=
=
∙
+
∙
+
∙
, т.к.
,
,
–
. (1.2)
Вектор можно записать через проекции
= υx·
+ υy·
+υz·
(1.3)
Сравнивая формулы (1.2) и (1.3) получим υx= ; υy=
; υz=
, т.е. проекции скорости на оси равны первой производной от координаты.
Модуль скорости υ =
Направляющие косинусы вектора скорости
cos ( ;
) =
cos ( ;
) =
cos ( ;
) =
Скорость при естественном способе задания движения.
![]() | Пусть точка М движется по кривой и за время ∆t переместилась из точки М в точку М1 (Рис 1.5). Воспользуемся формулой 1.1 |
=
=
=
·
,
где вектор =
– единичный, направленный по касательной к траектории в точке М в сторону возрастания дуговой координаты..
По определению производной =
=
, получим
=
·
(1.4)
Обозначим =
τ – проекция вектора скорости на касательную, тогда
=
τ ·
(1.5)
Модуль =
.
Ускорение точки.
Ускорение при векторном способе задания движения.
![]() | Пусть в момент времени t скорость точки М ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Средним ускорением точки за время ∆t называется вектор ср= ∆
/∆t.
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости ∆ к приращению времени ∆ t при условии ∆ t →0, т.е. производной скорости по времени.
=
=
=
(1.6)
Ускорение при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в прямоугольной декартовой системе координат:
По определению ускорения (1.6)
Вектор ускорения можно записать через проекции на оси x, y, z:
Сравнивая последние формулы , получим:
(1.7)
,
(1.8)
Модуль ускорения
Направляющие косинусы вектора :
Ускорение при естественном способе задания движения.
![]() ![]() | Рассмотрим пространственную кривую. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Устремим М1 к М.Плоскость П будет поворачиваться вокруг и в пределе займет некоторое положение Ι (Рис. 1.8).
Полученную таким образом плоскость Ι называют соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Если кривая плоская,то она вся лежит в соприкасающейся плоскости.
Плоскость II,проведенная в точке М перепендикулярно касательной называется нормальной плоскостью (Рис.1.8).
Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М, по которой направлен единичный вектор главной нормали .
Плоскость III, проведенную в точке М перпендикулярно главной нормали называют спрямляющей плоскостью (Рис 1.8).
![]() | Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей бинормаль к кривой в точке М. Единичный вектор бинормали
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Трехгранник из плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называют естественным трехгранником, а векторы ,
,
единичными векторами осей естественного трехгранника.
Продифференцируем скорость (1.5) по времени
Назовем касательным ускорением вектор:
Вектор преобразуем
Из математики
Тогда
– радиус кривизны траектории в точке М.
Назовем нормальным ускорением вектор
Тогда
(1.9)
где
(1.10)
Модуль ускорения
.
Если ,
одного знака, то движение называется ускоренным, разно – замедленным.
Если =0, то
=const – движение называется равномерным.
Для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство
В декартовых координатах
Если = const, то движение называется равноускоренным или равнозамедленным .
Тогда скорость и путь S равны
S =
где ,
начальные скорости и путь.
Движение точки по окружности.
![]() | Пусть точка М движется по окружности радиуса R. Положение точки М зададим дуговой координатой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Обозначим =
и называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ.
Тогда
Вектор скорости направлен по касательной к окружности. По формулам (1.9) и (1.10)
– нормальное ускорение направленно по главной нормали к центру О, его называют центростремительным ускорением.
– касательное ускорение, направлено по касательной к окружности,
где называют угловым ускорением радиуса ОМ,
ускорение называют вращательным. Так как
, окончательно получим
(1.11)
Дата: 2018-12-28, просмотров: 290.