Глава 1. Кинематика точки.
Основные понятия кинематики.
В этом разделе будем изучать движение материальных точек и тел. Под движением тела подразумевают, изменение его положения в пространстве с течением времени. С телом, по отношению к которому изучается движение, связывают систему координатных осей. Время непрерывно, одинаково во всех точках и не зависит от движения тел. Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Непрерывную кривую, которую описывает точка в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория прямая линия, то движение прямолинейное, кривая линия – криволинейное.
Задачи кинематики: найти способы задания движения точек и тел и для каждого способа определить скорости и ускорения.
1.2. Способы задания движения точки.
Движение точки по отношению к избранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.
Векторный способ задания движения (рис.1.1)
| Положение точки в пространстве будет вполне определено, если задан ее радиус-вектор  (t), проведенный из неподвижного центра.
= (t) – векторное уравнение движения точки.
Например, 
|
Координатный способ задания движения (рис.1.2)
|
| Положение точки полностью определено заданием координат точки, как функций времени. Например, в декартовой системе координат задаются x = x (t), y = y (t), z = z (t). | ||
|
| Естественный способ задания движения (рис.1.3.). В этом случае задаются: траектория точки, начало отсчета Мо, положительное направление отсчета и закон движения по траектории σ = МоМ, т.е. σ = σ (t). Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна. | ||
Скорость точки.
Скорость при векторном способе задания движения.
| Пусть в момент t положение точки определяется радиусом – вектором (t), а в момент t + ∆t радиусом – вектором (t + ∆t).
Назовем ∆ = (t + ∆t) – (t) –вектор перемещения точки за время ∆t.
|
Средней скоростью за промежуток времени ∆ t называется вектор 
ср= 
.
Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, когда этот промежуток времени стремится к нулю.
= 
= 
(1.1)
В системе СИ единица измерения скорости м/с.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Скорость при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат принятой за неподвижную, следовательно, известны x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Вектор можно записать через проекции
= x· 
+ y· 
+z· 
= 
= 
∙ 
+ 
∙ 
+ 
∙ 
, т.к. , , – 
. (1.2)
Вектор можно записать через проекции
= υx· + υy· +υz· (1.3)
Сравнивая формулы (1.2) и (1.3) получим υx= ; υy= ; υz= , т.е. проекции скорости на оси равны первой производной от координаты.
Модуль скорости υ = 
Направляющие косинусы вектора скорости
cos ( ; 
) = 
cos ( ; ) = 
cos ( ; ) = 
Скорость при естественном способе задания движения.
Рис 1.5
| Пусть точка М движется по кривой и за время ∆t переместилась из точки М в точку М1 (Рис 1.5). Воспользуемся формулой 1.1 |
= 
= 
= 
· 
,
где вектор = 
– единичный, направленный по касательной к траектории в точке М в сторону возрастания дуговой координаты..
По определению производной = 
= 
, получим
= · 
(1.4)
Обозначим = 
τ – проекция вектора скорости на касательную, тогда
= τ · (1.5)
Модуль 
= 
.
Ускорение точки.
Ускорение при векторном способе задания движения.
Рис 1.6
| Пусть в момент времени t скорость точки М (t) (Рис 1.6), а в момент времени t+∆t скорость (t+∆t). Изменение вектора скорости за промежуток ∆ t : ∆ = (t+∆t) - (t)
|
Средним ускорением точки за время ∆t называется вектор 
ср= ∆ /∆t.
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости ∆ к приращению времени ∆ t при условии ∆ t →0, т.е. производной скорости по времени.
= 
= 
= 
(1.6)
Ускорение при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в прямоугольной декартовой системе координат:
По определению ускорения (1.6)
Вектор ускорения можно записать через проекции на оси x, y, z:
Сравнивая последние формулы , получим:
(1.7)
, 
(1.8)
Модуль ускорения 
Направляющие косинусы вектора :
Ускорение при естественном способе задания движения.
Рис. 1.7 
| Рассмотрим пространственную кривую. Пусть единственный вектор касательной в точке М.
Возьмем близкую точку М1, в ней  . Перенесем  в точку М и проведем плоскость П через и ( Рис.1.7).
|
Устремим М1 к М.Плоскость П будет поворачиваться вокруг и в пределе займет некоторое положение Ι (Рис. 1.8).
Полученную таким образом плоскость Ι называют соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Если кривая плоская,то она вся лежит в соприкасающейся плоскости.
Плоскость II,проведенная в точке М перепендикулярно касательной называется нормальной плоскостью (Рис.1.8).
Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М, по которой направлен единичный вектор главной нормали 
.
Плоскость III, проведенную в точке М перпендикулярно главной нормали называют спрямляющей плоскостью (Рис 1.8).
| Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей бинормаль к кривой в точке М. Единичный вектор бинормали
 = · .
Векторы , , образуют правую тройку векторов.
|
Трехгранник из плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называют естественным трехгранником, а векторы , , единичными векторами осей естественного трехгранника.
Продифференцируем скорость (1.5) по времени
Назовем касательным ускорением вектор:
Вектор 
преобразуем
Из математики
Тогда 
– радиус кривизны траектории в точке М.
Назовем нормальным ускорением вектор
Тогда
(1.9)
где
(1.10)
Модуль ускорения
.
Если 
, 
одного знака, то движение называется ускоренным, разно – замедленным.
Если =0, то 
=const – движение называется равномерным.
Для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство
В декартовых координатах
Если = const, то движение называется равноускоренным или равнозамедленным .
Тогда скорость 
и путь S равны
S = 
где 
, 
начальные скорости и путь.
Задание движения твердого тела.
Основные задачи кинематики твердого тела:
- установление способа задания движения тела;
- изучение кинематических характеристик присущих всему телу;
- определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.
Движение тела задано, если есть способ, позволяющий определить положение любой его точки в любой момент времени.
| Положение тела в пространстве полностью определено заданием трех точек А1, А2, А3 с координатами х1, y1, z1;х2, y2, z2;х3, y3, z3. Координаты точек должны удовлетворять трем уравнениям связи (рис. 2.1): |
d21 = (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 + (z2 – z1)2,
d22 = (х3 – х2)2 + (у3 – у2)2 + (z3 – z2)2,
d23 = (х1 – х3)2 + (у1 – у3)2 + (z1 – z3)2.
Следовательно, из девяти координат независимых только шесть.
Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение твердого тела в пространстве, называется числом степеней свободы твердого тела.
Мгновенный центр ускорений
Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.
Пусть известны ускорение точки А – 
, угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Отложим из точки А под углом 
отрезок AQ (рис. 2.13), где
| Определим ускорение точки Q
где  ,  .
Следовательно
|
Угол между 
и отрезком 
Следовательно, 
параллельно . В точке Q два вектора равны и противоположно направлены, 
и точка Q – мгновенный центр ускорений. Ускорения всех точек тела пропорциональны расстояниям до мгновенного центра ускорений.
Глава III. Сложное движение точки.
3.1 Основные определения.
Пусть О1x1y1z1 – неподвижная, основная система координат, Аxyz – подвижная система координат. Точка М движется относительно подвижной системы, а подвижная система координат движется относительно неподвижной системы О1x1y1z1.
Будем называть сложным или абсолютным движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную.
Движение точки в подвижной системе координат будем называть относительным.
Движение подвижной системы координат относительно неподвижной будем называть переносным движением.
Пусть вектор а задан в подвижной системе координат.
Так как подвижная система движется относительно неподвижной, то 
Продифференцируем 
по времени.
= 
z
Обозначим
и назовем это выражение локальной производной вектором , или производный вектор в подвижной системе координат.
Так как векторы 
имеют постоянную длину и проведены из начала подвижной системы координат, то по формуле Эйлера (2.6):
x 
)+ay 
)+ az( 
= 
( 
x 
+ay 
+ az 
) = 
(2.14)
Формула (2.14) называется формулой Бура или производной вектора, заданного в подвижной системе координат.
§ 17. Теорема о сложении скоростей.
Скорость точки M по отношению к основной системе координат назовем абсолютной скоростью, ее обозначения 
M; a. ,
Скорость точки М по отношению подвижной системе назовем относительной скоростью r.
Переносной скоростью называют скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, обозначается е.
Проведем радиус-векторы 
, A, 
;
где 
задан в подвижной системе. Продифференцируем по времени
Так как задан в подвижной системе координат, то его производную найдем по формуле Бура.
(2.15)
Пусть точка М не движется в подвижной системе. Тогда 
=0 ;
- переносная скорость.
Из формулы (2.15) получим: 
Пусть точка М не движется в подвижной системе координат, тогда 
; 
– относительная скорость.
Из формулы (2.15) получим: 
Формула (2.15) принимает вид: 
(2.16)
Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении точки: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
§18. Теорема о сложении ускорений.
Заменим в формуле (2.15) 
Продифференцируем 
по времени:
Векторы 
и 
заданы в подвижной системе координат, следовательно, их производную найдём по формуле Бура:
(2.17)
Пусть точка М не движется в подвижной системе, тогда 
; 
. Т.е. относительное движение отсутствует, остается переносное движение.
Получим переносное ускорение, в которое войдут три слагаемых из формулы (2.17).
Пусть подвижная система не движется относительно неподвижной, тогда 
; 
; 
остается относительное движение точки.
Из формулы (2.17) получим: 
В формуле (2.17) остались два слагаемых, которые не вошли в 
и 
назовём их ускорением Кориолиса: 
Формула (2.17) принимает вид: 
(2/18)
Получена теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и ускорения Кориолиса.
Направление ускорения Кориолиса можно определить по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.
Правило Жуковского: спроецируем в плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и повернём проекцию на 90˚ в сторону 
(рис.2.15)
Величина (модуль) ускорения Кориолиса равна 
где 
– угол между векторами 
и
Ускорение 
если:
1. , например, переносное движение - поступательное
2.
3. 
, то есть 
или π, векторы и коллинеарны.
Глава 1. Кинематика точки.
Основные понятия кинематики.
В этом разделе будем изучать движение материальных точек и тел. Под движением тела подразумевают, изменение его положения в пространстве с течением времени. С телом, по отношению к которому изучается движение, связывают систему координатных осей. Время непрерывно, одинаково во всех точках и не зависит от движения тел. Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Непрерывную кривую, которую описывает точка в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория прямая линия, то движение прямолинейное, кривая линия – криволинейное.
Задачи кинематики: найти способы задания движения точек и тел и для каждого способа определить скорости и ускорения.
1.2. Способы задания движения точки.
Движение точки по отношению к избранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.
Векторный способ задания движения (рис.1.1)
|
| Положение точки в пространстве будет вполне определено, если задан ее радиус-вектор (t), проведенный из неподвижного центра.
= (t) – векторное уравнение движения точки.
Например,
|
Координатный способ задания движения (рис.1.2)
|
| Положение точки полностью определено заданием координат точки, как функций времени. Например, в декартовой системе координат задаются x = x (t), y = y (t), z = z (t). | ||
|
| Естественный способ задания движения (рис.1.3.). В этом случае задаются: траектория точки, начало отсчета Мо, положительное направление отсчета и закон движения по траектории σ = МоМ, т.е. σ = σ (t). Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна. | ||
Скорость точки.
Скорость при векторном способе задания движения.
|
| Пусть в момент t положение точки определяется радиусом – вектором (t), а в момент t + ∆t радиусом – вектором (t + ∆t).
Назовем ∆ = (t + ∆t) – (t) –вектор перемещения точки за время ∆t.
|
Средней скоростью за промежуток времени ∆ t называется вектор ср= .
Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, когда этот промежуток времени стремится к нулю.
= = (1.1)
В системе СИ единица измерения скорости м/с.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Скорость при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат принятой за неподвижную, следовательно, известны x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Вектор можно записать через проекции
= x· + y· +z·
= = ∙ + ∙ + ∙ , т.к. , , – . (1.2)
Вектор можно записать через проекции
= υx· + υy· +υz· (1.3)
Сравнивая формулы (1.2) и (1.3) получим υx= ; υy= ; υz= , т.е. проекции скорости на оси равны первой производной от координаты.
Модуль скорости υ =
Направляющие косинусы вектора скорости
cos ( ; ) =
cos ( ; ) =
cos ( ; ) =
Скорость при естественном способе задания движения.
|
Рис 1.5
| Пусть точка М движется по кривой и за время ∆t переместилась из точки М в точку М1 (Рис 1.5). Воспользуемся формулой 1.1 |
= = = · ,
где вектор = – единичный, направленный по касательной к траектории в точке М в сторону возрастания дуговой координаты..
По определению производной = = , получим
= · (1.4)
Обозначим = τ – проекция вектора скорости на касательную, тогда
= τ · (1.5)
Модуль = .
Ускорение точки.
Ускорение при векторном способе задания движения.
|
Рис 1.6
| Пусть в момент времени t скорость точки М (t) (Рис 1.6), а в момент времени t+∆t скорость (t+∆t). Изменение вектора скорости за промежуток ∆ t : ∆ = (t+∆t) - (t)
|
Средним ускорением точки за время ∆t называется вектор ср= ∆ /∆t.
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости ∆ к приращению времени ∆ t при условии ∆ t →0, т.е. производной скорости по времени.
= = = (1.6)
Ускорение при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в прямоугольной декартовой системе координат:
По определению ускорения (1.6)
Вектор ускорения можно записать через проекции на оси x, y, z:
Сравнивая последние формулы , получим:
(1.7)
, (1.8)
Модуль ускорения
Направляющие косинусы вектора :
Ускорение при естественном способе задания движения.
|
Рис. 1.7
| Рассмотрим пространственную кривую. Пусть единственный вектор касательной в точке М.
Возьмем близкую точку М1, в ней . Перенесем в точку М и проведем плоскость П через и ( Рис.1.7).
|
Устремим М1 к М.Плоскость П будет поворачиваться вокруг и в пределе займет некоторое положение Ι (Рис. 1.8).
Полученную таким образом плоскость Ι называют соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Если кривая плоская,то она вся лежит в соприкасающейся плоскости.
Плоскость II,проведенная в точке М перепендикулярно касательной называется нормальной плоскостью (Рис.1.8).
Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М, по которой направлен единичный вектор главной нормали .
Плоскость III, проведенную в точке М перпендикулярно главной нормали называют спрямляющей плоскостью (Рис 1.8).
|
| Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей бинормаль к кривой в точке М. Единичный вектор бинормали
= · .
Векторы , , образуют правую тройку векторов.
|
Трехгранник из плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называют естественным трехгранником, а векторы , , единичными векторами осей естественного трехгранника.
Продифференцируем скорость (1.5) по времени
Назовем касательным ускорением вектор:
Вектор преобразуем
Из математики
Тогда
– радиус кривизны траектории в точке М.
Назовем нормальным ускорением вектор
Тогда
(1.9)
где
(1.10)
Модуль ускорения
.
Если , одного знака, то движение называется ускоренным, разно – замедленным.
Если =0, то =const – движение называется равномерным.
Для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство
В декартовых координатах
Если = const, то движение называется равноускоренным или равнозамедленным .
Тогда скорость и путь S равны
S =
где , начальные скорости и путь.
Движение точки по окружности.
| Пусть точка М движется по окружности радиуса R. Положение точки М зададим дуговой координатой  :  .
По формуле (1.5)
=  τ·
где τ = 
 угол поворота радиуса ОМ.
|
Обозначим 
= 
и называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ.
Тогда 
Вектор скорости направлен по касательной к окружности. По формулам (1.9) и (1.10)
– нормальное ускорение направленно по главной нормали к центру О, его называют центростремительным ускорением.
– касательное ускорение, направлено по касательной к окружности,
где 
называют угловым ускорением радиуса ОМ,
ускорение 
называют вращательным. Так как 
, окончательно получим
(1.11)
Дата: 2018-12-28, просмотров: 357.
