Мгновенные значения фазных величин трехфазной системы можно получить, как проекции трех фазных величин на одну ось времени, так и проектируя один вектор на три оси времени, сдвинутых на . Этот вектор носит название обобщенного или изображающего вектора (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Обобщенный вектор трехфазной системы

Связь между двумя системами определяется соотношениями:

Обобщенный вектор удобно представить в неподвижной декартовой системе координат xy. Такой способ носит название замены переменных. Число переменных при замене не изменяется. Связь между системами определяется соотношениями:

В симметричном режиме:

Рис. 8.4. Замена переменных

В несимметричном  режиме машины вводится нулевая составляющая . При этом .

                                                    (8.3)

− частный случай.  Симметричный режим машины.  

В декартовой системе координат (двухфазной машине) число коэффициентов собственных и взаимных индуктивностей уменьшилось, но не устранена переменность коэффициентов. Такая система координат осей х, у, неподвижных в пространстве, используется при анализе переходных процессов в несиммет­ричных режимах синхронных машин. При анализе переходных процессов асинхронных машин вводятся оси, связанные с ротором при переменной скорости вращения. Такие оси носят название осей α, β.

Симметричные переходные процессы в синхронной машине целесообразно исследовать в системе координат, вращающихся вме­сте с ротором (ось х при этом совмещают с осью d ротора).  Эта сис­тема осей называется осями d , q. Удобство системы координат, жестко связанных с ротором, для синхронной машины заключается в том, что для наблюдателя, вращающегося вместе с этими осями, машина в магнитном отношении оказывается симметричной независимо от положения ротора. То есть ротор вращается вместе со статором и ротор относительно статора остается неподвижным. В такой модельной машине невозможно образование ЭДС вращения, но они могут быть получены при обратном переходе от двухфазной машины к трехфазной.

Поэтому в системе координат d , q , потокосцепления уже не содержат переменных индуктивностей, а дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты, что существенно облегчает исследование. Преобразование к осям

 d , q является практически единственным, приводящим дифференциальные уравнения синхронной машины с периодическими коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффициентами. Это делает преобразование к осям d , q весьма важным, играющим фундаментальное значение в теории синхронной машины. Это преобразование было предложено Блонделем для установившегося режима и развито для переходных процессов Парком и Горевым. Уравнения носят название уравнений по огибающим (так как в новой системе координат и старой системе координат максимальные значения совпадают) или уравнений Парка−Горева.

Модель преобразованной машины представлена на рисунке 8.5. Если для этой

машины составить дифференциальные уравнения, то это будут дифференциальные уравнения с постоянными  коэфицентами, которые можно будет решить и осуществить обратный переход к трехфазной машине по соотношениям (8.3).

Рис. 8.5. Модель преобразованной синхронной машины

 Потокосцепления модели и связь параметров модели и трехфазной машины:

                                                          (8.4)

8.4. Вывод уравнений Парка−Горева

Заменим на  при этом  и выразим все входящие в уравнение (8.1) переменные через новые переменные по соотношениям  (8.3):                         

Группируем слагаемые:

.

Приравнивая нулю каждого выражения в скобках и добавляя уравнение для обмотки возбуждения (8.1) и соотношения для потокосцеплений (8.4), получаем дифференциальные уравнения модели, носящие название уравнений Парка−Горева, выражающие основу теории двух реакций:

                                                                                             (8.5)

Некоторые допущения, которые имели место, могут быть сняты. Так, если добавить уравнение движения, то уравнения могут быть использованы для решения задач расчета электромеханических переходных процессов.

Например: .

 − ЭДС трансформации. С учетом известного выражения для ЭДС вращения  при синхронной скорости вращения  и  − ЭДС вращения; ri − падение напряжения на активном сопротивлении.

8.5.  Уравнения Парка−Горева в системе относительных единиц

При    и синхронной скорости . В дальнейшем опускаем индекс относительной величины *, и уравнения (8.5) принимают вид:

                                                                     (8.6)

            .

В такой форме уравнения применяются для анализа электромагнитных переходных процессов. 

8.6.  Уравнения Парка−Горева в операторной форме

Решение уравнений Парка−Горева обычно производят в операторной форме с применением преобразования Лапласа. При этом уравнения становятся алгебраическими и решаются стандартными методами. Для упрощения решения его производят при нулевых начальных условиях, то есть для приращений. По принципу наложения полученные решения для приращений суммируются с начальными условиями. С учетом основных соотношений преобразований Лапласа:  и .                                                                                                                                                                       

                                                                      (8.7)

.

Из выражений (8.7) могут быть определены операторные реактивности синхронной машины:

Здесь:   =  − постоянная времени обмотки возбуждения при разомкнутом статоре;  − постоянная времени обмотки возбуждения при короткозамкнутом статоре. В начальный момент времени −   в установившемся режиме − .