Базовой основой для вычисления корреляционной функции скалярного процесса является оценка корреляционной функции
где 
-математическое ожидание.
Такая оценка является асимптотически несмещенной, т.е
Если математическое ожидание неизвестно используют выражение
,
в котором 
-оценка математического ожидания.
Оценка 
также является асимптотически несмещенной оценкой
При дискретном количестве наблюдений вычисление интегралов заменяется вычислением сумм
Вычисление корреляционных функций можно провести с использованием программ в Matlab.
На рисунке приведены графики построения выборочной и истинной корреляционных функций случайного процесса с корреляционной функцией 
, 
, 
.
На этом графике длина реализации составляет 500 сек. при интервале дискретизации 0.01 сек, т.е обрабатывались 50000 наблюдений процесса.
На следующих рисунках длина реализаций была равной 50 и 5 секунд и, следовательно обрабатывались 5000 и 500 наблюдений процесса.
Графики показывают, что точность построения корреляционных функций существенно зависит от длины реализации .
Как правило, представляет интерес аналитическое выражение для корреляционной функции.
С этой целью делается предположение о виде корреляционной функции и проводится ее аппроксимация с использованием МНК.
Оценка спектральной плотности
Один из возможных вариантов может быть основан на получении вначале выборочной корреляционной функции 
с последующим применением преобразования Фурье
Следует, однако, иметь в виду, что выборочная функция известна на конечном интервале 
и ее точность на границах интервала существенно ухудшается что может привести к значительным ошибкам в оценке спектральной плотности.
Другой возможный вариант связан с использованием периодограммы, определяемой как
Показано[ Cвешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций], что
,
и поэтому в первом приближении можем считать, что 
. Однако, такая оценка не является состоятельной.
Модификацией этого алгоритма является алгоритм, в котором весь интервал разбивается на 
подинтервалов длиной 
, вырабатываются на этом интервале оценки
и затем они осредняются
Такая оценка является асимптотически несмещенной и состоятельной [Cвешников]
В общем случае при вычислении оценок в выражение для частных оценок вводят некоторую весовую функцию
где весовая функция обращается в нуль при 
Метод вариации Аллана.
Иногда оценку дисперсии можно определить как
(*)
Можно показать, что такая оценка будет несмещенной и состоятельной
Предположим теперь, что имеется наборов из 
И для каждого из них вычисляется среднее значение
, 
Вариация Аллана определяется следующим образом
Отсюда следует, что вариация Алана представляет собой оценку одной второй дисперсии разности ( приращений) средних значений 
, рассчитанных для каждой группы.
Легко показать, что при 
вариация Аллана совпадает с полученной с помощью выражения (*) оценки дисперсии.
Вводя знак осреднения по ансамблю 
можем записать
.
Для процесса с непрерывным временем определяем
или
,
где
-
среднее на интервале 
.
Пример Рассмотрим случайный процесс в виде линейного тренда
. Найдем вариацию Аллана.
Поскольку
, то очевидно, что
Пример. Найти вариацию Аллана для белого шума интенсивности 
.
Так как 
представляют собой независимые случайные величины с дисперсией 
, то дисперсия приращений будет равна 
.
Пример. Найти вариацию Аллана для винеровского процесса
где 
-белый шум единичной интенсивности
В этом случае дисперсии независимых между собой случайных величин
определяются как 
. Таким образом 
.
В работах по вариациям Аллана вводят еще две составляющие: так называемый фликкер шум для которого вариация Алана постоянна и шум квантования, длят которого вариация алана зависит от 
. Эти процессы можно рассматривать как случайные процессы со спектральными плотностями 
и 
.
Выражение при наличии всех упомянутых составляющих запишется в виде
Иногда вариации Аллана изображают в логарифмическом масштабе с типовыми наклонами
.
Достоинством вариаций Аллана является их использование для нестационарных процессов
Если процессы стационарны можно показать, что имеется соледующая взаимосвязь между вариацией Алана и спектральной плотностью
Действительно, можно записать
Последнее слагаемое может быть представлено как
где 
корреляционная функция исследуемого процесса.
Тогда
Решение задач сглаживания
Специфика задач сглаживания заключается в выработке оптимальных оценок в момент времени 
с использованием всей совокупности полученных к текущему моменту времени измерений.Выделяют три типа задач сглаживания;
-сглаживание на закрепленном интервале;
-сглаживание в фиксированной точке;
-сглаживание с постоянным запаздыванием.
В задаче сглаживания на закрепленном интервале фиксируется общее количество измерений 
и отыскиваются оценки для каждого момента времени 
с использованием всей совокупности измерений.
В задаче сглаживания в фиксированной точке фиксируется момент времени на которую вырабатывается оценка с использованием всей совокупности измерений.
В задаче сглаживания с постоянным запаздыванием производится выработка оценки на момент времени, отстоящий на фиксированное число шагов от текущего момента времени
Особенности использования информации приведены на рисунке
Решение задачи сглаживания на закрепленном интервале;
Рассмотрим три подхода к решению задачи сглаживания:
-с использованием расширенного пространства состояния;
- с использованием комплексирования оценок, полученных в прямом и обратном времени;
- с использованием уточнения оценок в обратном времени.
Решение задачи сглаживания рассмотрим в постановке когда модель поведения динамической системы и процесса измерений имеет вид
, 
а процесс измерений в дискретные моменты времени описывается моделью с аддитивными ошибками измерений
, 
Дата: 2018-12-28, просмотров: 257.
