1. Дискретный фильтр Калмана предполагает использование марковской последовательности и проведения линейных измерений в дискретные моменты времени. Как следствие необходим расчет состояния динамической системы с использованием уравнений непрерывной динамической системы с вектором состояния, включающим вектор состояния собственно динамической системы, а также векторы состояния формирующих фильтров, используемых для описания возмущений и ошибок измерений, имеющих небелошумный характер. Как следствие, необходимо выполнение следующих типовых этапов.

1.1 Стохастическое описание небелошумных возмущений и ошибок измерений с использованием корреляционных функций или спектральных плотностей

1.2 Подбор формирующих фильтров вида

например, для корреляционной функции вида

 формирующий фильтр имеет вид

,

1.3 Стохастическое описание линейными дифференциальными уравнениями собственно динамической системы.

1.4 Формирование расширенного вектора состояния.

1.5 Описание поведения динамической системы матричными уравнениями с непрерывным временем в расширенном пространстве состояния.

где -матрица небелошумных возмущений, воздействующих на поведение собственно динамической системы. -вектор возмущений формирующих фильтров.

1.6 Переход к описанию марковской последовательности в моменты проведения измерений и расчет эквивалентной ковариационной матрицы возмущений .

,

,

при этом на этапе прогноза используются выражения фильтра Калмана для расширенного вектора состояния

,

Применительно к модели измерений, если измерения не линейны, используется один из нелинейных субоптимальных фильтров калмановского типа, полагая, что линеаризация допустима.

Обработка измерений осуществляется в расширенном пространстве с

Настройкой на модель измерений

с использованием выражений

После выработки оценок на этапе обработки измерений в случае нелинейных измерений проводится гауссовская аппроксимация апостериорной плотности с параметрами .

Уравнение ошибок линейного фильтра , когда коэффициент фильтра отличен от оптимального

Предположим, что оценка линейного фильтра вырабатывается с использованием выражения

где -некоторый коэффициент усиления фильтра

В этом случае ошибка оценки фильтра может быть представлена как

Определяя теперь действительную ковариационную матрицу ошибки оценки для независимых белошумных ошибок измерений и возмущений можно получить следующее выражение для ковариационной матрицы:

Непрерывный фильтр Калмана

Предположим, что задан непрерывный марковский процесс

и имеются непрерывные измерения

,

где -интенсивность белошумной ошибки измерений.

В рамках теории линейной фильтрации показано, что оценку с минимальной ковариационной матрицей можно получить с использованием выражений

,

получивших название непрерывного фильтра Калмана.

Заметим, что выражение для оценки можно преобразовать к виду

которое можно трактовать как уравнение динамической системы с сигналом на входе системы

Для непрерывного фильтра Калмана можно получить дифференциальное уравнение для ошибки оценки

и, как следствие, можно получить следующее выражение для действительной ковариационной матрицы ошибки оценки