Система ML имеет встроенные средства для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) любого порядка или систем ДУ. Дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида:
F(t, y, y’,…, y(n))=0. Наивысший порядок производной искомой функции в данном уравнении называется порядком дифференциального уравнения. Решением дифференциального уравнения является такая функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в равенство. В случае системы дифференциальных уравнений n-го порядка решением являются n функций. При использовании численных методов решения искомые функции выражаются не аналитически, а в табличном виде (в виде набора значений в определенных точках). Самое простое ДУ – это уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной. Оно имеет вид
y ’= f ( t , y ). ДУ и системы порядка 2 и выше можно свести к системам уравнений 1-го порядка. Так, для того чтобы свести к системе уравнений 1-го порядка уравнение y ’’= f ( t , y , y ’), нужно использовать замену: y 1 = y и y 2 = y ’. В результате замены будем иметь систему:
В ML имеется целый ряд встроенных функций, предназначенных для решения систем дифференциальных уравнений. Это функции ode 23, ode 45, ode 113. В перечисленных функциях реализованы различные методы решения обыкновенных ДУ. Наиболее часто используют функции ode 23 и ode 45, в основе работы которых лежит метод Рунге-Кутта. Для систем уравнений 2 и 3 порядков используют функцию ode 23, а для систем уравнений 4 и 5 порядков – функцию ode 45. Обращение к функции, находящей решение системы ДУ имеет вид:
[ t , y ]= <имя встроенной функции>( fun , interval, y 0 ), где
fun – имя m-файла, в котором вычисляются правые части системы ДУ;
interval – вектор, определяющий отрезок на котором ищется решение;
y0 – скаляр или вектор-столбец, в котором задаются начальные условия;
t – вектор-столбец, содержащий значения независимой переменной на заданном интервале (обычно это время t);
y – матрица решений. Количество столбцов в ней равно порядку системы ДУ. Каждый столбец содержит значения одной искомой функции на заданном отрезке. Каждая строка соответствует определенному значению t;
Пример.
Имеем ДУ второго порядка y’’+4y’+5y=0, описывающее движение точки в зависимости от времени. Требуется его решить на отрезке [0,5] с начальными условиями y(0)=3 и y’(0)=-5
Выполним замену: y1=y и y2=y’, получим систему ДУ:
при y1(0)=3 и y2(0)=-5
(тогда y1 будет обозначать координаты точки, а y2 ее скорость).
Составим файл-функцию для вычисления правых частей системы ДУ. Эта функция должна иметь два входных параметра: переменную t, вектор y с количеством элементов, равным числу неизвестных системы, и один выходной параметр (вектор правых частей системы).
function F=mydif(t,y)
F=[y(2); -5*y(1)-4*y(2)];
Сохраним файл с именем mydif в каталоге, разрешенном для записи. Обратимся к функции ode45.
>>[t,y]=ode45('mydif', [0 5],[3;-5])
В результате будут получены вектор столбец t - вектор значений аргумента (в нашем примере это время) и матрица y из двух столбцов. Первый столбец содержит значения функции y1 т.е. самой искомой функции, при каждом значении t, а второй столбец – значения функции y2, т.е. первой производной искомой функции. У нас в первом столбце будут получаться значения координат точки, а во втором – значение скорости ее движения в каждый момент времени t.
Отобразим график решения ДУ и график производной.
>> plot(t,y(:, 1), 'r', t, y (:, 2),'k--')
>> xlabel('t');
>> ylabel('y')
Лабораторная работа №1
Знакомство с пакетом MAtlab. решение простейших
задач в системе MAtlab
Цель работы – познакомиться с интерактивным пакетом Matlab 6.5, предназначенным для решения широкого круга инженерных и математических задач. В первой лабораторной работе студент должен научиться задавать вектора и матрицы, выполнять различные действия с ними, использовать встроенные функции для их обработки, а также изучить средства графического отображения результатов расчета и освоить создание скрипт-файлов.
Постановка задачи – лабораторная работа состоит из шести заданий:
1. вычисление значений функции на заданном отрезке;
2. выполнение действий с векторами;
3. формирование и выполнение действия с матрицами;
4. построение графиков функций одной переменной на заданном отрезке;
5. построение графика функции двух переменных;
6. создание скрипт-файла.
По результатам работы должен быть представлен отчет, содержащий тексты индивидуальных заданий, команды ML для решения задач, текст script -файла, а также графическое представление результатов работы.
Индивидуальные задания.
Задание №1.
Вычислить N значений функции на заданном отрезке.
На экран вывести значения аргумента и значения функции.
Варианты
Функция Отрезок Количество разбиений
1. 
[0,2 
] N=10
2. 
[-0.2,4] N=9
3. 
[0,0.3] N=7
4. 
[0,1] N=10
5. 
[0,3] N=8
6. 
[ ,3 ] N=8
7. 
[-1,1] N=7
8. 
[-1,1] N=10
9. 
[-2,2] N=7
10. 
[-2,2] N=9
Задание №2.
Для заданных векторов a и b длины n (значения элементов векторов и их длину студент задает сам) выполнить преобразования и вычисления в соответствии с вариантом.
Варианты
1. В векторе a элементы с номерами от n 1 до n 2 удвоить, а в векторе b элементы с этими же номерами заменить их средним арифметическим.
2. Образовать новый вектор c=[a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn], определить его максимальный и минимальный элементы и поменять их местами.
3. Образовать вектор c =[a1,a2,a3,b4,b5,…,bn] и упорядочить его по возрастанию и убыванию.
4. Образовать вектор c =[a3,a4,…,an,b1,b2,b3] и переставить элементы вектора c в обратном порядке. Результат записать в новый вектор.
5. Получить вектор x, содержащий удвоенные значения элементов вектора a, и вектор y, содержащий утроенные значения элементов вектора b. Определить среднее арифметическое каждого вектора.
6. Вычислить среднее арифметическое элементов двух векторов. Заменить минимальный элемент первого вектора на максимальный элемент второго вектора.
7. Получить два новых вектора, состоящих из элементов исходных, начиная с номера n 1 до номера n 2. Найти сумму минимальных элементов новых векторов.
8. Заменить нулем минимальный элемент вектора a и максимальный элемент вектора b.
9. Вычислить произведение элементов векторов с номерами от n 1 до n 2. Найти минимальные значения векторов и заменить последние элементы векторов их минимумами.
10. Образовать вектор c =[a2,a3,a4,b3,b4,…,bn]. Элементы с номерами от n 1 до n 2 заменить средним арифметическим этих элементов.
Задание №3.
При помощи встроенных функций для заполнения стандартных матриц, индексации двоеточием и, возможно, объединения, поворота или транспонирования получить следующие матрицы. Применить функции обработки данных и поэлементные операции для нахождения заданных величин.
Варианты
1. A= 
2. A= 
.
3. A= 
.
4. A= 
5. A= 
6. A= 
7. A= 
8. A= 
9. A= 
10. A= 
Задание №4.
4.1.Построить графики двух функций на заданных отрезках.
Вывести графики:
• в разных окнах
• в одном окне в одних осях
• в одном окне в разных осях
Использовать различные цвета, стили, подписи, легенду. Нанести сетку.
Варианты
Функция f Функция g Аргумент x
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
4.2.Построить график кусочно-заданной функции, отобразить ветви разными цветами и маркерами.
Варианты
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
Задание №5.
Построить график функции двух переменных.
Варианты
Функция z Аргумент x Аргумент y
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание №6.
Написать скрипт-файл для решения следующих задач.
Варианты
1. По заданному вектору определить номер его элемента с наибольшим отклонением от среднего арифметического всех элементов векторов.
2. Найти среднее арифметическое элементов заданного вектора и заменить первый элемент этим значением.
3. Вычислить максимальное значение среди элементов главной диагонали заданной матрицы.
4. Переставить первый столбец квадратной матрицы со строкой, где находится наименьший элемент.
5. Сложить все элементы заданной матрицы, кроме элементов главной диагонали.
6. Заменить максимальный элемент вектора средним значением всех его элементов.
7. Заменить элемент матрицы с индексами 1,1 произведением всех элементов матрицы.
8. Заменить последний элемент вектора на максимальный элемент.
9. Найти значение и номер максимального элемента. Графически отобразить элементы заданного вектора синими маркерами, а максимальный элемент – красным.
10. Упорядочить элементы вектора по убыванию, затем последний элемент заменить на среднее арифметическое всех элементов вектора.
Лабораторная работа №2
Решение типовых вычислительных задач в системе MAtlab
Цель работы – научиться использовать встроенные функции, реализующие различные численные методы решения, а также средства отображения результатов расчета; освоить создание файлов-сценариев и файлов-функций.
Постановка задачи – Каждый вариант задания состоит из пяти пунктов:
1. вычисление корней полинома;
2. решение системы линейных уравнений;
3. вычисление локального минимума и максимума функции;
4. вычисление определенного интеграла.
5. решение трансцендентного уравнения;
Согласно варианту индивидуального задания требуется написать пять программ, соблюдая приведенные ниже указания к выполнению лабораторной работы:
· Для каждого пункта задания создать свой скрипт-файл.
· Написать файл-сценарий (script - файл), в котором пользовательский интерфейс оформлен в виде меню. Выбранный пункт меню определяет выполнение файла, соответствующего пункту индивидуального задания. При написании программы для реализации меню использовать встроенную функцию menu(), оператор цикла с предусловием while и функцию eval ().
· Уравнения и функции для выполнения пунктов задания № 3, 4, 5 описать в виде файлов – функций.
· Для пункта 1 при вычислении корней полинома построить график полинома и отобразить на нем найденные действительные корни. Ввод границ построения графика должен осуществляться пользователем с клавиатуры.
· Для пункта задания №2 при решении системы линейных уравнений осуществить проверку полученного решения.
· Для пункта задания №3 при поиске максимума и минимума функции построить график заданной функции в заданных границах и отобразить на нем полученные экстремумы маркерами разного цвета.
· Для пункта задания №4 при вычислении интеграла построить график подинтегральной функции, границы графика вводить с клавиатуры и закрасить площадь, ограниченную функцией на заданном отрезке
· Для пункта задания №5 при решении трансцендентного уравнения построить график функции в границах, заданных пользователем в форме диалога, и отобразить на нем значение корня уравнения цветом, отличным от цвета графика.
· На всех графиках должны быть выведены заголовки, названия осей координат. Все графики должны располагаться в одном графическом окне.
При написании программ обязательно:
· использовать комментарии, содержащие назначение программы и описание ее переменных;
· вывод результатов сопровождать пояснительным текстом.
По результатам работы должен быть представлен отчет, содержащий текст индивидуального задания, тексты script -файлов и файлов-функций, а также графическое представление результатов работы.
Варианты индивидуальных заданий
Вариант 1
1. Вычислить корни полинома
2. Найти решение системы линейных уравнений
- Найти значение локального минимума и максимума функции
- Вычислить значение определенного интеграла
- Решить трансцендентное уравнение
Вариант 2
- Вычислить корни полинома
- Найти решение системы линейных уравнений
- Найти значение локального минимума и максимума функции
- Вычислить значение определенного интеграла
- Решить трансцендентное уравнение
Вариант 3
1. Вычислить корни полинома.
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 4
1. Вычислить корни полинома.
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 5
1. Вычислить корни полинома
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 6
1. Найти корни полинома.
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 7
1. Вычислить корни полинома
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. 
Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 8
1. Вычислить корни полинома
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 9
1. Вычислить корни полинома
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Вариант 10
1. Вычислить корни полинома
2. Найти решение системы линейных уравнений
3. Найти значение локального минимума и максимума функции
4. Вычислить значение определенного интеграла
5. Решить трансцендентное уравнение
Лабораторная работа №3
Программирование в системе MAtlab
Цель работы – освоить операторы языка ML, научиться использовать их для решения ситуационных задач.
Постановка задачи – написать скрипт-файл для решения задачи из области математики или физики.
Варианты индивидуальных заданий
Вариант 1
В гелиоцентрической системе отсчета Земля движется по окружности радиуса R1=1.496*108 км (период обращения Т1=3.156*107с). Координаты Земли описываются зависимостями:
Луна в свою очередь движется вокруг Земли по окружности радиуса R 2 =3.844*105 км (период обращения T2=2.36*106c). Координаты Луны в геоцентрической системе координат :
Построить орбиты Земли и Луны в гелиоцентрической системе координат. Промоделировать, как изменится картина при других значениях R 2 и T 2 , например, при R2=3.844*107 км, Т2=2.36*105 с.
Вариант 2
Получить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики (АЧХ и ФЧХ) цифрового рекурсивного фильтра N -го порядка.
;
,
где 
;
;
;
;
и 
- весовые коэффициенты фильтра, 
- период дискретизации.
Принять -=0,001с.,N=2, 
-- изменять от 0 до .
Значения весовых коэффициентов вводить с клавиатуры:
a0=1; a1=-2,208; a2=1,208; b1=-0,848; b2=0,36
Вариант 3
В ультразвуковом дефектоскопе поисковый элемент (излучатель ультразвуковых импульсов и приемник отраженных сигналов) совершает движение из одного крайнего положения в другое крайнее положение и остановку.
Математическая модель закона изменения ускорения имеет вид:
Получить выражения для законов изменения скорости v(t) и пути S(t) и построить зависимости g( t ), v ( t ), S ( t ) для следующих исходных данных:
Вариант 4
Построить траекторию спуска космического аппарата в трехмерном пространстве.
Законы изменения составляющих ускорения имеют вид:
Путем двойного интегрирования получить законы изменения координат x( t ), y ( t ) и h ( t) для следующих начальных условий:
Исходные данные:
gxm=gym= g ;
ghm =-4 g ;
g =9,8 м/с2;
t k =5 мин;
шаг изменения времени ∆t=3c.
Воспользоваться оператором plot 3, местоположение указывать зеленой звездочкой. С помощью операторов line показать проекции точек положения космического аппарата на горизонтальную и вертикальную плоскости.
Вариант 5
Построить траекторию стартующей ракеты в трехмерном пространстве. Законы изменения координат имеют вид:
при 0 ≤t≤10
при 10< t ≤50
где
Воспользоваться оператором plot3, местоположение ракеты указывать красной звездочкой. С помощью операторов line показать проекции точек положения летательного аппарата на горизонтальную и вертикальную плоскости. Шаг изменения времени ∆ t =1 c .
Вариант 6
Изобразить интерференционную картину, получившуюся при освещении оранжевым светом с длиной волны l = 0.6 мкм плоской пластины с прижатыми к ней плосковыпуклыми линзами с радиусом кривизны выпуклой поверхности R = 5м.
Разность фаз интерферирующих волн: 
, где
r-расстояние до центра интерференционной картины.
м (шаг изменения 
м)
Яркость: 
Построить график зависимости I(r) в декартовой и полярной системах координат. Для моделирования интерференционной картины ограничить 
м и построить матрицу значений фазы 
и интенсивности отраженного света 
размера 60x60
где координаты 
и изменяются т.о.:
,
, N=60
Построить график зависимости интенсивности отраженного света от координат и карту линий одного уравнения (командой Contour)
Вариант 7
Биоритмы человека представляют собой синусоиды, выходящие из нуля в день рождения человека и имеющие периоды:
· интеллектуальный – 33 дня
· эмоциональный – 28 дней
· физический – 23 дня.
По введенной дате рождения человека построить графики его биоритмов на текущий месяц (или указанный). Выделить на нем текущий день (или указанный).
Вариант 8
Колесо электровоза, движущегося со скоростью 
, имеет радиус 
. Необходимо рассчитать и построить траекторию точки, лежащей на расстоянии 
от оси колеса. Считать, что в начальный момент времени точка находилась в самом нижнем положении. Кинематические уравнения движения точки:
Построить график на интервале 
. Указать на графике положения точки в моменты 
и 
. Изобразить вектора скорости движения точки для моментов 
и 
.
Вариант 9
Осуществить гармонический синтез пилообразного сигнала по первым 3, 6 и 15 гармоникам
Для этого суммировать 3, 6 и 15 синусоидальных сигналов соответственно. Построить графики полученных сигналов при T = 50, t =0 ÷ T
Вариант 10
В момент преодоления самолетом звукового барьера число Маха становится равным 1. Функция, определяющая число Маха:
где
v-скорость полета самолета;
H - высота полета;
Коэффициенты:
a=1222,5;
b=6,875*10-6;
c=0,3048;
d=-5,2656;
e=0,286.
Получить графики зависимости M(v) для H=500; 1000; 2000; 5000; показать уровень М=1, соответствующий достижению скорости звука.
Из условия M(v,H)=1 получить зависимость скорости преодоления звукового барьера v от высоты H. Для этого, изменяя H в диапазоне от 0 до 2,5*104, решать уравнение . M(v,H)-1=0. При решении уравнения передавать H в функцию, описывающую правую часть уравнения, как глобальное данное (командой global H). Построить график зависимости v (H), при котором M(v,H)=1
(Для сведения:
при 
;
при 
)
По результатам работы должен быть представлен отчет, содержащий текст индивидуального задания, тексты script -файлов и файлов-функций, а также графическое представление результатов работы.
Контрольные вопросы.
1. Каково назначение системы MATLAB?
2. В каких режимах может выполняться работа в системе ML?
3. В виде каких файлов хранится большинство команд и функций системы ML?
4. Опишите структуру окна рабочей среды ML.
5. Для чего в ML используют клавиши управления и ¯?
6. Что является элементарной единицей данных языка ML?
7. Как записываются действительные числа в ML ?
8. Какими командами можно получить информацию о данных, хранящихся в рабочем пространстве?
9. Какие форматы вывода числовых данных в ML вы знаете?
10. Как изменить формат вывода результатов вычисления в ML?
11. Как в системе ML определяется тип переменных?
12. Назовите правила составления имен переменных.
13. Какие основные системные переменные существуют в ML?
14. Какие операции существуют в ML?
15. Назовите операции ML в порядке убывания приоритета.
16. Как представляются вектора и матрицы в ML?
17. Как записываются и чем отличаются матричные и поэлементные операции в ML?
18. Назовите способы задания векторов в ML.
19. Как обратиться к элементам векторов и матриц?
20. Для чего используется функция length()?
21. Как обратиться к последнему элементу вектора?
22. Какими командами формируются особые матрицы?
23. Для чего используется символ двоеточие (:), символ точка с запятой (;) и символ многоточие (…)?
24. Для чего используются [], ()?
25. Какие функции используются для обработки векторов и матриц?
26. Какие команды используются для построения графиков функции одной переменной? В чем их различия?
27. Какие команды используются для построения графиков функции двух переменных? В чем их различия?
28. Каков порядок действий для построения графика функции вида y=f(x)?
29. Каков порядок действий для построения графика функции вида z = f ( x , y )?
30. Как построить несколько графиков в одних координатных осях?
31. Как можно управлять внешним видом графика?
32. Каким образом можно вывести несколько графиков в разных координатных осях в одном окне?
33. Какие средства предоставляет система ML для построения диаграмм?
34. Как задается полином?
35. Чему равно число элементов в векторе, определяющем полином?
36. Что такое m-файлы?
37. Какие виды m-файлов вы знаете? Чем они отличаются?
38. Каковы правила записи команд в m-файлах?
39. Как создать m-файл?
40. Как вызывается файл-программа в ML?
41. Какова структура файла-функции в ML?
42. Как вызывается файл-функция в ML?
43. Как описать функцию с несколькими входными и выходными параметрами?
44. Какой командой можно ввести данные с клавиатуры в ML ?
45. Какой командой можно вывести данные на монитор в ML?
46. Какие операторы цикла существуют в ML?
47. Какие операторы используются для организации ветвлений в ML?
48. Для чего используются функции menu и eval?
49. Для чего используются команды break , return и exit?
50. Какие команды используются для организации диалога в ML?
51. Что означает знак %?
52. Почему в системе ML вместо циклов рекомендуется использовать соответствующие векторные и матричные операции?
53. Напишите программу вычисления косинуса 101 значения аргумента от 0 до 10 двумя разными способами.
Библиографический список
1. Hunt, Brian R. Matlab: официальный учебный курс Кембриджского университета. – М.: Триумф, 2008.- 352с.
2. Алексеев Е.Р., Чеснокова О. В. MATLAB 7 (Самоучитель). – М.: NT Press, 2006. – 464с.
3. Курбатова Е. А., Matlab 7, самоучитель.- М.:, Диалектика, 2006. - 256с.
Содержание
Предисловие. 4
Назначение Matlab. 4
Интерфейс Matlab 6.5. 5
Вычисления в ML.. 11
Особенности ввода команд и данных. 11
Элементы данных в ML.. 12
Форматы представления результатов вычислений. 12
Переменные в ML.. 14
Задание векторов и матриц. 16
Способы задания векторов. 16
Задание матриц. 18
Операции в ML.. 19
Приоритет операций в ML.. 22
Элементарные функции. 22
Особые матрицы.. 23
Операции с векторами и матрицами. 26
Выполнение операций с векторами. 26
Выполнение операций над матрицами. 28
Специальные функции для матриц. 33
Действия с элементами матрицы.. 33
Функции, используемые для работы с векторами и матрицами. 39
Действия с полиномами (многочленами) 45
Графика в ML.. 47
Построение простейших графиков. 47
Вывод нескольких графиков в одном окне. 53
Диаграммы.. 55
Построение графиков в полярных координатах. 59
Трехмерная графика. 61
Программирование в ML.. 67
Операторы языка. 68
Операторы ввода/вывода. 69
Операторы цикла и условные операторы. 70
Оператор цикла с предусловием.. 73
Условный оператор. 74
Оператор переключения (выбора) 76
Встроенные функции eval и menu. 77
Создание и использование m-файлов. 79
Script-файлы.. 80
Файлы-функции. 81
Отличия файла-функции от Scipt-файла: 83
Использование файлов- функций. 84
Построение графика. 84
Вычисление интеграла. 85
Решение трансцендентных уравнений. 88
Нахождение минимума функции на заданном отрезке. 89
Решение систем дифференциальных уравнений. 90
Лабораторная работа №1 Знакомство с пакетом Matlab. решение простейших задач в системе Matlab. 93
Лабораторная работа №2 Решение типовых вычислительных задач в системе Matlab 101
Лабораторная работа №3 Программирование в системе Matlab. 109
Контрольные вопросы. 116
Библиографический список. 118
Решение задач в системе Matlab.
Составители: Лазарева Татьяна Ильинична, Мартынова Ирина Владимировна, Ракова Ирина Константиновна .
Редактор Г. М. Звягина
Подписано в печать __.__.2012. Формат 60х84/16.
Бумага документная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. ___ .
Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №
Балтийский государственный технический университет
Типография БГТУ
190005, С.-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1
Дата: 2019-02-02, просмотров: 386.
