Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
© 2018 - 2024
Операции с матрицами, как и с векторами, могут выполняться поэлементно, а могут – по правилам матричной алгебры. Операции, выполняемые в ML с матрицами:
· Транспонирование матрицы. Операция обозначается символом апостроф ( ' ).
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B=A'
B =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
· Сложение и вычитание матриц
Размер матриц должен быть одинаковым. При выполнении этих операций производится поэлементное сложение и вычитание.
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B=[1 4 7;2 5 8;3 6 0]
B =
1 4 7
2 5 8
3 6 0
>> C=A+B
C =
2 6 10
6 10 14
10 14 9
>> D=A-B
D =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 9
· Умножение матриц.
При умножении A * B должно выполняться условие: число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B .
A(n, m) * B(m, k) → C(n, k)
Элементы результирующей матрицы вычисляются по правилу: каждый элемент строки матрицы A умножается на соответствующий элемент столбца матрицы B , затем произведения складываются, и получается один элемент матрицы С.
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B=[1 4 7;2 5 8;3 6 0]
B =
1 4 7
2 5 8
3 6 0
>> C=A*B
C =
14 32 23
32 77 68
50 122 113
Матрицу можно умножать на число. В результате получим матрицу, в которой каждый элемент получается умножением элемента исходной матрицы на это число.
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>>C = A * 2
C =
2 4 6
8 10 12
14 16 18
Если надо, чтобы действия производились поэлементно, то перед знаком операции ставится точка.
Создадим две матрицы: одну - единичную, вторую А=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9].
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> Е=eye(3)
Е =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> B=A*Е
B =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Матрица В получена в результате матричного умножения матриц А и Е.
>> C=A .*Е
C =
1 0 0
0 5 0
0 0 9
Матрица С получена в результате поэлементного умножения матриц А и Е.
Пусть заданы 2 матрицы C и D одинакового размера.
>> C=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> D=[2 3 4; 1 2 3; 4 5 6];
>> Y=C.*D
Y =
2 6 12
4 10 18
28 40 54
· Деление (правое и левое)
В ML имеется две разновидности операции деления матриц – правое деление (/) и левое деление (\)
В случае с числами 2/3 в ML трактуется как результат деления 2 на 3.
2 \ 3 соответствует результату деления 3 на 2.
С векторами и матрицами происходит иначе.
Пусть A — матрица, а Х — вектор. А * Х = В и Х * А = В — разные уравнения.
Для решения уравнения Х * А = В- используется обычное деление
Х = B / A = В *А-1
Для решения уравнения А * Х = В - используется обратное деление
Х = А \ В = А-1 * В
Операция обратного деления используется для решения системы линейных уравнений. Например,
2x1 + 3x2 = 11
3x1 – 4x2 = 8
A — матрица коэффициентов левой части.
B — вектор правых частей.
Решается уравнение вида A*X=B
>> A=[2 3;3 -4];
>> B=[11 8 ];
>> Х=A\B'
Х =
4.0000
1.0000
Для проверки можно выполнить умножение A*X
>> A*X
ans =
11.0000
8.0000
В результате получили вектор правых частей, что доказывает правильность найденного решения.
Специальные функции для матриц
В ML существует множество специальных функций линейной алгебры. Приведем некоторые из них:
det ( A ) – вычисляет определитель (детерминант) матрицы.
inv ( A ) – вычисляет инверсную (обратную) матрицу.
Обратной для квадратной невырожденной (когда детерминант не равен нулю) матрицы А называется матрица А-1, которая при умножении на матрицу А справа и слева даёт единичную матрицу. B называется обратной А, если выполняется АВ=ВА=Е (единичная матрица).
eig ( A ) – определение собственных чисел (характеристических чисел);
norm ( A , 1) – норма матрицы – наибольшая сумма модулей элементов столбцов;
norm ( A , inf ) – наибольшая сумма модулей элементов строки;
trace ( A ) – след матрицы (сумма элементов главной диагонали).
Действия с элементами матрицы
Обращение к элементу осуществляется заданием имени, за которым в круглых скобках через запятую указываются индексы - номера строки и столбца.
Если указать A (2,1), то выберется элемент второй строки первого столбца.
Можно выделить часть матрицы. Это делается с помощью символа двоеточие (:).
Пусть задана матрица:
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Если двоеточие стоит вместо номера строки или столбца, то соответственно выделяются столбец или строка.
Получим 3-ий столбец матрицы А
>> B=A(:,3)
B =
3
6
9
Получим 3-ю строку матрицы А
>> X=A(3,:)
X =
7 8 9
Дата: 2019-02-02, просмотров: 300.