Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Подвижную систему прибора можно представить в виде колебательной системы, состоящей из массы m, упругого элемента с жесткостью с и успокоителя с коэффициентом успокоения k.

Подвижная система 1 выведена из равновесия и совершает колебания относительно неподвижного корпуса 2.

 

рис.1.

Уравнение движения подвижной системы с линейным движением успокоителя имеет вид:        ,           (1)

где  - смещение массы относительно положения равновесия,

- инерционная сила,

 - сила успокоения,

cx – сила упругости,  

F _тр  - сила сухого трения, 

 F _внеш - сила внешнего воздействия.

Силу сухого трения F _тр подбором опор подвижной системы минимизируют, так как она снижает чувствительность прибора. Поэтому при решении уравнения (1) силой F _тр можно пренебречь. Внешнюю силу F _внеш можно уменьшить с помощью амортизаторов или она может просто отсутствовать.

Тогда уравнение приобретает вид:

.                    (2)

При отсутствии успокоения (с = 0) решение уравнения имеет вид:

,

где   - частота собственных колебаний.

В приведенном виде уравнение (2) имеет вид:

Обозначим k / m =2ε и .

 Тогда уравнение собственных колебаний подвижной системы можно записать в виде:

,                                          (3)

где ε - половина удельного коэффициента успокоения.

Решение уравнения:

,

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

При анализе решения (3) рассмотрим три случая:

· ε = ω₀ - критическое успокоение;

· ε > ω₀ - лимитационное движение;

· ε < ω₀ - колебательное движение.

 

Для сравнения движения механической системы ПУ с использованием успокоителя и движения прибора в режиме критического успокоения вводится параметр степень успокоения:

D = k / k _кр =ε/ε_кр= ε/ ω_0.

   Степенью успокоения называют величину, равную отношению системы прибора k , который имел бы место быть при режиме критического успокоения той же системы k_кр. В точных приборах в основном применяется режим со степенью успокоения меньше единицы.

В этом случае (D<1 или ε < ω₀₎ решение уравнения (3 )(рис.1):

x= x₀e^-εtsin(Θt+γ),

где Θ=(ω₀²-ε²)^-2, x₀ - начальный размах колебаний;

 - начальная фаза колебаний; Т  - период успокоения, Т=2π/Θ.

 

Как видно из графика, свободные колебания затухают по закону экспоненты. Очевидно, что чем сильнее успокоение в системе, тем интенсивнее уменьшается размах колебаний, т.е. тем скорее «успокаивается» система. Затухание колебаний можно характеризовать коэффициентом затуханий колебаний или декрементом (убавлением) колебаний .

Декремент затухания , которым называют отношение предыдущей амплитуды  колебания к последующей , т.е.

.

Наряду с декрементом затухания  в расчетах используют логарифмический декремент затухания

.

Связь декремента колебаний со степенью успокоения:

 .

 

 Как другой пример, рассмотрим работу электроизмерительного прибора, схема  которого приведена на рисунке .

 

 

рис. 2

К виткам обмотки на рамке с помощью подвижных контактов подается напряжение. При взаимодействии рамки с обмоткой и магнитного поля от постоянного магнита, рамка поворачивается. Рамка имеет момент инерции Ј. Уравнение движения подвижной части прибора на основании принципа Д’Аламбера можно записать в следующем виде:

(1)

где α – угол поворота подвижной системы;

M _внеш – внешний момент, действующий на подвижную систему;

M _тр – момент трения в подвижной системе;

c ·α – противодействующий момент со стороны пружины;

c – жесткость пружины;

 – момент сил инерции или инерционный момент;

Ј – момент инерции подвижной системы относительно оси вращения;

 – момент, создаваемый успокоителем;

k – коэффициент успокоения (численно равный моменту успокоения, при угловой скорости подвижной системы ).

Рассмотрим 2 частных случая движения механической системы при M _внеш = 0, М_тр = 0, (рис. ).

Случай 1

Допустим, что в ПУ не установлен успокоитель, тогда уравнение примет вид:

 или

Решение уравнения имеет вид:

,

(2)

 

где α₀ – угол отклонения системы от начального положения равновесия
при t = 0 и ;  – круговая частота собственных колебаний.

Из выражения (2) видно, что если систему вывести из состояния равновесия на угол α₀, то она будет совершать незатухающие колебания по косинусному закону. График приведен на рисунке 3.

 

рис. 3

 

Период собственных незатухающих колебаний равен:

Очевидно, что чем больше момент инерции J и меньше жесткость упругого элемента c, тем больше Т₀.

Частота собственных незатухающих колебаний будет в этом случае равна:

Наибольшее отклонение системы за период Т₀ - амплитуда колебаний равная .

 

Случай 2

Рассмотрим случай, когда успокоитель в ПУ установлен. Тогда уравнение (1) будет иметь вид

(3)

Характер движения подвижной системы прибора полностью определяется степенью успокоения (демпфирования)  и круговой частотой собственных колебаний . Величина определяется по формуле:

– степень успокоения (демпфирования)

Если умножить на :

,

то коэффициент успокоения k можно записать как:

.

Тогда, в приведенном виде исходное уравнение (3) имеет вид:

или

Рассмотрим влияние  и на характер движения подвижной системы рассмотрев три варианта: ; ; .

1. При решение имеет вид:

(4)

Из решения (4) видно, что с течением времени амплитуда колебаний будет убывать, т.е. колебания будут затухающими (рис. 4).

 

рис. 4

Установившейся считают подвижную систему, если колебания относительно положения равновесия не превосходят малой наперед заданной величины , измеряемой в радианах. Для упрощения введен коэффициент , характеризующий относительную точность установки системы в положение равновесия.

Время в течение, которого подвижная система приходит в положение равновесия, называют временем успокоения .

Из сравнения выражений (2) и (4) следует, что введение в систему успокоителя изменило частоту колебаний системы:

Таким образом, при  период  и по мере приближения  к единице, период  приближается к бесконечности, а колебания системы к апериодическому движению.

Для определения быстроты затухания колебаний вводится дополнительно характеристика - декремент затухания , которым называют отношение предыдущей амплитуды  колебания к последующей , т.е.

.

Наряду с декрементом затухания  в расчетах используют логарифмический декремент затухания .

2. При  решение примет вид:

(5)

Режим колебаний при называется критическим режимом. В этом режиме в системе нет колебаний, и она долго подходит к положению равновесия (кривая 1 на рис. 5).

рис. 5

 

 

3. Решение при .

В этом случае также нет колебаний в системе, но система будет еще медленнее приближаться к положению равновесия (кривая 2 на рис. 5). В целом движение системы при  и  к положению равновесия называется апериодическим. Вывод: чем больше , тем медленнее система движется к состоянию покоя.

Вернемся к случаю, когда  - это наиболее часто встречающийся на практике случай.

Подставив значение Т в выражение для , получаем:

Из этого выражения видно, что, задаваясь величиной степени успокоения , можно определить декремент затухания , а случае когда в приборе необходимо обеспечить определенный декремент затухания , то необходимая величина степени успокоения  может быть подсчитана по формуле:

При расчете времени успокоения  чаще всего пользуются коэффициентом .

Время успокоения подсчитывается по формуле:

или

Итак, для расчета успокоителя должны быть заданы , J , c, .