Тригонометрические функции половинного аргумента

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Часто бывает необходимо, зная тригонометрические функции аргумента а, найти тригонометрические функции аргумента . Выведем соответствующие формулы. Мы имеем

Присоединим к этой формуле основное тригонометрическое тождество:

Сложив почленно (119.8) и (121.1), получим

Вычитая (119.8) из (121.1), получим

Из тождеств (121.2) и (121.3) соответственно имеем

Разделив почленно тождество (121.3) на (121.2), приходим к тождеству

Из последнего тождества имеем

Применяя формулы (121.4), (121.5) и (121.7), следует всякий раз заботиться о знаке, который нужно взять перед радикалом.

Для вычисления могут быть использованы и формулы, выражающие через cosa и sina рационально. Выведем эти формулы:

Итак,

Так как всегда имеет смысл только при то из (121.8) можно заключить, что знак во всех случаях совпадает со знаком sina.

Итак,

Из последней формулы также ясно, что знак совпадает со знаком sina, ибо всегда

Пример 1. Найти Решение. Мы знаем, что Следовательно, применяя формулы (121.5), (121.4) и (121.9), получим

Пример 2. Дано: где Найти

Решение. Сначала находим

Так как

Применяя формулы (121.5), (121.4) и беря в них радикалы с соответствующими знаками, получим

Пример 3. Доказать тождество .

Решение. Так как , то достаточно доказать, что . На основании формул приведения и (99.2) имеем

Применяя формулу (121.2), получим

Далее получаем

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Величины углов, аргументы функций: α, β Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα

1. Сумма синусов
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα−β2

2. Разность синусов
sinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2

3. Сумма косинусов
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2

4. Разность косинусов
cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2

5. Сумма тангенсов
tanα+tanβ=sin(α+β)cosα⋅cosβ

6. Разность тангенсов
tanα−tanβ=sin(α−β)cosα⋅cosβ

7. Сумма котангенсов
cotα+cotβ=sin(β+α)sinα⋅sinβ

8. Разность котангенсов
cotα−cotβ=sin(β−α)sinα⋅sinβ

9. Сумма косинуса и синуса
cosα+sinα=√2cos(π4−α)=√2sin(π4+α)

10. Разность косинуса и синуса
cosα−sinα=√2sin(π4−α)=√2cos(π4+α)

11. Сумма тангенса и котангенса
tanα+cotβ=cos(α−β)cosα⋅sinβ

12. Разность тангенса и котангенса
tanα−cotβ=−cos(α+β)cosα⋅sinβ

13. 1+cosα=2cos2α2

14. 1−cosα=2sin2α2

15. 1+sinα=2cos2(π4−α2)

16. 1−sinα=2sin2(π4−α2)

13Связи между тригонометрическими функциями одного угла

sin²α + cos²α = 1

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Формула	Название формулы
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β	Синус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β	Синус разности
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β	Косинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β	Косинус разности
	Тангенс суммы
	Тангенс разности

Тригонометрические функции двойного угла

Формула	Название формулы
sin 2α = 2 sin α cos α	Синус двойного угла
cos 2α = cos ²α – sin²α cos 2α = 2cos ²α – 1 cos 2α = 1 – 2sin ²α	Косинус двойного угла
	Тангенс двойного угла

Дата: 2018-12-28, просмотров: 197.

⇐ Предыдущая 1 23