Основные свойства функций
1. Четность и нечетность
Функция y=f(x)называетсячетной, если" х Î D(f)выполняются условия:--х Î D(f)иf(-х) =f(х);нечетной, если" х Î D(f)выполняются условия: х Î D(f)иf(-х)= f(х).
При этом D(f)называетсясимметричнойотносительно О(0;0). График четной функции симметричен относительно Оу, а график нечетной – относительно О(0;0).
2. Монотонность
Функция называется возрастающейна промежуткеI Î D(f), если 
выполняется условие: 
инеубывающей, если 
. Функция называетсяубывающейна промежуткеI Î D(f), если 
выполняется условие: 
иневозрастающей, если 
.
Например,fубывает прих Î (a;b), не убывает прих Î (b;с)и возрастает прих Î (с;d)
Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке I Î D(f)называютсямонотоннымина этом промежутке, а возрастающие и убывающие –строго монотонными.
3. Ограниченность
Функция называется ограниченнойна множествеD(f), если существует такое число М>0, что" х Î D(f)выполняется неравенство 
. Или коротко:
если 
.
Графики таких функций ограничены прямыми 
. Например,у=sin x ограничена прямыми 
.
6
4. Периодичность
Функция называется периодическойна множествеD(f), если существует такое числоT>0, что" х Î D(f)значение(х+Т) Î D(f)иf(x+T)=f(x).
Число Т называется периодомфункции. Если Т – период, тоnTтакже является периодом, гдеn=±1;±2;…
Например, функция у=sin x является периодической, т.к." x Î D(f) sin(x+2π)=sin x. Аналогично можно доказать, что ±2π; ±4π; ±6π;… также являются периодами. Период 2π являетсянаименьшим положительными называетсяосновным.
Основные тригонометрические функции
Содержание
[развернуть]
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике 
Править
Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла α, возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол α. Стороны этого треугольника мы будем называть так:
§ Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона c.
§ Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет a — противолежащий по отношению к углу A.
§ Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет b — прилежащий по отношению к углу A.
Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна π.Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между 0 и π2. Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.
Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinα=ac. Это отношение не зависит от выбора треугольника ABC, содержащего угол α, так как все такие треугольники подобны.
Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cosα=bc. Так как sinβ=bc, синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.
Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgα=ab.
Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgα=ba. Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.
Се́канс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: secα=cb.
Косе́канс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosecα=ca.
Из определений тригонометрических функций следует:
a=csinα,
b=ccosα,
a=btgα,
b=actgα,
c=bsecα,
c=acosecα,
и симметрично:
b=csinβ,
a=ccosβ,
b=atgβ,
a=bctgβ,
c=asecβ,
c=bcosecβ.
Определение тригонометрических функций через окружность Править
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OA поворачивается на произвольный угол ϑ вокруг центра O.
Синусом угла ϑ называется отношение ординаты точки A к длине отрезка OA. Обозначают sinϑ=ACOA.Так как длина отрезка OA равна 1, то sinϑ=AC.
Косинусом угла ϑ называется отношение абсциссы точки A к длине отрезка OA. Обозначают cosϑ=OCOA. Так как длина отрезка OA равна 1, то cosϑ=OC.
Тангенсом угла ϑ называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают tgϑ=ACOC(в англоязычной литературе tanϑ). Так как AC=sinϑ и OC=cosϑ, то tgϑ=sinϑcosϑ.
Котангенсом угла ϑ называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают ctgϑ=OCAC (в англоязычной литературе cotϑ). Так как AC=sinϑ и OC=cosϑ, то ctgϑ=cosϑsinϑ.Котангенс равен обратному значению тангенса: ctgϑ=1tgϑ.
Секансом угла ϑ называется отношение длины отрезка OA к абсциссе точки A. Обозначают secϑ=OAOC.Так как длина отрезка OA равна 1, то secϑ=1OC. Секанс равен обратному значению косинуса: secϑ=1cosϑ.
Косекансом угла ϑ называется отношение длины отрезка OA к ординате точки A. Обозначают cosecϑ=OAAC (в англоязычной литературе cscϑ). Так как длина отрезка OA равна 1, то cosecϑ=1AC.Косеканс равен обратному значению синуса: cosecϑ=1sinϑ.
Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.
Определение тригонометрических функций через ряды Править
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов:
sinx=x−x33!+x55!−x77!+x99!+⋯=∑∞n=0(−1)n x2n+1(2n+1)!,
cosx=1−x22+x44!−x66!+x88!+⋯=∑∞n=0(−1)n x2n(2n)!.
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями tgx=sinxcosx, ctgx=cosxsinx, secx=1cosx и cosecx=1sinx, можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:
tgx=x+x33+2x515+17x7315+62x92835+⋯=∑∞n=1(−1)n−122n(22n−1)B2n(2n)!x2n−1(−π2<x<π2),где B n — числа Бернулли.
secx=1+x22+5x424+61x6720+277x88064+⋯=∑∞n=0(−1)n E2n(2n)!x2n, где E n — числа Эйлера.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов Править
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.
| α | 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) |
| sinα | 0 | 12 | 2√2 | 3√2 | 1 | 0 | −1 |
| cosα | 1 | 3√2 | 2√2 | 12 | 0 | −1 | 0 |
| tgα | 0 | 13√ | 1 | 3√ | ∞ | 0 | ∞ |
| ctgα | ∞ | 3√ | 1 | 13√ | 0 | ∞ | 0 |
| secα | 1 | 23√ | 2√ | 2 | ∞ | −1 | ∞ |
| cosecα | ∞ | 2 | 2√ | 23√ | 1 | ∞ | −1 |
Значения тригонометрических функций нестандартных углов Править
sinπ10=sin18∘=5√−14tgπ120=tg1.5∘=8−2(2−3√)(3−5√)√−2(2+3√)(5+5√)√8+2(2−3√)(3−5√)√+2(2+3√)(5+5√)√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷
cosπ240=116(2−2+2√−−−−−−√−−−−−−−−−−√(2(2+5√)−−−−−−−−√+3√−15−−√)+2+2√−−−−−−√+2−−−−−−−−−−√(6(5+5√)−−−−−−−−√+5√−1))
cosπ17=182⎛⎝⎜217(17−17−−√)2−−−−−−−−−−−√−17−17−−√2−−−−−−−−√−434+217−−√−−−−−−−−−√+317−−√+17−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷+34−217−−√−−−−−−−−−√+17−−√+15⎞⎠⎟−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷
Свойства тригонометрических функций Править
Функция y = cos x — чётная. Функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x — нечётные, то есть:
sin(−x)=−sinx,
cos(−x)=cosx,
tg(−x)=−tgx,
ctg(−x)=−ctgx.
Для острых углов α<π2 справедливо:
sin(π2−α)=cosα,
cos(π2−α)=sinα,
tg(π2−α)=ctgα,
ctg(π2−α)=tgα.
Для углов 0<α<π справедливо:
sin(π−α)=sinα,
cos(π−α)=−cosα,
tg(π−α)=−tgα,α≠π2.
Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора:
(AB)2+(BO)2=(OA)2,
если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть
sin2α+cos2α=1.(1)
Если разделить выражение (1) на cos2α, то получим следующее тождество:
1+tg2α=1cos2α.(2)
Если разделить выражение (1) на sin2α, то получим следующее тождество:
1+1tg2α=1sin2α,(3)
или
1+ctg2α=1sin2α.(4)
Производные и интегралы Править
Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:
(sinx)′=cosx,
(cosx)′=−sinx,
(tgx)′=1cos2x,
(ctgx)′=−1sin2x.
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
История Править
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
· 6sin(t + 2π*k) = sin(t)
· cos(t + 2π*k) = cos(t)
· sin(t + π) = -sin(t)
· cos(t + π) = -cos(t)
· sin(t + π/2) = cos(t)
· cos(t + π/2) = -sin(t)
· tg(t + π*k) = tg(x)
· ctg(t + π*k) = ctg(x)
формул привидения очень много, давайте составим правило по которому будем определять наши тригонометрические функции при использовании формул привидения:
· Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π + t, π - t, 2π + t и 2π - t, то функция не изменится, то есть, например, синус останется синусом, котангенс останется котангенсом.
· Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t и 3π/2 - t, то функция изменится на родственную, т. е. синус станет косинусом, котангенс станет тангенсом.
· Перед получившийся функцией, надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии 0 < t < π/2.
Эти правила применимы и когда аргумент функции задан в градусах!
Так же мы можем составить таблицу преобразований тригонометрических функций:
Примеры применения формул приведения
1.Преобразуем cos(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим cos(t). Далее предположим, что π/2 < t < π, тогда (π + t) попадет в третью четверть, а там косинус отрицательный, согласно третьему пункту нашего правила, следует поставить минус перед нашей функцией: cos(t + π) = -cos(t)
2. Преобразуем sin(π/2 + t). Наименование функции изменяется, т.е. получим cos(t). Далее предположим что 0 < t < π/2, тогда (π/2 + t) попадет во вторую четверть, а там преобразуемая функция синус положительная, согласно третьему пункту нашего правила, следует поставить положительный знак перед нашей функцией:
sin(t + π/2) = cos(t)
3. Преобразуем tg(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим tg(t). Далее предположим, что 0 < t < π/2, тогда (π - t) попадет во вторую четверть, а там тангенс отрицательный, согласно третьему пункту нашего правила следует поставить минус перед нашей функцией: tg(t - π) = -tg(t)
4. Преобразуем ctg(2700 + t). Наименование функции изменяется, то есть получим tg(t). Далее предположим что 0 < t < 900, тогда (2700 + t) попадет в четвертую четверть, а там преобразуемая функция котангенс отрицательная, согласно третьему пункту нашего правила следует поставить минус перед нашей функцией: ctg(2700 + t)=-tg(t).
Задачи с формулами приведения для самостоятельного решения
Ребята, преобразуйте самостоятельно, используя наши правила:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
8Название модуля: преобразование графиков тригонометрических функций.
Интегрирующая дидактическая цель: отработать навыки построения графиков тригонометрических функций.
Целевой план действий для учащихся:
· повторить основные свойства тригонометрических функций;
· отработать навык преобразования графиков тригонометрических функций;
· способствовать развитию логического мышления;
· воспитывать интерес к изучению предмета.
Банк информации.
Входной контроль.
Назовите свойства функций y = sin x (рис. 1).
Рис. 1
Свойства:
1. D(y)=R
2. E(y)=[-1;1], функция ограничена
3. sin(-x)=-sinx, функция нечётная
4. Наименьший положительный период: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R.
5. sin x=0 при x=πk, kЄ Z
6. sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z
7. sin x<0, x Є(π+2πk; 2π+2πk), k Є Z
8. Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z.
9. Наименьшее значение, равное -1, y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
Рассмотрим график фукции y= cos x (рис. 2).
Рис. 2
Свойства:
1. D (y)=R
2. E (y)=[-1;1], функция ограничена
3. cos(-x)= cos x, функция чётная
4. Наименьший положительный период: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R
5. cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ
6. cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z
7. cos x<0, x Є (π/2+2πk; 3π/2+2πk), k Є Z
8. Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z.
9. Наименьшее значение, равное -1, y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z.
Cледующий график функции y=tg x (рис. 3)
Риc. 3
Свойства:
1. D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=π/2 +πk, k Є Z
2. E(y)=(-∞;+ ∞), функция неограниченная
3. tg(-x)=-tg x, функция нечётная
4. наименьший положительный период: π
tg(x+π)= tg x
5. tgx= 0 при x=πk, k Є Z
6. tg x> 0, x Є ( πk; π/2+πk), k Є Z
7. tg x< 0, x Є ( -π/2+πk; πk), k Є z
Следующий график функции y=ctg x (рис. 4)
Рис. 4
Свойства:
1. D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=πk, k Є Z
2. E(y)= (-∞;+ ∞), функция неограниченная
3. ctg(-x)=-ctg x, функция нечётная
4. Наименьший положительный период: π
ctg(x+π)=tg x
5. ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z
6. ctg x>0, x Є( πk; π/2+πk), k Є Z
7. ctg x<0, x Є( - π/2+πk; πk), k Є Z
Объяснение материала.
1. Для построения графика функции y=f(x)+a, где a - постоянное число, надо перенести график y=f(x)вдоль оси ординат. Если a>0, то график переносим параллельно самому себе вверх, если a < 0, то – вниз.
2. Для построения графика функции y=kf(x) надо растянуть график функции y=f(x) в k раз вдоль оси ординат. Если |k|>1, то происходит растяжение графика вдоль оси OY, если 0<|k|<1, то – сжатие.
3. График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс. Если b>0 , то график перемещается влево, если b<0, то – вправо.
4. Для построения графика функции y=f(kx) надо растянуть график y=f(x) вдоль оси абсцисс. Если |k|>1, то происходит сжатие графика вдоль оси OХ, если 0<|k|<1 , то – растяжение.
Закрепление материала.
Уровень А
Частная дидактическая цель: отработать навык построения тригонометрических функций путем преобразований.
Методический комментарий для учащихся: постройте графики функций, выполнив преобразования.
1. 
График функции 
получается из графика 
путем растяжения вдоль оси Ox в 3 раза.
2. 
График функции получается из графика 
путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.
3. 
График функции 
получается из графика 
путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
4. 
График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль осиабсцисс на 
единиц влево.
5. 
Г 
рафик функции получается из графика 
путем сжатия вдоль оси Oy в 4 раза.
Уровень В.
Частная дидактическая цель: отработать навык построения графиков тригонометрических функцийпутем последовательного применения преобразований.
Методический комментарий для учащихся: постройте графики функций, выполнив преобразования.
1. 
График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль осиабсцисс на 
единиц вправо.
2. 
График функции получается из графика функции 
путем последовательного выполнения следующих преобразований:
1) параллельный перенос на 
единицы влево вдоль оси абсцисс
2) сжатие вдоль оси Оy в 4 раза.
3. 
График функции получается из графика функции , каждая ордината которого изменяется в -2 раза. Для этого выполняем следующие преобразования:
1) отображаем симметрично относительно оси Ox,
2) растягиваем в 2 раза вдоль оси Oy.
4. 
График функции получается из графика функции 
последовательноговыполнения следующих преобразований:
1) сжатие вдоль оси абсцисс в 2 раза;
2) растяжение в 3 раза вдоль оси Oy;
3) параллельный перенос на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
Уровень С.
Частная дидактическая цель: отработать навык построения графиков тригонометрических функцийпутем последовательного применения преобразований.
Методический комментарий для учащихся: укажите, какие преобразования нужно выполнить дляпостроения графиков. Постройте графики.
1. 
График функции по лучается из графика функции 
путем последовательного выполнения следующих преобразований:
1) отображение симметрично относительно оси Ox,
2) сжатие в 2 раза вдоль оси Oy;
3) параллельный перенос на 2 единицы вниз вдоль оси Оy.
2. 
График функции получается из графика функции 
последовательноговыполнения следующих преобразований:
1) параллельный перенос вдоль оси абсцисс на 
единиц влево,
2) растяжение в 5 раза вдоль оси Oy.
3 
. 
График функции получается из графика функции последовательноговыполнения следующих преобразований:
1) растяжение вдоль оси абсцисс в 2 раза;
2) параллельный перенос на 
единиц влево вдоль оси абсцисс.
3) растяжение в 2 раза вдоль оси Oy.
4. 
Так как cos (-x)=cos x, следовательно, y= cos x - чётная функция, значит, график функции тот же, что и график функции y= cos x.
5. 
График функции получается из графика функции .Части графика функции , расположенные ниже оси абсцисс, зеркально отразятся и будут распо 
ложены в верхней полуплоскости.
Основные свойства функций
1. Четность и нечетность
Функция y=f(x)называетсячетной, если" х Î D(f)выполняются условия:--х Î D(f)иf(-х) =f(х);нечетной, если" х Î D(f)выполняются условия: х Î D(f)иf(-х)= f(х).
При этом D(f)называетсясимметричнойотносительно О(0;0). График четной функции симметричен относительно Оу, а график нечетной – относительно О(0;0).
2. Монотонность
Функция называется возрастающейна промежуткеI Î D(f), если выполняется условие: инеубывающей, если . Функция называетсяубывающейна промежуткеI Î D(f), если выполняется условие: иневозрастающей, если .
Например,fубывает прих Î (a;b), не убывает прих Î (b;с)и возрастает прих Î (с;d)
Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке I Î D(f)называютсямонотоннымина этом промежутке, а возрастающие и убывающие –строго монотонными.
3. Ограниченность
Функция называется ограниченнойна множествеD(f), если существует такое число М>0, что" х Î D(f)выполняется неравенство . Или коротко:
если .
Графики таких функций ограничены прямыми . Например,у=sin x ограничена прямыми .
6
4. Периодичность
Функция называется периодическойна множествеD(f), если существует такое числоT>0, что" х Î D(f)значение(х+Т) Î D(f)иf(x+T)=f(x).
Число Т называется периодомфункции. Если Т – период, тоnTтакже является периодом, гдеn=±1;±2;…
Например, функция у=sin x является периодической, т.к." x Î D(f) sin(x+2π)=sin x. Аналогично можно доказать, что ±2π; ±4π; ±6π;… также являются периодами. Период 2π являетсянаименьшим положительными называетсяосновным.
Применение функций в экономике
Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Наиболее часто используются следующие функции:
1.Функция полезности (функция предпочтений) – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2.Производственная функция зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3.Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.
4.Функция издержек (частный вид производственной функции) –зависимость издержек производства от объёма продукции.
5.Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).
Например, исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода можно установить уровни доходов 
, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения 
для групп товаров первой и второй необходимости. (см. рис.1)
Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис.2)
Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же), например, задаваемые в виде xy=U, и линию бюджетного ограничения 
при ценах благ 
и доходе потребителяI, мы можем установить оптимальные количества благ 
, имеющих максимальную полезность 
(см. рис.3).
7
Предметы роскоши
Товары 2-ой необходимости
Товары 1-ой необходимости
рис.1
рис.2
рис.3 рис.4
Рассматривая функции издержек (полных затрат) с(q) и дохода фирмы r(q), мы можем установить зависимость прибыли π(q)=c(q)-r(q) от объёма производства q (см. рис.4) и выявить уровни объёма производства, при которых производство продукции убыточно (0<q<q 
) и приносит прибыль 
, дает максимальный убыток (q=q 
) и максимальную прибыль (q=q 
), и найти размеры этих убытков или прибыли.
2ВИДЕОУРОКИФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Преобразование графиков функций
Преобразование графиков функций
В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции 
получить график функции 
Линейным преобразованием функции 
называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду 
, а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.
Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:
1. Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
2. Определения порядка преобразований.
Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.
Рассмотрим внимательно функцию
В ее основе лежит функция 
. Назовем ее базовой функцией.
При построении графика функции мы совершаем преобразования графика базовой функции .
Если бы мы совершали преобразования функции в том же порядке , в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то
· сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня: 
. Обозначим это выражение 
. Назовем преобразование 
внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента.
· затем мы бы нашли значение базовой функции в этой точке: 
· после этого мы бы совершили преобразование самой функции: 
. Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.
Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.
Преобразования аргумента.
1. f(x) 
f(x+b)
1. Строим график фунции
2. Сдвигаем график фунции вдоль оси ОХ на |b| единиц
· влево, если b>0
· вправо, если b<0
Построим график функции 
1. Строим график функции
2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:
2. f(x) f(kx)
1. Строим график фунции
2. Абсциссы точек графика делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.
Построим график функции 
.
1. Строим график функции
2. Все абсциссы точек графика делим на 2, ординаты оставляем без изменений:
3. f(x) f(-x)
1. Строим график фунции
2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.
Построим график функции 
.
1. Строим график функции
2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:
4. f(x) f(|x|)
1. Строим график функции
2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:
График функции 
выглядит так:
Построим график функции 
1. Строим график функции 
(это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):
2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:
3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:
Важно! Два главных правила преобразования аргумента.
1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ
2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".
Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:
1. Берем модуль от х.
2. К модулю х прибавляем число 2.
Но построение графика мы совершали в обратном порядке:
Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")
Затем выполнили преобразование f(x) f(|x|).
Коротко последовательность преобразований записывается так:
Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования совершаются
1. Вдоль оси OY.
2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.
Вот эти преобразования:
1. f(x) f(x)+D
1. Строим график функции y=f(x)
2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц
· вверх, если D>0
· вниз, если D<0
Построим график функции 
1. Строим график функции
2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:
2. f(x) Af(x)
1. Строим график функции y=f(x)
2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.
Построим график функции 
1. Построим график функции
2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:
3. f(x) -f(x)
1. Строим график функции y=f(x)
2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.
Построим график функции 
.
1. Строим график функции .
2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.
4. f(x) |f(x)|
1. Строим график функции y=f(x)
2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.
Построим график функции 
1. Строим график функции 
. Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:
2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:
И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:
y=f(x) |y|=f(x)
1. Строим график функции y=f(x)
2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.
Построим график уравнения 
1. Строим график функции :
2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:
3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.
И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции
График этой функции выглядит так:
3Наряду с градусной мерой углов (см. Планеметрия, §5) в тригонометрии применяется и другая мера, называемая радианной. В ней за единицу измерения принимается острый угол (MON на рис. 1), под которым видна из центра окружности ее дуга MN, равная радиусу (MN = ОМ). Такой угол называется радианом. Величина этого угла не зависит от радиуса окружности и от положения дуги MN на окружности. Так как полуокружность видна из центра под углом 180°, а ее длина равна π радиусам, то радиан в π раз меньше, чем угол в 180°, т.е. один радиан равен 180°/π градусов;
рис.1
1 радиан = 180°/π ≈ 57,2958° = 57°17’45».
Обратно, один градус равен π/180° радиана.
1° = π/180° радиана ≈ 0,017453 радиана.
1′ = π/(180°*60) радиана ≈ 0,000291 радиана.
1″ = π/(180°*60*60) радиана ≈ 0,000005 радиана.
Радианной мерой любого угла (АОВ на рис. 2) является отношение этого угла к радиану (MON на рис. 2); но отношение ∠ AOB : ∠ MON равно отношению дуг АВ : MN, т.е. отношению дуги АВ к радиусу.
рис.2
Таким образом, радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заклюценной между сторонами угла, к радиусу ОАэтой дуги.
Введение радианной меры угла позволяет придать многим формулам более простой вид*.
Полезно запомнить следующую сравнительную таблицу градусной и радианной мер некоторых часто встречающихся углов:
| Углы в градусах | Углы в радианах |
| 360° | 2π |
| 180° | π |
| 90° | π/2 |
| 60° | π/3 |
| 45° | π/4 |
| 30° | π/6 |
4
| Функция | Обозначение | Соотношение |
| Си́нус | sin | sinx=cos(π2−x) |
| Ко́синус | cos | cosx=sin(π2−x) |
| Та́нгенс | tg или tan | tgx=sinxcosx=ctg(π2−x)=1ctgx |
| Кота́нгенс | ctg или cot | ctgx=cosxsinx=tg(π2−x)=1tgx |
| Се́канс | sec | secx=1cosx=csc(π2−x) |
| Косе́канс | cosec или csc | cosecx=1sinx=sec(π2−x) |
Дата: 2018-12-28, просмотров: 415.
