7.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с частными производными
Дифференциальным уравнением 2-го порядка с частными производными относительно неизвестной функции U = U (x, y) называется уравнение вида:
,
где U = U (x, y) – неизвестная функция от x, y, 
.
Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка с частными производными называется уравнение вида:
,
где a, b, c, d, e, g, h, f – известные непрерывные функции от x, y (в частности, они могут быть постоянными).
Иногда рассматривается функция U = U (x, t), где t – время.
Дифференциальные уравнения с частными производными, описывающие некоторый физический процесс, называют уравнениями математической физики. Для физических приложений наиболее важными являются три типа таких уравнений:
– волновое уравнение;
– уравнение Лапласа;
– уравнение теплопроводности.
Например, рассматривается задача о распределении температуры в однородном стержне, теплоизолированном от внешней среды по боковой поверхности и имеющем длину L.
Обозначив через х – абсциссу сечения стержня (х 
[0; L]), t – время, U = U (x, t) – температуру в сечении стержня с абсциссой х в момент времени t, получим модель этой задачи – уравнение теплопроводности. Коэффициент а в этом уравнении зависит от физических свойств материала, из которого изготовлен стержень.
Для описания реального физического процесса кроме дифференциальных уравнений необходимо задать еще начальное состояние процесса – начальные условия, а также значения неизвестной функции или ее производных на границе рассматриваемой области – граничные (краевые) условия.
Начальные условия задают, как правило, при t = 0.
Краевые условия задают на границе области, например, для уравнения теплопроводности задают значения функции U (x, t) при х = 0; х = L в любой момент времени t [0; T].
Если заданы и начальные, и краевые условия, то говорят о смешанной задаче для дифференциального уравнения с частными производными.
7.2. Решение уравнения теплопроводности методом сеток
Пусть требуется решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности, т.е. найти функцию U (x, t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению с частными производными
, (18)
где U = U (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент времени t, если известны:
температура в сечении стержня с абсциссой х в момент времени t = 0:
U (х, 0) = f (x) для 0 £ x £ L, (19)
и температура на концах стержня в любой момент времени t:
U (0, t) = α (t), U (L, t) = β (t) для 0 £ t £ T, (20)
где f (x), α (t), β (t) – известные непрерывные функции.
Будем предполагать, что смешанная задача (18)-(20) имеет единственное решение U = U (x, t) в области 
Используем конечно-разностный метод приближенного решения задачи, называемый также методом сеток.
Введем прямоугольную сетку, построенную на области D:
xi = ih для i = 0, 1, 2,….,n,
tk = kd для k = 0,1, 2,….,m,
где h = 
– шаг сетки по х, d = 
– шаг сетки по t. При этом прямоугольная область D будет разбита на прямоугольные части прямыми х = xi и t = tk в системе координат Ох t . Точки (xi, tk), лежащие на пересечении этих прямых, называют узлами двумерной сетки, или просто узлами.
Вместо неизвестной функции U (x, t) будем рассматривать функцию, заданную в узлах сетки: ui, k = u(i, k), которую называют сеточной функцией. Будем искать значения сеточной функции, соответствующие приближенному решению задачи, т.е. ui, k » U (xi, tk).
Неизвестные u0, k и un, k для k = 0, 1,….,m находят из граничных условий (20):
u0, k = U (0, tk) = α (tk), un, k = U (L, tk) = β (tk).
Значения ui ,0, соответствующие моменту времени t0 = 0, находят из начальных условий (19):
ui, 0 = U (xi, 0) = f (xi), для i= 1,….,n –1.
Для определения значений ui, k во внутренних узлах заменим частные производные отношениями конечных разностей по приближенным формулам:
,
тогда уравнению (18) будет соответствовать сеточное уравнение:
.
Если выбрать 
, то получим простую формулу для вычисления значений сеточной функции: 
.
Можно доказать, что для значений 
получается устойчивое решение смешанной задачи, т.е. малым изменениям исходных данных задачи будут соответствовать лишь малые изменения полученного решения.
Если выбрать шаги сетки h и d таким образом, чтобы было выполнено условие 
, то получается наиболее точная формула для расчетов:
,
для i = 1, 2,….,n – 1, k = 0, 1,….,m – 1.
Значения ui , k для i = 1, 2,….,n – 1 находят «по слоям»: сначала вычисляют ui 0 на «нулевом слое», затем вычисляют ui ,1, ui ,2 ,… – значения на каждом следующем, «(k +1)-м слое», соответствующем моменту времени tk+1, используя значения на предыдущем, «k-м слое».
Окончательно получаем разностную модель задачи – расчетные формулы для вычисления всех значений функции U (xi, tk) = ui, k в узлах сетки, покрывающей область D:
, (21)
, (22)
, (23)
(24)
Решение примерного варианта контрольной работы
Задача 1. Даны приближенные значения величин x = 1,6, y = 0,35, где D(х) = 0,02, d (y) = 4%. Требуется:
1) вычислить значение величины 
, оценить предельную абсолютную погрешность D(s) и округлить значение s в соответствии с погрешностью;
2) вычислить приближенное значение функции f (x, y) = 
·(2x – 3y), оценить предельную абсолютную погрешность значения функции и округлить его в соответствии с погрешностью.
Решение.
1). Вычислим приближенное значение s: s = 
.
Оценим предельную абсолютную погрешность результата по формуле (2), в которой
D(х) = 0,02; D(y) = y · d (y) = 0,35·0,04 = 0,014,
следовательно, по формуле (1) получаем:
D(3y – х) = 3D(y) + D(х) = 0,062.
Предельная абсолютная погрешность значения s:
.
Округлим значение s, оставляя столько же цифр после запятой, сколько их в записи абсолютной погрешности результата: D(s) = 0,1, следовательно, значение s округляем до одного знака после запятой: s » – 0,6.
2). Вычислим приближенное значение функции f (x, y) = 
·(2x – 3y):
f (1,6; 0,35) = 
·(3,2 – 1,05) » 1,2649·2,15 » 2,7196.
Оценим предельную абсолютную погрешность результата по формуле (4), в которой:
;
Максимальные значения модулей частных производных:
.
Предельная абсолютная погрешность значения функции:
(округление абсолютной погрешности производится «с избытком»).
Округлим значение функции, оставляя столько же цифр после запятой, сколько их в записи абсолютной погрешности результата: D(f) = 0,2, тогда f (1,6; 0,35) » 2,7.
Ответы: 1) s » – 0,6; D(s) = 0,1;
2) f (1,6; 0,35) » 2,7; D(f) = 0,2.
Задача 2. Дано уравнение: x5 + 3x – 2,5 = 0. Требуется:
1) определить число корней уравнения и найти промежутки их изоляции;
2) вычислить значение одного из корней уравнения с точностью ε = 0,01 при помощи метода деления отрезка пополам.
Решение.
1). Будем искать такой интервал (a, b), в котором содержится корень уравнения x5 + 3x – 2,5 = 0, причем только один. Для этого найдем производную 
= 5х4 + 3. Из того, что 
> 0 для любых значений x, следует, что функция f (x) = x5 + 3x – 2,5 монотонно возрастающая, значит, уравнение f (x) = 0 имеет только один корень (точку пересечения графика y = f (x) с осью абсцисс).
Подбором находим две точки, в которых функция имеет разные знаки: например, точки a = 0,5, b = 1 (чем ближе друг к другу эти точки, тем меньше потребуется сделать вычислений на этапе уточнения корня). Проверка: 
, следовательно, 
и корень уравнения 
.
2). Уточним корень уравнения x5 + 3x – 2,5 = 0 с точностью ε = 0,01 методом деления отрезка пополам.
Для этого обозначим: номер шага k = 0; a0 = a = 0,5; b0 = b = 1, и вычислим начальное значение корня 
= 0,75 и значение функции f (x0) = 
+ 3x0–2,5 » – 0,0127 (все промежуточные вычисления будем производить, используя 4 десятичных знака после запятой).
Для k = 1 находим ak, bk. По формулам (8.1) –(8.2). Поскольку f (x0) < 0, то выполнены условия 
, 
, поэтому a1:= x0 и b1:= b0, т.е. [a1;b1] = [0,75; 1]. После этого вычислим 
= 0,875, значение функции f (x1) » 0,6379 и проверим выполнение условия (9): 
. Получаем: 
. Условие не выполнено, следовательно, переходим к следующему шагу.
Для k = 2, 3,…. находим ak, bk, xk по формулам (8.1) – (8.3), проверяя на каждом шагу выполнение условия (9): 
и, если оно выполнено, определяем знак f (xk). Если f (xk) < 0, то на следующем шаге изменяем ak, а если f (xk) > 0, то изменяем bk, чтобы на каждом шаге выполнялось условие 
. Результаты расчетов заносим в таблицу:
| k | ak | bk | 
| 
| f (xk) =  + 3xk–2,5
|
| 0 | 0,5 | 1 | 0,75 | 0,5 | – 0,0127 < 0 |
| 1 | 0,75 | 1 | 0,875 | 0,25 | 0,6379 > 0 |
| 2 | 0,75 | 0,875 | 0,8125 | 0,125 | 0,2916 > 0 |
| 3 | 0,75 | 0,8125 | 0,7813 | 0,0625 | 0,1348 > 0 |
| 4 | 0,75 | 0,7813 | 0,7656 | 0,0313 | 0,0600 > 0 |
| 5 | 0,75 | 0,7656 | 0,7578 | 0,0156 |
Процесс вычислений закончен, т.к. 
. Последнее значение x5 округляем в соответствии с заданной точностью ε = 0,01:
х* » x5 » 0,76.
Ответ: 
.
Задача 3. Дана система линейных алгебраических уравнений:
Требуется:
1) решить систему методом Гаусса;
2) вычислить определитель матрицы системы, используя метод Гаусса.
Решение.
1) Решение системы.
Прямой ход. Построим расширенную матрицу (A |В) размерности n 
(n + 1), т.е. 5 6, присоединив к матрице А столбец свободных членов В:
Приведение системы к верхнему треугольному виду осуществляем за 3 шага, используя формулы (10), (11).
1шаг (k = 1): исключаем неизвестную х1 из уравнений с номерами i = 2, 3, 4.
Все элементы 1-й (ведущей) строки расширенной матрицы делим на число d1 = а11 = 2, получаем строку: 
= (1; 1,5; –0,5; –2,5; –0,5).
Из 2-й строки вычитаем строку 
, умноженную на число с21 = а21= 1:
= (1; –2; 3; 4; 1) – (1; 1,5; –0,5; –2,5; –0,5) = (0; –3,5; 3,5; 6,5; 1,5).
Из 3-й строки вычитаем строку , умноженную на число с31 = а31= 5, получаем:
= (5; 1; –1; –8; –1) – 5 (1; 1,5; –0,5; –2,5; –0,5) = (0; –6,5; 1,5; 4,5; 1,5).
Из 4-й строки вычитаем строку 
, умноженную на число с41 = а41= 1:
= (1; –5; 2; 3; 7) – (1; 1,5; –0,5; –2,5; –0,5) = (0; –6,5; 2,5; 5,5; 7,5).
В результате 1-го шага произошло исключение неизвестной х1 из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы, расширенная матрица и система теперь имеют вид:
(A |В)′ = 
, 
Далее работаем только с 2, 3, 4 строками расширенной матрицы (A | B)′.
2шаг (k = 2): исключаем неизвестную х2 из уравнений с номерами i = 3,4.
Все элементы 2-й (ведущей) строки делим на число d2 = a′22 = –3,5, получаем строку: 
» (0; 1; –1; –1,8571; –0,4286) (все промежуточные вычисления будем производить, округляя результаты до 4 десятичных знаков после запятой).
Из 3-й строки вычитаем строку 
, умноженную на с32 = a′32 = –6,5:
» (0; –6,5; 1,5; 4,5; 1,5) + 6,5 (0; 1; –1; –1,8571; –0,4286) »
» (0; 0; –5; –7,5712; –1,2859).
Из 4-й строки вычитаем строку , умноженную на с42 = a′42 = –6,5:
» (0; –6,5; 2,5; 5,5; 7,5) + 6,5 (0; 1; –1; –1,8571; –0,4286) »
» (0; 0; –4; –6,5712; 4,7141).
В результате 2-го шага произошло исключение неизвестной х2 из 3-го и 4-го уравнений системы, расширенная матрица и система теперь имеют вид:
(A |В)′′= 
, 
Далее работаем только с 3, 4 строками расширенной матрицы (A | B)′′.
3шаг (k = 3): исключаем неизвестную х3 из уравнения с номером i = 4.
Все элементы 3-й (ведущей) строки делим на число d3 = a′′33 = –5, получаем строку: 
» (0; 0; 1; 1,5142; 0,2572).
Из 4-й строки вычитаем строку , умноженную на с43 = a′′43 = – 4:
» (0; 0; –4; –6,5712; 4,7141) + 4 (0; 0; 1; 1,5142; 0,2572)»
» (0; 0; 0; –0,5144; 5,7429).
В результате 3-го шага произошло исключение неизвестной х3 из 4-го уравнения системы, расширенная матрица теперь имеет вид:
(A |В)′′′= 
,
Таким образом, в результате прямого хода получили систему с матрицей верхнего треугольного вида.
Преобразования прямого хода можно записать в следующем кратком виде:
~
~ ~ 
~
~ 
Обратный ход. Находим неизвестные х4, х3, х2, х1 по формулам (12):
из 4-го уравнения находим: х4 = – 
» –11,1643,
из 3-го, 2-го и 1-го уравнений последовательно находим:
х3 = 0,2572 – 1,5142 x4 » 17,1622,
х2 = –0,4286 + 1,8571 x4 + x3 » –3,9996,
х1 = –0,5 + 2,5 x4 + 0,5 x3 – 1,5 x2 » –13,8303.
Если округлить значения полученного решения до 2-x десятичных знаков после запятой, получим: х1»–13,83; х2 » –4,00; х3 » 17,16; х4 » –11,16.
2). Для вычисления определителя матрицы системы по формуле (13) перемножаем ведущие элементы всех 3-х шагов на элемент a44′′′ » –0,5144:
det A = a11·a22′·a33′′·a44′′′ = 2 (–3,5) (–5) (–0,5144) = – 18,004 » –18.
Ответы:
1) решение системы: х1» –13,83; х2 » –4,00; х3 » 17,16; х4 » –11,16;
2) определитель матрицы системы det A » –18.
Задача 4. Дана таблица значений функции f (x):
| xi | – 0,5 | – 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,7 |
| f (xi) | 3,2216 | 5,3468 | 4,9472 | 1,5327 | 2,5003 |
Требуется:
1) по табличным данным построить для функции f (x) интерполяционный полином 4-го порядка в форме Лагранжа и привести его к стандартному виду целого многочлена;
2) используя полученный полином, вычислить приближенное значение
функции f (x) в точке 
= 0,2.
Решение.
1). Все значения xi в данной таблице образуют равномерную сетку:
xi = x0 + ih, где x0 = – 0,5, h = 0,3 для i = 0, 1, 2, 3, 4. Построим интерполяционный полином Лагранжа 4-го порядка по формуле (14), подставляя в нее значения xi и yi = f (xi):
Приведем полученный полином к стандартному виду, произведя упрощения:
L4(x) » 16,572(x4 – x3 + 0,15x2 + 0,05x – 0,0056) – 110,016 (x4 – 0,7x3 – 0,21x2 +
+ 0,167x – 0,014) + 152,691(x4 – 0,4x3 – 0,39x2 + 0,086x + 0,028) – 31,537(x4 –
– 0,1x3 – 0,39x2 – 0,031x + 0,007) + 12,8616 (x4 + 0,2x3 – 0,21x2 – 0,022x +
– + 0,004) = 40,5716x4 + 5,0888x3 – 24,3618x2 – 3,7180x + 5,5535
(промежуточные вычисления производим, используя 4 десятичных знака после запятой).
2). Вычислим значение f ( 
) с округлением до 3-го знака после запятой:
f ( ) = f (0,2) » L4(0,2) »
» 40,5716·0,24 + 5,0888·0,23 – 24,3618·0,22 – 3,7180·0,2 + 5,5535» 3,941.
Ответы:
1) интерполяционный полином в стандартном виде:
L4(x) » 40,5716x4 + 5,0888x3 – 24,3618x2 – 3,7180x + 5,5535;
2) значение f ( 
) = f (0,2) » 3,941.
Задача 5. Дан определенный интеграл 
. Составить таблицу значений подынтегральной функции в точках xi = 1 + ih, где i = 0, 1, …,10 с шагом
h = 0,1 и вычислить приближенное значение интеграла, используя эту таблицу и квадратурную формулу Симпсона.
Решение. Для построения таблицы значений подынтегральной функции 
вычисляем значения xi = 1 + ih, где i = 0, 1, …,10, h = 0,1, затем значения функции в этих точках f (xi) = e3x i / (10 xi) и заносим их в таблицу. Для удобства дальнейших вычислений значения функции во внутренних точках xi с нечетными номерами i смещаем влево, а с четными номерами – вправо.
| i | xi = 1 + 0,1i | f (xi) = e3xi / (10 xi) |
| 0 | 1 | 2,0086 |
| 1 | 1,1 | 2,4648 |
| 2 | 1,2 | 3,0499 |
| 3 | 1,3 | 3,8002 |
| 4 | 1,4 | 4,7633 |
| 5 | 1,5 | 6,0011 |
| 6 | 1,6 | 7,5944 |
| 7 | 1,7 | 9,6484 |
| 8 | 1,8 | 12,3004 |
| 9 | 1,9 | 15,7299 |
| 10 | 2 | 20,1714 |
Вычислим определенный интеграл, используя формулу Симпсона. Для этого подставим в формулу (15) 2m = 10, h = 0,1, yi = f (xi) и получим:
» 0,0333·(2,0086 + 20,1714 + 4 (2,4648 + 3,8002 + 6,0011 + 9,6484 + 15,7299) + + 2·(3,0499 + 4,7633 + 7,5944 + 12,3004)) » 7,606.
Ответ: 
» 7,606.
Задача 6 . Дана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения: y′ = 3x – 2y2, y(0) = 0,4. Решить задачу при помощи метода Рунге-Кутты на промежутке [0; 0,5] с шагом h = 0,1.
Решение. Для решения задачи потребуется сделать 5 шагов, т.к.
.
Результаты промежуточных расчетов по формулам (16) – (17) для i = 0, 1,..,4 будем вносить в рабочую таблицу. Описание расчетов 0-го шага приведем подробно.
Номер шага i = 0, x0 = 0, y(x0) = y0 = 0,4.
Вычислим величины k1, k2, k3, k4:
;
;
;
;
следующее значение y1 находим по формуле (17):
y1 = y0 + 
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) » 0,3846.
Далее фиксируем номер шага i = 1, x1= 0 +ih = 0,1, y(x1) = y1 » 0,3846, вычисляем величины k1, k2, k3, k4 по формулам:
; 
;
; 
и значение y2.
Затем выполняем все это для i = 2, 3, 4, вычисляя на каждом шагу значения k1, k2, k3, k4 по формулам (17), а следующее значение yi+1 по формуле (16).
Результаты расчетов по шагам оформляем в виде рабочей таблицы:
| i | xi | yi | k1 | k2 | k3 | k4 | yi+1 |
| 0 | 0 | 0,4 | –0,32 | –0,0145 | –0,0159 | 0,0005 | 0,3846 |
| 1 | 0,1 | 0,3846 | 0,0004 | 0,0154 | 0,0142 | 0,0282 | 0,3993 |
| 2 | 0,2 | 0,3993 | 0,0281 | 0,0408 | 0,0398 | 0,0514 | 0,4394 |
| 3 | 0,3 | 0,4394 | 0,0514 | 0,0617 | 0,0608 | 0,0700 | 0,5005 |
| 4 | 0,4 | 0,5005 | 0,0699 | 0,0777 | 0,0768 | 0,0833 | 0,5775 |
В итоге получаем таблицу приближенных значений решения задачи Коши y (x) на промежутке [0; 0,5] с шагом h = 0,1.
Ответ: приближенное решение задачи Коши получено в виде таблицы значений yi » y(xi).
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xi | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
| yi | 0,4 | 0,3846 | 0,3993 | 0,4394 | 0,5005 | 0,5775 |
Задача 7 . Температура однородного стержня U = U (х, t) в сечении х в момент времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности. Используя метод сеток, найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности 
в области 
при заданных условиях:
начальное распределение температуры в стержне U (х, 0) = cosx;
температура на концах стержня U (0; t) = 2 t + 1, U (1,5; t) = cos (1,5).
Решение. Для решения используем сетку с шагом h = 0,3 по переменной х и с шагом d = 0,015 по переменной t. Введем следующие обозначения.
Узлы сетки: xi = ih для i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, xi [0; 1,5];
tk = kd для k = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, tk [0; 0,09].
Сеточная функция: ui, k = u(i, k) для i = 0, …5, k = 0, …6, соответствующая приближенному решению задачи, т.е. ui, k » U (xi, tk).
В данном случае шаг d = 0,015 удовлетворяет условию d = h2/6 = 0,09/6, поэтому расчетные формулы для вычисления всех значений функции U (xi, tk) = ui, k в узлах сетки, покрывающей область D, будем получать по формулам (21) – (24).
Результаты вычислений будем заносить в таблицу, построенную в соответствии с заданной сеткой, и имеющей вид:
| i | 0 | 1 | 2 | …… | 5 | |
| k |  xi
tk
| 0 | 0,3 | 0,6 | …… | 1,5 |
| 0 | 0 | u0,0 | u1,0 | u2,0 | …… | u5,0 |
| 1 | 0,015 | u0,1 | u1,1 | u2,1 | …… | u5,1 |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
| 6 | 0,09 | u0,6 | u1,6 | u2,6 | …… | u5,6 |
В этой таблице нужно заполнить затененные ячейки значениями ui, k.
Порядок заполнения таблицы следующий.
1. Заполняем 0-й столбец (температура на левом конце стержня в момент времени tk): u0, k = 2 tk + 1, для k = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Заполняем последний столбец (температура на правом конце стержня в момент времени tk): u5, k = cos (1,5) для k = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6.
3. Заполняем внутренние ячейки 0-й строки (начальная температура в точках с абсциссой xi): вычисляем ui, 0 = cos (xi) для i = 1, 2, 3, 4.
4. Вычисляем значения ui, k во внутренних узлах сетки:
для i = 1, 2, 3, 4, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Вычисления производятся по строкам, значения ui-1, k , ui, k и ui+1, k берутся из предыдущей строки. Например, 1-я строка (k + 1 = 1):
u1, 1 = (u0, 0 + 4·u1, 0 + u2, 0)/6 = (1 + 4·0,9553 + 0,8253)/6 » 0,9411;
u2, 1 = (u1, 0 + 4·u2, 0 + u3, 0)/6 = (0,9553 + 4·0,8253 + 0,6216)/6 » 0,8131;
u3, 1 = (u2, 0 + 4·u3, 0 + u4, 0)/6 = (0,8253 + 4·0,6216 + 0,3624)/6 » 0,6124;
u3, 1 = (u3, 0 + 4·u4, 0 + u5, 0)/6 = (0,6216 + 4·0,3624 + 0,0707)/6 » 0,3570.
После заполнения 1-й строки переходим к заполнению 2-й, затем 3-й и т.д., до 6-й строки.
В результате расчетов получаем таблицу:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| k | xi tk | 0 | 0,3 | 0,6 | 0,9 | 1,2 | 1,5 |
| 0 | 0 | 1 | 0,9553 | 0,8253 | 0,6216 | 0,3624 | 0,0707 |
| 1 | 0,015 | 1,03 | 0,9411 | 0,8131 | 0,6124 | 0,3570 | 0,0707 |
| 2 | 0,03 | 1,06 | 0,9346 | 0,8009 | 0,6032 | 0,3518 | 0,0707 |
| 3 | 0,045 | 1,09 | 0,9332 | 0,7903 | 0,5943 | 0,3469 | 0,0707 |
| 4 | 0,06 | 1,12 | 0,9355 | 0,7814 | 0,5857 | 0,3421 | 0,0707 |
| 5 | 0,075 | 1,15 | 0,9406 | 0,7745 | 0,5777 | 0,3375 | 0,0707 |
| 6 | 0,09 | 1,18 | 0,9478 | 0,7694 | 0,5705 | 0,3331 | 0,0707 |
Ответ: приближенное решение задачи получено в виде таблицы значений
ui, k » U (xi, tk) в узлах сетки области D.
Рекомендуемая литература
1. Волков Е. А. Численные методы: учебное пособие для вузов / Е. А. Волков. – М.: Наука,1987 248 с.
2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: учебник для вузов / В. М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002.– 840 с.
3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.
4. Воробьева, Г. Н., Данилова, А. Н. Практикум по численным методам / Г. Н. Воробьева, А.Н. Данилова.– М.: Высш. школа, 1979.– 184 с.
5. Мостовская Л.Г. Вычислительная математика: учебно-методическое пособие ч.1 / Л. Г. Мостовская, А.-В.И.Середа, – Мурманск, 2001. – 86 с.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 340.
