Аналогичным образом можно производить арифметические действия и в позиционных системах с произвольным основанием.

По аналогии можно составить примеры арифметических действий над числами, представленными в любой системе счисления.

3.5.Основные понятия логики.

Определение. Логика (формальная логика) — это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений.

Примечание.

Одной из частей формальной логики можно назвать математическую логику. Если формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных рассуждений, которые выражаются обычным разговорным языком, то математическая логика изучает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить, истинны они или ложны.

Определение. Двоичная логика, которая тесно связана с двоичной системой кодирования, часто называется булевой алгеброй по имени английского математика Джорджа Буля, сформулировавшего в 19-м веке положения этого раздела математической логики.

Начальным понятием булевой алгебры является высказывание.

Определение. Высказывание — это любое утверждение, оцениваемое только с точки зрения его истинности. Соответственно, высказывания могут быть истинными или ложными.

Пример: Из двух высказываний

       X = «Алмаз имеет кристаллическую структуру» и

         Y = «Волга впадает в Балтийское море»

        первое истинно, а второе ложно.

Примечание.

Высказывания могут обозначаться буквами, подобно переменным в обычной алгебре.

Высказывания, по существу, и являются переменными булевой алгебры, принимающими значение 1 в случае истинности высказывания и 0, если высказывание ложно. Такие переменные называют логическими (или булевыми) переменными.

Пример: Для двух высказываний приведенного логического примера возможна такая запись: X = 1; Y = 0.

Определение. Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если его значение не зависит от значений каких-либо других высказываний. Сложным считается высказывание, значение истинности которого определяется значениями других высказываний.

Пример: Известное высказывание «Хорошо живет на свете Винни-Пух, если, конечно, он вовремя подкрепится» является сложным высказыванием: благополучное содержание первой части фразы (первого высказывания) зависит от некоторого условия, составляющего вторую половину предложения (второго высказывания).

3.6.Логические операции.

Части сложного высказывания соединяются с помощью логических операций. Известны три простейшие логические операции — отрицание (логическое НЕ), логические умножение (логическое И или конъюнкция), логическое сложение (логическое ИЛИ или дизъюнкция)[11] ⁾. Рассмотрим эти операции подробнее.

3.6.1.Отрицание (Инверсия).

Эта логическая операция обозначается словом НЕ: Y = НЕ (X). Функция отрицания имеет еще и такое обозначение: Y =`X.

Для образности понятия функции НЕ воспользуемся представлением, известным как диаграмма Эйлера-Венна. Если на этой диаграмме (рис.3.1). заштрихованный круг представляет собой область истинности значений Х, то все, что находится за пределами этого круга, будет представлять НЕ (Х) (или`X).

Таблица соответствия возможных значений аргумента (входных двоичных переменных) значениям функции, называемая в случае булевых функций (логических операций) таблицей истинности, имеет следующий вид для функции логического отрицания НЕ:

Перечислим некоторые свойства функции НЕ:

§ Двойное отрицание некоторого аргумента Х равно самому аргументу, т.е.

Х = НЕ (НЕ ( X) ) = X

§ Если имеется некоторое логическое равенство, то отрицание обеих его частей не нарушает этого равенства, т.е.

если X = Y, то` X =`Y.