Для представления очень маленьких или очень больших чисел их стандартное позиционное представление становится нечитаемым и трудно употребимым для проведения вычислительных действий над такими числами.
Пример: Вот трудночитаемые числа: 0,0000000000000000015567 либо 1542825000000000000000.
В этом случае для записи подобных чисел применяется так называемая экспоненциальная форма записи в виде двух составляющих — мантиссы и экспоненты, причем основание экспоненты может быть любое, в том числе и основание системы счисления.
Пример: Используя числа предыдущего примера запишем их в экспоненциальном виде при использовании в качестве основания числа 10: 1,5567 × 10-18 для малых чисел и 1,542 825 × 1021 для больших.
Существует две основных экспоненциальной формы записи числа. В первой из них мантисса записывается в виде значащих цифр с произвольным местоположением запятой, отделяющей целую часть от дробной, а экспонента записывается как определенная степень основания системы счисления. Во втором случае признаком экспоненциальной формы представления числа является нахождение в записи символа Е, отделяющего мантиссу от экспоненты (точнее от порядка этой экспоненты).
Пример: Числа в стандартной экспоненциальной записи имеют вид 1,5567Е-18 или 1,542 825Е21.
Однако, существуют определенные рекомендации по формату экспоненциального представления чисел. Вот они:
Рекомендация. Для научного (SCIENTIFIC) формата вывода числа в экспоненциальной форме для мантиссы M должно выполняться неравенство 0 < | M | < 1; значение порядка P любое целое; а для инженерного (ENGINEERING) формата вывода числа в экспоненциальной форме —мантисса M формируется с целой и дробной (если необходимо) частями, причем целая часть содержит не более трех значащих цифр так, чтобы значение порядка P было равным максимальному возможному числу, кратному трем.
Пример: Пусть дано число 31450000. Тогда запись 0,3145Е8 соответствует научному формату, а запись 31,45Е6 — инженерному формату экспоненциальной записи числа 31450000.
2.4.Кодирование информации. Двоичное кодирование. Единицы измерения количества информации.
Для автоматизации работы с информацией, относящейся к различным типам, очень важно унифицировать форму представления, т.е. надо преобразовать символьную, текстовую и графическую информацию таким образом, чтобы она получила некий единый стандартный вид. Для решения этой задачи обычно используется прием кодирования.
Определение. Форма представления информации, отличная от естественной, общепринятой, называется кодом, а процесс выражения данных одного типа через данные другого называется Кодированием.
Примечание.
Широко известны такие коды, как почтовые индексы, нотная запись музыки, телеграфный код Морзе, цифровая запись программ для ЭВМ (программирование в кодах), помехозащищенные коды в системах передачи данных и т.п.
Как было указано ранее, информатика неразрывно связана обработкой, хранением и передачей информации средствами вычислительной техники. Но, для того, чтобы компьютер мог каким-то образом обрабатывать, хранить и передавать информацию, необходимо, чтобы, информация была представлена в понятном для нее виде.
Мы уже знаем, что существуют различные формы представления информации. Однако, компьютер — это техническое устройство, основанное на работе электронных компонентов, а значит, обладающее определенными физическими характеристиками. По этим причинам информация, предназначенная для ЭВМ, должна иметь физическое представление, причем это представление должно быть наиболее простым.
Этим требованиям отвечает, так называемое, битовое представление информации, основанное на двоичной форме кодирования, при котором каждая запоминаемая частица может принимать только два значения — 0 либо 1. В технических устройствах битовое представление используется для обозначения систем с двумя возможными состояниями, при этом каждая двоичная цифра содержит один бит информации.
Стоит напомнить, что битом называется количество информации, заключающееся в определении одного из двух возможных состояний.
Бит действительно является очень маленьким объемом хранения информации, содержащим всего два состояния: 0, 1. Если объединить два бита в одно целое, то в таком объеме можно хранить уже больше состояний: 00, 01, 10, 11. Если объединить три, то появляется возможность для хранения еще большей информации: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. И так далее. Чтобы было нагляднее, изобразим это в таблице 2.1:
Таблица 2.1.
| Количество битов | Возможные комбинации | Количество комбинаций |
| 1 | 0, 1 | 2 |
| 2 | 00, 01, 10, 11 | 22 |
| 3 | 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 | 23 |
| n | ........ | 2n |
Известно, что бит — это наименьшая единица информации. Но компьютеры довольно редко работают с конкретными битами. Как правило, они оперируют с машинными словами, представляющими собой объединения из нескольких битов. Наиболее известным подобным объединением является комбинация из восьми битов, называется байтом.
Примечание .
Byte — в дословном переводе с английского обозначает "сцепка", "выделенный кусок".
Именно байт компьютер часто воспринимает как единый информационный блок, как единое целое. По этим причинам в информатике и ее приложениях принято считать, что байт также является единицей измерения количества информации.
Современные электронно-вычислительные машины обрабатывают, хранят, передают очень большие объемы информации. Если попробовать выразить подобный объем в байтовом виде, то получится громоздкое, неудобное для восприятия число. По эти причинам, для обозначения больших объемов информации существуют более крупные единицы производные измерения:
1 килобайт (кб) = 1024 байта = 210 байт,
1 Мегабайт (Мб) = 1024 кб = 220 байт,
1 Гигабайт (Гб) = 1024 Мб = 230 байт.
В последнее время в связи с увеличением объёмов обрабатываемой информации входят в употребление такие производные единицы, как:
1 Терабайт (Тб) = 1024 Гб = 240 байт,
1 Петабайт (Пб) = 1024 Тб = 250 байт.
2.5.Тренировочные тестовые задания по разделу 2.
(правильные ответы см. в конце пособия).
§ Оценкой какого качественного свойства явления, процесса, состояния объекта является энтропия?
§ Незнания
§ Неидентичности
§ Определенности
§ Неопределенности
§ Неизмеримости
§ Когда исчезает неопределенность события при бросании монеты человеком?
§ В момент отрыва монеты от руки
§ В момент полета монеты
§ В момент успокоения монеты после касания земли
§ В момент взятия монеты рукой (перед бросанием)
§ В момент касания монеты земли
§ Какой сигнал называется дискретным?
§ Обладающий конечным (счетным) множеством разнообразий
§ Имеющий несколько различных определяющих характеристик (например, напряжение, ток, частота для электрического сигнала)
§ Который можно зарегистрировать разными измерителями
§ Зарегистрированный конечным (счетным) числом приемников
§ Излучаемый конечным (счетным) числом передатчиков
§ Какое количество двоичных разрядов требуется, чтобы закодировать одну из клеток шахматной доски (8´8)?
§ 5 разрядов
§ 6 разрядов
§ 8 разрядов
§ 9 разрядов
§ 7 разрядов
§ Сколько байт содержится в 66560 битах?
§ 6656
§ 832
§ 65
§ 4160
§ 8320
§ Сколько бит содержится в килобайте?
§ 1000
§ 1024
§ 8000
§ 8192
§ 10000
§ За минимальную единицу количества информации принят?
§ 1 бод
§ 1 бит
§ 1 байт
§ 1 символ
§ 1 бар
§ В какой из последовательностей единицы измерения информации указаны в порядке возрастания ?
§ Байт, бит, килобайт, мегабайт, гигабайт
§ Килобайт, байт, бит, мегабайт
§ Байт, мегабайт, килобайт, гигабайт, терабайт
§ Мегабайт, килобайт, терабайт, килобайт
§ Бит, байт, килобайт, мегабайт, гигабайт
§ Какая из нижеприведенных экспоненциальных записей десятичного числа 75,9 представлена в стандартной экспоненциальной форме?
§ 0,759 × 102
§ 759,0 × 210
§ 0,759Е2
§ 0,759Е10
§ 759Е10
§ Какое количество двоичных разрядов требуется, чтобы закодировать 512 байт?
§ 9 разрядов
§ 8 разрядов
§ 10 разрядов
§ 12 разрядов
§ 16 разрядов
§ Системы счисления и основы логики
14.Системы счисления.
15.Системы счисления, используемые в компьютере.
16.Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
17.Двоичная арифметика.
18.Арифметические операции в позиционных системах счисления.
19.Основные понятия логики.
20.Логические операции.
21.Логические выражения.
22.Базовые логические элементы.
23.Построение сумматора на логических элементах.
3.1.Системы счисления.
Определение. Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.
Существует два вида систем счисления:
§ Непозиционные системы счисления — Примером этой системы счисления является Римская система, в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину 10, а в сумме ХХХ — 30.
§ Позиционные системы счисления — В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. Позиция цифры называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево.
Определение. Количество различных цифр (символов), употребляемых в позиционной системе счисления для представления (записи) числа, называется основанием.
В позиционных системах счисления основание системы определяет, во сколько раз различаются весовые значения цифр соседних разрядов записей чисел.
Любое число, записанное в позиционной системе с произвольным основанием, можно записать в виде полинома (многочлена) [6] ):
As = anSn + an-1Sn-1 + … + a1S1 + a0S0 + a-1S-1 + … + a-mS-m,
где S — основание системы счисления.
Примечание.
Числа принято представлять в виде последовательности соответствующих цифр a i , где запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях):
X=anan-1 … a1a0 , a-1 … a-m
Пример: число 5279,409 — это сокращенная запись суммы
5279,40910 = 5 × 103 + 2 × 102 + 7 × 101 + 9 × 100 + 4 × 10-1 + 0 × 10-2 + 9 × 10-3
3.2.Системы счисления, используемые в компьютере.
Позиционный принцип используется и при записи двоичных чисел. В этом случае коэффициентами при степенях числа 2 будут двоичные цифры 0 и 1. Число 5279 в двоичной системе счисления изображается следующим образом:
527910 = 1 × 212 + 0 × 211 + 1 × 210 + 0 × 29 + 0 × 28 + 1 × 27 + 0 × 26 + 0 × 25+ +1 × 24 + 1 × 23+ 1 × 22 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
или в сокращенном виде: 1010010011111112 = 527910
Примечание.
Индексы, записанные рядом с изображением числа (например, 527910), указывают основание системы счисления.
Двоичное представление первых шестнадцати чисел показано в таблице 3.1.
Удобная для вычислительных машин двоичная система счисления не употребляется людьми из-за того, что большие числа в этой системе представляются очень длинными последовательностями цифр. Было найдено компромиссное решение — переводить в двоичную систему не все число целиком, а каждую его цифру отдельно:
5 2 7 9
0101 0010 0111 1001
Примечание.
Для отображения одной десятичной цифры в этом случае используются 4 двоичные цифры — 4 бита (одна тетрада). Такой способ кодирования называется двоично-десятичным.
Двоично-десятичная система не единственная из применяемых в ЭВМ вспомогательных систем счисления. Достаточно широкое распространение получила шестнадцатеричная система счисления, которая позволяет получить более компактную запись числа (иными словами, увеличить информационную емкость одной тетрады). Десяти арабских цифр для шестнадцатеричной системы недостаточно, и для изображения шести старших цифр в этой системе используют 6 начальных букв латинского алфавита:
1010 = A16, 1110 = B16, 1210 = C16, 1310 = D16, 1410 = E16, 1510 = F16
Пример: число 527910 (заданное в десятичной системе счисления) в системе счисления с основанием 16 записывается следующим образом:
527910 = 1 × 163 + 4 × 162 + 9 × 161 + 15 × 160 = 149F16
Наряду с шестнадцатеричной системой счисления используется и восьмеричная система, в которой используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Пример: число 2510 (заданное в десятичной системе счисления) в системе счисления с основанием 8 записывается следующим образом:
2510 = 3 × 81 + 1 × 80 = 318
Примечание.
Двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) количества разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы в ЭВМ создает большие преимущества из-за возможности использования для построения электронных схем простых элементов с двумя устойчивыми состояниями.
3.3.Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
3.3.1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием.
Для того чтобы перевести число в десятичную систему счисления, запишем его в виде полинома
As = anSn + an-1Sn-1 + … + a1S1 + a0S0 + a-1S-1 + … + a-mS-m,
и вычислим его значение.
Пример:
10101,0112 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2 + 1 × 2-3 = = 21,37510
Существует несколько способов выполнения операций перевода десятичных чисел в систему счисления с произвольным основанием. Рассмотрим их.
§ Способ первый.
Для перевода нужно представить исходное число в виде полинома
As = anSn + an-1Sn-1 + … + a1S1 + a0S0 + a-1S-1 + … + a-mS-m,
взяв в качестве S основание той системы счисления, в которую данное число нужно перевести. Затем выпишем коэффициенты ai , которые и составят нужное число.
Пример: Перевести число 1310 в систему счисления с основанием 2.
Для этого представим 13 как сумму степеней числа 2:
1310 = 8 + 4 + 1.
Далее воспользуемся формулой As = anSn + an-1Sn-1 + … + a1S1 + a0S0 и запишем число 13 в виде полинома
1310 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20.
Теперь выпишем все коэффициенты ai: 1101. Таким образом,
1310 = 11012.
Примечание.
Обычно этот способ перевода в двоичную систему счисления используют для представления небольших чисел.
§ Способ второй.
Этот способ применяется для перевода больших чисел. Для его усвоения рассмотрим пример.
Пример: Перевести число 23410 в систему счисления с основанием 2.
Будем делить число 23410 последовательно на 2 нацело и записывать остатки, не забывая нулевые:
234 : 2 = 117 остаток 0
117 : 2 = 58 1
58 : 2 = 29 0
29 : 2 = 14 1
14 : 2 = 7 0
7 : 2 = 3 1
3 : 2 = 1 1
Результат последнего деления на 2 уже не делится, и эта цифра будет старшей цифрой нашего числа. Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичное представление числа:
23410 = 111010102.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 888.
