Интегрирование рациональных дробей

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Мурманский государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

и программного обеспечения ЭВМ

Интегральное исчисление
функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения

Часть 3

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ
для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета
по дисциплине "Математика"

Мурманск

2007

УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8)

ББК 22.151.5 + 22.143Я73

М 33

Составители: Великая Елена Евгеньевна, старший преподаватель кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой
15 февраля 2006 г., протокол № 4

Рецензент – В.С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Оригинал-макет подготовлен в авторской редакции

Электронная верстка Е.И. Бабушкиной

Оглавление

Введение... 4

Методические указания по темАМ
"Интегральное исчисление функции одной переменной"
И "Дифференциальные уравнения". 5

Справочный материал по теме "Интегральное
исчисление функции одной переменной". 6

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. 6

2. Свойства неопределенного интеграла.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла. 7

3. Интегрирование по частям.. 9

4. Интегрирование рациональных дробей. 9

5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. 9

6. Формула Ньютона-Лейбница. 10

7. Несобственные интегралы первого и второго рода. 11

8. Вычисление площади плоской фигуры
в декартовой системе координат (ДСК) 12

9. Вычисление площади плоской фигуры
в полярной системе координат (ПСК) 12

10. Вычисление объема тела вращения. 12

11. Вычисление длины дуги плоской кривой. 13

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 5. 13

Справочный материал по теме
"Дифференциальные уравнения". 20

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 20

2. Методы решения основных типов
дифференциальных уравнений 1-го порядка. 21

3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. 27

4. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка,
допускающих понижение порядка. 28

5. Решение линейных дифференциальных уравнений
2-го порядка с постоянными коэффициентами. 32

6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений
и их решение порядка методом повышения порядка. 37

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 6. 38

Варианты контрольнЫХ работ.. 47

Рекомендуемая литература.. 52

Введение

В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам "Интегральное исчисление функции одной переменной" и "Дифференциальные уравнения", варианты этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы.

В результате изучения этих тем студенты должны:

• изучить основные методы интегрирования – интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям, научиться интегрировать рациональные дроби и тригонометрические функции;

• получить представление об определенном интеграле и его свойствах, научиться вычислять его по формуле Ньютона-Лейбница;

• научиться исследованию несобственных интегралов первого и второго рода на сходимость и расходимость;

• научиться использовать определенный интеграл для решения геометрических задач, таких как вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины дуги плоской кривой.

• знать основные понятия теории дифференциальных уравнений
(порядок дифференциального уравнения, его общее и частное решения, начальные условия и др.) и уметь определять тип дифференциального уравнения;

• знать и уметь использовать методы решения основных типов дифференциальных уравнений 1-го порядка а также дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка;

• уметь решать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом повышения порядка.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по темам "Интегральное исчисление функции одной переменной" и "Дифференциальные уравнения", и подробные решения примерных вариантов работ со ссылками на используемый справочный материал.

Методические указания по темАМ
"Интегральное исчисление функции одной
переменной" И "Дифференциальные уравнения"

В табл. 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

Таблица 1

№ к. раб.	№ задачи	Содержание (темы)	Литература
5	1	Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям	[1], гл. VII, § 29, 30; [3], гл.7, § 1–4; [4], гл. IX, № 1337–1350, 1368–1371, 1373–1375; 1392–1396; [6], гл. 6, № 2–14, 36–50, 102, 103, 108, 109, 114, 118–120
5	2	Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых тригонометрических функций	[1], гл. VII, § 31, 32; [3], гл.7, § 5, 6.3; [4], гл. IX, № 1410–1416, 1428–1434, 1489–1490, 1494–1505; [6], гл. 6, № 172, 177–180, 193, 194–199, 230–242
5	3	Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода	[1], гл. VIII, § 35-40; [3], гл. 8, § 1, 4–9, 11; [4], гл. X, № 1552–1554, 1559–1560; 1572–1578; [6], гл. 6, № 255–266, 355–360, 366–369
5	4	Приложение определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры	[1], гл. VIII, § 41.1, 41.2; [3], гл. 8, § 10.1, 10.2; [4], гл. X, № 1596–1601; [6], гл. 6, № 290–294, 301, 302
5	5	Приложение определенного интеграла: вычисление объема тела вращения	[1], гл. VIII, § 41.4; [3], гл. 8, § 10.4; [4], гл. X, № 1628–1631; [6], гл. 6, № 319–323

Продолжение табл. 1

№ к. раб.	№ задачи	Содержание (темы)	Литература
5	6	Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги плоской кривой	[1], гл. VIII, § 41.3; [3], гл. 8, §10.3; [4], гл. X, № 1613–1618; [6], гл. 6, № 307–312
6	1	Дифференциальные уравнения 1-го порядка	[2], гл. I, § 1.1, 1.2, 2.1–2.4; [3], гл. 15, § 1.1–1.6; [5], гл. IV, № 515–517, 550–556, 603–608; [6], гл. 14, № 32–38, 43–54, 61–64, 139–140
6	2	Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка	[2], гл. I, § 3.1, 3.2; [3], гл. 15, § 2.1–2.2; [5], гл. IV, № 651, 652, 654, 659–665
6	3	Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами	[2], гл. I, § 3.4, 4.1, 5.1–5.3; [3], гл. 15, § 3–4; [5], гл. IV, № 696–699; 721–726; [6], гл. 14, № 98–111, 180, 184, 185
6	4	Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка	[2], гл. I, § 6.1–6.2; [5], гл. IV, № 778–782; [6], гл. 14, № 208–213

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами
в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал по теме "Интегральное
исчисление функции одной переменной"

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство

. (1)

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида , где .

Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием. При интегрировании используют: таблицу интегралов (табл. 2), свойства интегралов и специальные методы интегрирования, основные
из которых – замена переменной и интегрирование по частям.

Таблица 2

; 2.

; 3.

; 4.

; 5.

; 6.

; 7.

; 8.

; 9.

;

10.

; 11.

; 12.

; 13.

; 14.

; 15.

; 16.

2. Свойства неопределенного интеграла.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1–3, а также таблицей интегралов:

= + 3 = .

Ответ: = .

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (метод подстановки), который в некоторых случаях позволяет свести заданный интеграл к табличному интегралу.

Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:

или

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:

Ответ: .

Этот интеграл можно взять, используя подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции (не прописывая замену переменной)

= = .

Наиболее часто прием подведения под знак дифференциала используется при линейной замене переменной интегрирования:

, (3)

так как .

Пример 3. Найти .

Решение. Согласно формуле (3) можно записать:

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: = .

Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Обычно за принимают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ; ; ;

– здесь за u принимают целый многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .

2) ; ;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

= .

Ответ: = .

7. Несобственные интегралы первого и второго рода

Примером несобственного интеграла первого рода является интеграл

(8)

Интегралы

, (9)

где a – точка бесконечного разрыва функции , и

, (10)

где b – точка бесконечного разрыва функции , относятся к несобственным интегралам второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

Ответ: интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому

следовательно, интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится.

8. Вычисление площади плоской фигуры
в декартовой системе координат (ДСК)

Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми
x = a, x = b, y = 0 и кривой y = f(x),
где для (рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

. (11)

Если фигура Ф ограничена в ДСК
линиями x = a, x = b, y = f₁(x) и y = f₂(x),
где для (рис. 2),
то площадь Ф можно вычислить по формуле:

. (12)

9. Вычисление площади плоской фигуры
в полярной системе координат (ПСК)

Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой ,
где (рис. 3).

Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

. (13)

Решение задачи 1

а) Так как , то используя формулу (3), получим:

Проверим результат дифференцированием:

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: = .

б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

Проверим результат дифференцированием:

Ответ: = .

в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

, отсюда

или .

Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя
в тождество "удобные" значения х (метод частных значений):

Из первого уравнения получим: А = 11/12. Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения

Таким образом,

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Проверим результат дифференцированием:

Ответ: = .

г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Ответ: = .

Решение задачи 2

а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому

следовательно, интеграл сходится и равен .

Здесь использовано:

Ответ: интеграл сходится и равен .

б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, так как х = 13 – точка бесконечного разрыва подинтегральной функции. Поэтому

следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Решение задачи 3

а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = –1, x = 3.

Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что на промежутке [–1; 3].

Используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

Ответ: единиц площади.

б) Для построения кривой в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .

	0	π/4	2π/4	3π/4	π	5π/4	6π/4	7π/4	2π
	13	12,7	12	11,3	11	11,3	12	12,7	13

Построим чертеж в ПСК (рис. 7). Так как фигура ограничена кривой, заданной в полярной системе координат, то площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13):

Для получаем:

Ответ: единицы площади.

Решение задачи 4

Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l₁ и l₂, нужно найти точки их пересечения, т. е. решить систему: . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение 2x² – 6x = 0, решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: x = 0, x = 3.

Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8), можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):

Ответ: единиц объема.

Решение задачи 5

Кривая задана уравнением где , поэтому ее длина вычисляется по формуле (16): .

Для получаем: , тогда длина дуги кривой

Ответ: единиц длины.

Справочный материал по теме
"Дифференциальные уравнения"

Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

(27)

где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (22) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

Однородные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной функцией m -го порядка (измерения), если

Дифференциальное уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (28)

называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного порядка.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

(29)

С помощью подстановки , т. е. однородное дифференциальное уравнение (29) приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го порядка, так как выполнено

Разрешим данное уравнение относительно . Для этого запишем его в виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на ; в результате получим исходное уравнение в виде (29): .

Введем подстановку y = tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(х).

Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Заменяя t на и упрощая результат, получаем:

Поскольку функцию y(x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ: – общий интеграл уравнения.

Для определения типа дифференциального уравнения 1-го порядка
и выбора метода его решения можно использовать табл. 3.

Таблица 3

Тип дифференциального уравнения	Вид, к которому приводится уравнение	Метод решения
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		Разделение переменных:
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = u(x)v(x),
Уравнение Бернулли		Замена: y = u(x)v(x),
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = tx, .

Решение задачи 1

Данное дифференциальное уравнение – уравнение
с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на

Интегрируя полученное равенство, получим:

откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .

Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку , т. е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .

Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.

Построим все эти кривые
в системе координат (рис. 9).

Ответы: ;

Интегральные кривые изображены на рис. 9.

Решение задачи 2

Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли (см. (27)), в котором . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или

(****)

Найдем функцию v(x), решая уравнение

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставляя найденную функцию в (****), получим дифференциальное уравнение для функции u: , или .

Найдем функцию – общее решение этого уравнения:

Общим решением исходного уравнения является функция

Ответ: .

Решение задачи 3

Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной x (см. (34)). Полагаем = p(y), тогда и уравнение примет вид:

Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию

Второе уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:

где . Производя обратную замену p = , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С₁, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):

Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Здесь использовано: .

Определим значение постоянной С₂, соответствующее начальному условию y(1) = 3:

Отсюда получим частный интеграл, удовлетворяющий заданным начальным условиям (решение задачи Коши): .

Получим частное решение уравнения, выразив y(x):

Ответ:

Решение задачи 4

Данное дифференциальное уравнение – это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Найдем его в 2 этапа (см. п. 5.3.).

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По табл. 4 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь , т. е. , тогда частное решение будем искать в виде .

Составим условиям вариации согласно (40):

Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

затем найдем

Переходим к интегрированию:

(константы интегрирования считаем равными нулю).

Тогда , и общее решение

Ответ: .

Решение задачи 5

Данное дифференциальное уравнение – это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего однородного уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По табл. 4 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (45), частное решение будем искать в виде:

где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неоднородное уравнение:

Сократим обе части тождества на и приравняем коэффициенты при cos3x и при sin3x в левой и правой частях тождества.

Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим Подставив найденные значения А и В в выражение , получим частное решение неоднородного уравнения:

Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.

Ответ:

Решение задачи 6

Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z(x).

Выразим z(x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе уравнение системы:

После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции у(х):

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего одно-
родного уравнения . Составим для него характе-
ристическое уравнение и найдем корни: – корни комплексные сопряженные: . Здесь , тогда по таблице 4 определим вид общего решения однородного уравнения:

2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь – правая часть 1-го специального вида: , где , n = 1. Число не совпадает с корнями характеристического уравнения , тогда, согласно (44), частное решение будем искать в виде:

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:

(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :

Приравнивая коэффициенты при х¹ и при х⁰в обеих частях тождества, получаем:

откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в , получим: .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения :

Найдем вторую неизвестную функцию:

Ответ:

Варианты контрольнЫХ работ

Каждый вариант контрольной работы 5 для студентов-заочников
1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной". Каждый вариант контрольной работы 6 содержит 6 задач по теме "Дифференциальные уравнения".

Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Интегрирование в контрольной работе 5 должно сопровождаться необходимыми ссылками на таблицы интегралов, их свойства, а также указанием метода интегрирования. При использовании замены переменной следует привести формулы замены всех элементов подинтегрального выражения через новую переменную.

Решение всех дифференциальных уравнений в контрольной работе 6 следует приводить подробно, указывая тип уравнения, способ получения решения и используемые методы интегрирования.

Варианты контрольной работы 5

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

№ варианта	Интегралы
n	; ; ;

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

№ варианта	Интегралы
n	а) ; б)

Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:

а) ограниченной в ДСК линиями l₁ и l₂;

б) ограниченной в ПСК линией l.

Сделать чертежи.

№ варианта

Уравнения линий

а) б) n

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями l₁ и l₂. Сделать чертеж.

№ варианта	Уравнения линий
n

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением y = f(x), где .

№ варианта	Уравнение кривой	Промежуток
n

Варианты контрольной работы 6

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	Точка
1		M(–2; 4)
2		M(0; 3)
3		M
4		M(0; 1)
5		M(1; 2)
6		M
7		M(0; –1)
8		M(0; 1)
9		M(2; 1)
10		M(–1; 2)

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	Начальные условия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Найти общее решение системы методом повышения порядка.

№ варианта	Система дифференциальных уравнений	№ варианта	Система дифференциальных уравнений
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. – М. : Рольф, 2002. – 256 с.

3. Щипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 1998. – 479 с.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 304 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 416 с.

6. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 2001. – 304 с.

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – воспитательная, образовательная и педагогическая литература

Издательство МГТУ. 183010 Мурманск, Спортивная, 13.

Сдано в набор 06.04.2007. Подписано в печать 10.04.2007. Формат 60´84¹/₁₆
Бум. типографская. Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,36. Заказ 194. Тираж 100 экз.

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Мурманский государственный технический университет"

Интегральное исчисление
функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения

Часть 3

Мурманск

2007

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Мурманский государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

и программного обеспечения ЭВМ

Интегральное исчисление
функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения

Часть 3

Мурманск

2007

УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8)

ББК 22.151.5 + 22.143Я73

М 33

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой
15 февраля 2006 г., протокол № 4

Оригинал-макет подготовлен в авторской редакции

Электронная верстка Е.И. Бабушкиной

Оглавление

Введение... 4

Справочный материал по теме "Интегральное
исчисление функции одной переменной". 6

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. 6

2. Свойства неопределенного интеграла.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла. 7

3. Интегрирование по частям.. 9

4. Интегрирование рациональных дробей. 9

5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. 9

6. Формула Ньютона-Лейбница. 10

7. Несобственные интегралы первого и второго рода. 11

8. Вычисление площади плоской фигуры
в декартовой системе координат (ДСК) 12

9. Вычисление площади плоской фигуры
в полярной системе координат (ПСК) 12

10. Вычисление объема тела вращения. 12

11. Вычисление длины дуги плоской кривой. 13

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 5. 13

Справочный материал по теме
"Дифференциальные уравнения". 20

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 20

2. Методы решения основных типов
дифференциальных уравнений 1-го порядка. 21

3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. 27

4. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка,
допускающих понижение порядка. 28

5. Решение линейных дифференциальных уравнений
2-го порядка с постоянными коэффициентами. 32

6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений
и их решение порядка методом повышения порядка. 37

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 6. 38

Варианты контрольнЫХ работ.. 47

Рекомендуемая литература.. 52

Введение

В результате изучения этих тем студенты должны:

• научиться исследованию несобственных интегралов первого и второго рода на сходимость и расходимость;

Таблица 1

№ к. раб.	№ задачи	Содержание (темы)	Литература
5	1	Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям	[1], гл. VII, § 29, 30; [3], гл.7, § 1–4; [4], гл. IX, № 1337–1350, 1368–1371, 1373–1375; 1392–1396; [6], гл. 6, № 2–14, 36–50, 102, 103, 108, 109, 114, 118–120
5	2	Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых тригонометрических функций	[1], гл. VII, § 31, 32; [3], гл.7, § 5, 6.3; [4], гл. IX, № 1410–1416, 1428–1434, 1489–1490, 1494–1505; [6], гл. 6, № 172, 177–180, 193, 194–199, 230–242
5	3	Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода	[1], гл. VIII, § 35-40; [3], гл. 8, § 1, 4–9, 11; [4], гл. X, № 1552–1554, 1559–1560; 1572–1578; [6], гл. 6, № 255–266, 355–360, 366–369
5	4	Приложение определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры	[1], гл. VIII, § 41.1, 41.2; [3], гл. 8, § 10.1, 10.2; [4], гл. X, № 1596–1601; [6], гл. 6, № 290–294, 301, 302
5	5	Приложение определенного интеграла: вычисление объема тела вращения	[1], гл. VIII, § 41.4; [3], гл. 8, § 10.4; [4], гл. X, № 1628–1631; [6], гл. 6, № 319–323

Продолжение табл. 1

№ к. раб.	№ задачи	Содержание (темы)	Литература
5	6	Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги плоской кривой	[1], гл. VIII, § 41.3; [3], гл. 8, §10.3; [4], гл. X, № 1613–1618; [6], гл. 6, № 307–312
6	1	Дифференциальные уравнения 1-го порядка	[2], гл. I, § 1.1, 1.2, 2.1–2.4; [3], гл. 15, § 1.1–1.6; [5], гл. IV, № 515–517, 550–556, 603–608; [6], гл. 14, № 32–38, 43–54, 61–64, 139–140
6	2	Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка	[2], гл. I, § 3.1, 3.2; [3], гл. 15, § 2.1–2.2; [5], гл. IV, № 651, 652, 654, 659–665
6	3	Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами	[2], гл. I, § 3.4, 4.1, 5.1–5.3; [3], гл. 15, § 3–4; [5], гл. IV, № 696–699; 721–726; [6], гл. 14, № 98–111, 180, 184, 185
6	4	Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка	[2], гл. I, § 6.1–6.2; [5], гл. IV, № 778–782; [6], гл. 14, № 208–213

Справочный материал по теме "Интегральное
исчисление функции одной переменной"

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов

. (1)

Таблица 2

; 2.

; 3.

; 4.

; 5.

; 6.

; 7.

; 8.

; 9.

;

10.

; 11.

; 12.

; 13.

; 14.

; 15.

; 16.

2. Свойства неопределенного интеграла.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1–3, а также таблицей интегралов:

= + 3 = .

Ответ: = .

Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:

или

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:

Ответ: .

= = .

, (3)

так как .

Пример 3. Найти .

Решение. Согласно формуле (3) можно записать:

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: = .

Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ; ; ;

– здесь за u принимают целый многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .

2) ; ;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют отношение двух целых многочленов и , т. е. = . Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить ее, т. е. представить в виде суммы простейших дробей видов:

где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней.

Если дробь неправильная ( ), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.

Дата: 2018-12-28, просмотров: 232.

12 3 4 Следующая ⇒