Эластичность функции.

Предельный анализ

Производные применяются в экономике для получения так называемых предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т. п. Слово «предельный» означает производную или скорость изменения. Если функция  выражает количество произведенной однородной продукции K за время t, то  — производительность труда в момент t (предельная производительность). Если функция  выражает издержки производства однородной продукции в количестве х, то  выражает предельные издержки производства (характеризирует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции). Если  прибыль от продажи х единиц товара то предельная прибыль. Одним из основных законов теории производства утверждает: Оптимальный для производства Уровень выпуска товара определяется равенством граничных затрат и предельного дохода.

То есть уровень выпуска  является оптимальным, для производства, если  где  — предельные затраты;  — предельный доход. Это следует из того, что прибыль  равна . Максимальная прибыль будет при  то есть

Средние издержки  Минимум этой величины достигается в точке  т. е.

Функция потребления и сбережения. Доход у населения разбивается на две части: одну часть  (функция потребления) оно тратит на потребление, а другую  (функция сбережения) оставляет на сбережения. Очевидно, что  и  

 — предельные склонности к потреблению и сбережению.

Издержки хранения. Совокупные издержки производства товара состоят из издержек его производства и издержек хранения. Пусть товар завозится на склад партиями по х штук в партии, а расходуется с постоянной скоростью.

Тогда наполняемость склада зависит от времени t и задается функцией, график которой изображен на чертеже. Здесь V —число единиц товара на складе, — средняя наполняем ость склада,  — время использования партии.

Эластичность. Эластичность (относительная производная) функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция  при изменении независимой переменной х на1%. Эластичность функции определяется по формуле .

Для упрощения процесса дифференцирования (особенно произведения степенных функций) иногда используется логарифмическая производная .

В терминах логарифмических производных .

Если известна функция спроса , можно предельную выручку по отношению к цене

Если y — спрос, x — цена, то при:

1)  — спрос считают эластичным,

2)  — неэластичным,

3)  — с единичной эластичностью.

Есть другие определения эластичности.

Имеют место формулы:

.

Пример 4.25. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y(тыс.грн.) и выпуском продукции (тыс.грн.) выражается функцией  Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции на 50 тыс. грн.

Решение. Определяем эластичность

При т. е. при выпуске продукции на 50тыс. грн. Увеличение ее на 1%приведет к снижению себестоимости на 0,25%.

Пример 4.26. Производственная функция имеет вид , где L – численность работающих, Q(L)- объем производства.

Найти предельную производительность труда. Провести анализ.

Решение. Предельная производительность труда равна

Вычислим предельную производительность при разной численности рабочих L.

L	1	4	9	100	1405	1406,25	1407	2500	22500
	296	584	864	2600	5624	5625	5625	5000	-748490
	296	146	96	26	4,0	4,	3,9	2	-3,364
	146	71	46	11	0,0	0	-0,0	-1	-3,6

Из таблицы видно что предельная производительность труда уменьшается с ростом числа рабочих и начиная с 1407 становится отрицательной. Такая ситуация часто наблюдается на практике. Аналитически это означает что производственные функции, как правило, вогнутые, т. е.   .

Наконец, дадим еще раз, экономический смысл первой, второй и третьей производной на примере производительности труда.

Таким образом, производственная функция возрастающая  и вогнутая . График нашей функции имеет вид, изображенный на рисунке. То, что функция стала убывать значит, что область ее определения отрезок, лежащий между 0 и1407.

Обратите внимание на то, как связаны между собой строки.

Например .

Понятие вогнутости функции находит свою интерпретацию в экономической теории. Одним из основных экономических законов — закон убывающей доходности, который формулируется так: с ростом производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и других) с некоторого момента убывает. Этот закон означает, что функция  которая выражает зависимость выпуска продукции от вложенных ресурсов, есть функция вогнутая.

Другим важным понятием экономической теории является функция полезности  где х — товар; U — полезность. Эта функция дает субъективную оценку товара для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективную оценку для общества в целом. Закон убывающей полезности такой: с ростом количества товара, дополнительная полезность каждой новой единицы продукции с некоторого момента бывает. Это означает, что функция полезности вогнута.

Пример 4.27. Эпидемия медленно распространяется среди населения. Число заболевших определяется формулой , где t — число недель, прошедших с момента начала эпидемии. Найти скорость изменения числа заболевших в момент времени:

ЛИТЕРАТУРА

Для содержательных модулей

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк., 1981.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.

Основная

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.

2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.: Инфра-М, 1997.

3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.

4. Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.

5. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

6. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск, 1968.

7. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.: Экономическое образование, 1989.

8. Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высш.шк., 1974.

Сборники задач

1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1977.