Дослідження функцій та побудова графиків.
Вопросы:
1. Зростання та спадання функцій.
2. Опуклість, угнутість функцій.
3. Екстремуми функцій.
4. Асимптоти функцій.
5. Точки перегину.
6. Дослідження функцій та побудова графіків.
4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Теоремы Ролля, Лагранжа и формула Тейлора
Теорема Ролля. Если функция 
непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале (а,b) и 
, то в интервале (а,b) найдется хотя бы одно значение 
, при котором 
(Рис. 4.7).
Если, в частности, 
, 
, то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.
Рис. 4.7 Рис. 4.8
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (а,b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение 
, при котором выполняется равенство 
.
Доказательство. Рассмотрим функцию 
. Эта функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (а,b), так как этим условиям удовлетворяет функция 
. Очевидно, что и 
. Поэтому функция 
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует 
такое, что 
, то есть 
. Отсюда получаем 
, что и требовалось доказать.
Эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой , имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную (не параллельную оси Оу), найдется хотя бы одна внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде АВ. (Для теоремы Ролля и хорда АВ, и касательная параллельны оси Ох.) (Рис. 4.7).
Формула Тейлора. Функция 
, дифференцируемая 
раз в некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в этом интервале в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена 
:
где 
или 
, причем 
.
Возрастание и убывание функции
Напомним определение из п.3.1.4. Функция 
называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале 
, если для любых 
выполняется неравенство 
(соответственно 
(Рис. 4.9, 4.10). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
Рис. 4.9 Рис. 4.10
Экстремум функции
Определение 4. 7 . Точка х0 называется точкой максимума функции 
, если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство 
.
Определение 4. 8 . Точка х0 называется точкой минимума функции 
, если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство 
(Рис. 4.11, Рис. 4.12).
Рис. 4.11 Рис. 4.12 Рис. 4.13
Определение 4. 9 . Максимум или минимум функции называется экстремумомфункции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.
Теорема. Необходимое условие экстремума. Если функция в точке 
, имеет экстремум, то производная 
обращается в нуль или не существует.
Точка 
, в которой 
называется стационарной точкой. Точки, в которых 
или 
не существует называются критическимиточкамиI рода. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Решение.
1. 
2. 
3. Находим критические точки первого рода: 
при 
не существует при 
.
4. Критические точки разбили область определения на интервалы. Определяем знаки производной на каждом интервале.
| x | 
| -2 | 
| 0 | 
| 2 | 
|
| - | 
| + | 0 | - | 
| + |
| y | 
| 0 | 
| 
| 
| 0 | 
|
| min | max | min |
Строим график.
Рис. 4.14
Пример 4.23. Найти интервалы монотонности, экстремумы функции 
и построить ее график.
Решение.
1. 
2. 
.
3. Находим критические точки первого рода. 
при 
не существует: в области определения производная везде существует.
4. Критическая точка разбила область определения на интервалы. Определяем знаки производной на каждом интервале.
, 
, 
.
| x | 
| 
| 
|
|
| - | 0 | + |
| y | 
| min | 
|
|
|
Строим график.
|
Если
Рис. 4.15
Решение.
1. Область определения 
т.е. 
.
2. Так как 
то функция ни четная ни нечетная, т. е. общего вида (график функции несимметричен относительно оси ординат и начала координат).
3. Функция непериодичная.
4. 
— вертикальная асимптота, так как пределы функции при 
(слева) и при 
(справа) бесконечны, т.е.
.
5. Наклонные асимптоты находим в виде 
, где
Прямая 
— наклонная асимптота.
6. Экстремумы и интервалы монотонности функции.
Знаки производной изображены на рисунке.
7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Таким образом, функция вогнута (выпукла вверх) на интегралах (-∞,-1) и (-1,0] и выпукла (выпукла вниз) на интервале[0,∞).
8. f(0)=0. Уравнение f(0)=0 имеет единственное решение х=0, т. е. График функции пересекает оси в начале координат (0,0).
| x | 
| -3 | 
| -1 | 
| 0 | 
|
| + | 0 | 
| + | 0 | + | |
| - | - | - | Ø | - | 0 | + |
| y | 
| 
| 
| 
| 
| 0 | 
|
| max | Не сущ. | Точка перегиба |
9. График функции изображен на чертеже.
10. Е(у)=(-∞,+∞).
Эластичность функции.
Предельный анализ
Производные применяются в экономике для получения так называемых предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т. п. Слово «предельный» означает производную или скорость изменения. Если функция 
выражает количество произведенной однородной продукции K за время t, то 
— производительность труда в момент t (предельная производительность). Если функция 
выражает издержки производства однородной продукции в количестве х, то 
выражает предельные издержки производства (характеризирует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции). Если 
прибыль от продажи х единиц товара то 
предельная прибыль. Одним из основных законов теории производства утверждает: Оптимальный для производства Уровень выпуска товара определяется равенством граничных затрат и предельного дохода.
То есть уровень выпуска 
является оптимальным, для производства, если 
где 
— предельные затраты; 
— предельный доход. Это следует из того, что прибыль 
равна 
. Максимальная прибыль будет при 
то есть 
Средние издержки 
Минимум этой величины достигается в точке 
т. е. 
Функция потребления и сбережения. Доход у населения разбивается на две части: одну часть 
(функция потребления) оно тратит на потребление, а другую 
(функция сбережения) оставляет на сбережения. Очевидно, что 
и 
— предельные склонности к потреблению и сбережению.
Издержки хранения. Совокупные издержки производства товара состоят из издержек его производства и издержек хранения. Пусть товар завозится на склад партиями по х штук в партии, а расходуется с постоянной скоростью.
Тогда наполняемость склада зависит от времени t и задается функцией, график которой изображен на чертеже. Здесь V —число единиц товара на складе, 
— средняя наполняем ость склада, 
— время использования партии.
Эластичность. Эластичность (относительная производная) функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция 
при изменении независимой переменной х на1%. Эластичность функции 
определяется по формуле 
.
Для упрощения процесса дифференцирования (особенно произведения степенных функций) иногда используется логарифмическая производная 
.
В терминах логарифмических производных 
.
Если известна функция спроса 
, можно предельную выручку по отношению к цене 
Если y — спрос, x — цена, то при:
1) 
— спрос считают эластичным,
2) 
— неэластичным,
3) 
— с единичной эластичностью.
Есть другие определения эластичности.
Имеют место формулы:
.
Пример 4.25. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y(тыс.грн.) и выпуском продукции (тыс.грн.) выражается функцией 
Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции на 50 тыс. грн.
Решение. Определяем эластичность
При 
т. е. при выпуске продукции на 50тыс. грн. Увеличение ее на 1%приведет к снижению себестоимости на 0,25%.
Пример 4.26. Производственная функция имеет вид 
, где L – численность работающих, Q(L)- объем производства.
Найти предельную производительность труда. Провести анализ.
Решение. Предельная производительность труда равна
Вычислим предельную производительность при разной численности рабочих L.
| L | 1 | 4 | 9 | 100 | 1405 | 1406,25 | 1407 | 2500 | 22500 |
| 296 | 584 | 864 | 2600 | 5624 | 5625 | 5625 | 5000 | -748490 |
| 296 | 146 | 96 | 26 | 4,0 | 4, | 3,9 | 2 | -3,364 |
| 146 | 71 | 46 | 11 | 0,0 | 0 | -0,0 | -1 | -3,6 |
Из таблицы видно что предельная производительность труда уменьшается с ростом числа рабочих и начиная с 1407 становится отрицательной. Такая ситуация часто наблюдается на практике. Аналитически это означает что производственные функции, как правило, вогнутые, т. е. 
.
Наконец, дадим еще раз, экономический смысл первой, второй и третьей производной на примере производительности труда.
Таким образом, производственная функция возрастающая 
и вогнутая 
. График нашей функции имеет вид, изображенный на рисунке. То, что функция стала убывать значит, что область ее определения отрезок, лежащий между 0 и1407.
| Количество персонала L | ||||||||||||
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 1000 | 1001 | 1002 | ||||
| Количество продукции.
| ||||||||||||
| 908,6833 | 950,9874 | 991,2305 | 1029,665 | 1066,497 | 1101,895 | 5486,833 | 5487,575 | 5488,315 | ||||
| Средняя производительность.
| ||||||||||||
| 90,86833 | 86,4534 | 82,60254 | 79,20503 | 76,17837 | 73,45967 | 5,486833 | 5,482093 | 5,47736 | ||||
| Предельная производительность: Изменение объема выпускаемой продукции при увеличении числа персонала на единицу.
| ||||||||||||
| 43,43416 | 41,2267 | 39,30127 | 37,60251 | 36,08919 | 34,72983 | 0,743416 | 0,741047 | 0,73868 | ||||
| Характер изменения предельной производительности: С ростом числа персонала предельная производительность уменьшается.
| ||||||||||||
| -2,37171 | -2,05576 | -1,80422 | -1,6001 | -1,43176 | -1,29099 | -0,00237 | -0,00237 | -0,00236 | ||||
| Темп изменения предельной производительности: С ростом числа персонала предельная производительность уменьшается с уменьшающимся темпом.
| ||||||||||||
| 0,355756 | 0,280331 | 0,225527 | 0,184627 | 0,153402 | 0,129099 | 3,56E-06 | 3,55E-06 | 3,54E-06 | ||||
Обратите внимание на то, как связаны между собой строки.
Например 
.
Понятие вогнутости функции находит свою интерпретацию в экономической теории. Одним из основных экономических законов — закон убывающей доходности, который формулируется так: с ростом производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и других) с некоторого момента убывает. Этот закон означает, что функция 
которая выражает зависимость выпуска продукции от вложенных ресурсов, есть функция вогнутая.
Другим важным понятием экономической теории является функция полезности 
где х — товар; U — полезность. Эта функция дает субъективную оценку товара для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективную оценку для общества в целом. Закон убывающей полезности такой: с ростом количества товара, дополнительная полезность каждой новой единицы продукции с некоторого момента бывает. Это означает, что функция полезности вогнута.
Пример 4.27. Эпидемия медленно распространяется среди населения. Число заболевших определяется формулой 
, где t — число недель, прошедших с момента начала эпидемии. Найти скорость изменения числа заболевших в момент времени: 
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк., 1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
Основная
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.: Инфра-М, 1997.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.
4. Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
5. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
6. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск, 1968.
7. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.: Экономическое образование, 1989.
8. Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1977.
Дослідження функцій та побудова графиків.
Вопросы:
1. Зростання та спадання функцій.
2. Опуклість, угнутість функцій.
3. Екстремуми функцій.
4. Асимптоти функцій.
5. Точки перегину.
6. Дослідження функцій та побудова графіків.
4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Дата: 2018-11-18, просмотров: 445.
