,                        (9)

где  - угол между вектором и - вектором, направленным из начала общей системы координат в точку расположения n-го элемента (см. рис. 3,а). В дальней зоне излучающей системы можно положить

.                                       (10)

Указанное равенство равносильно тому, что лучи, проведенные в точку наблюдения М из начала общей системы координат и из точки расположения излучаемого элемента, считаются параллельными (см. рис. 3,б). Величина  носит название разности хода лучей. Из параллельности лучей сразу следует равенство угловых координат: , . Следовательно, векторы , создаваемые отдельными излучателями в точке наблюдения, параллельны между собой; компоненты результирующего вектора можно находить как сумму ком понент каждого из элементарных полей; для каждой из компонент поля можно вынести из-под знака суммы функцию, соответствующую комплексной ДН.

Что касается величины , влияющей на амплитуду поля (8), то ее можно заменить на . Возникающая при этом погрешность (оценим ее по модулю, поскольку  может быть как больше, так и меньше r)

где D - максимальный линейный размер излучающей системы. При больших значениях r погрешность .

Естественно, что принятые выше допущения тем строже, чем больше расстояние r. Определим более точно, при каком расстоянии можно ими пользоваться. Основная погрешность при использовании соотношения (10) определяется ошибкой при вычислении фазового множителя, равной

При максимальном значении  и (при расположении начала общей системы координат в середине излучающей системы) эта ошибка равна . Если потребовать, чтобы фазовая ошибка не превышала , т.е. 22,5°, то необходимо, чтобы

.                                           (12)

Из (12) следует, что с увеличением размеров излучающей системы граница дальней зоны резко отодвигается от антенны. Так, если D= 10λ, то дальняя зона начинается с r = 200λ. При частоте f =10 ГГц это расстояние составит 6 м. При D = 100λ граница дальней зоны начинается с расстояния r = 20000λ, что соответствует 600 метров.

Условие (12) дает верхнюю границу дальней зоны во всем секторе углового положения точек наблюдения относительно антенны, поскольку оно справедливо для углов , близких к . При значениях , близких к нулю, требования к расстоянию r , значительно ослабляются, т.е. граница дальней зоны в этих направлениях приближается к антенне и определяется, по существу, уже не фазовыми ошибками, а амплитудными погрешностями, обусловленными отличием  от r. Таким образом, при заданной геометрии антенны граница дальней зоны зависит от углового положения точек наблюдения.

Обычно расстояние между передающей антенной и точкой приема существенно больше, чем это требуется формулой (12), однако знание границы дальней зоны важно при экспериментальном исследовании характеристик антенн, в частности при измерении ДН.

Вернемся к процедуре нахождения результирующего поля, излучаемого системой из дискретных излучателей с известным законом распределения тока в элементах. В дальней зоне выражение для поля n -го излучателя (12) в единой системе координат r , ,  примет вид

При этом каждую компоненту результирующего поля можно вычислить как

Описанные выше излучающие системы из идентичных элементов носят название антенных решеток (АР) и широко применяются в антенной технике для увеличения направленности излучения. Из последнего выражения видно, что для АР диаграмма направленности всей излучающей системы, т.е. зависимость напряженности поля от угловых координат, определяется для каждой из компонент выражением

                                    (14)

где  - комплексная ДН излучающего элемента, а множитель  носит название множителя системы (множителя решетки).

Подчеркнем, что множитель системы для любой антенной решетки из элементов, идентично расположенных в пространстве, определяется тремя факторами: амплитудой токов в элементах, фазами токов в элементах и фазовым сдвигом между полями, обусловленными разностью хода лучей от каждого элемента по сравнению с лучом, проведенным в точку наблюдения из начала общей системы координат.

Поскольку, как уже отмечалось, наибольший интерес представляет поле, созданное антенной на расстоянии, превышающем границу дальней зоны (12), перечислим основные свойства электромагнитного поля, созданного любой антенной в этой области:

1) Радиальные составляющие векторов  и  в дальней зоне направление распространения отсутствуют: , .

2) Векторы  и  перпендикулярны друг другу и направлению распространения.

3) Зависимость амплитуды поля от координаты r в дальней зоне определяется множителем , от угловых координат  и  - формой амплитудной ДН . Зависимость фазы поля от координаты r в дальней зоне определяется множителем , от угловых координат – формой фазовой ДН.

4) Среднее (во времени) значение плотности потока мощности в дальней зоне связано с комплексным вектором Пойнтинга, определяется по известному соотношению.

Расчет поля в области промежуточной и ближней зон существенно сложнее, чем в дальней зоне, ввиду невозможности использования принятых выше допущений. Основное отличие структуры поля в промежуточной зоне от поля в дальней зоне проявляется в том, что на монотонное убывание поля по закону накладывается осциллирующее амплитудное затухание, а угловая зависимость поля оказывается зависящей от r , т.е. ДН в промежуточной зоне искажается.

В ближней зоне поля имеют как поперечные, так и продольные составляющие, зависимость от расстояния r носит здесь нерегулярный характер.Необходимость знания поля в промежуточной и ближней зонах связана с расчетом входного сопротивления антенн, эффектов взаимной связи между близко расположенными антеннами (проблема электромагнитной совместимости (ЭМС)), влияния поля антенны на обслуживающий персонал. Кроме того, знание структуры поля в ближней или промежуточной зоне позволяет путем соответствующего пересчета определять ДН антенны в дальней зоне. Это используется на практике для больших антенн, у которых размеры дальней зоны чрезмерно велики, что затрудняет непосредственное измерение ДН в дальней зоне.