Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Под рациональной дробью понимается отношение двух многочленов . Рациональную дробь называют правильной, если степень многочлена , стоящего в числителе, меньше степени многочлена , стоящего в знаменателе.

Перед интегрированием рациональной дроби  надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде

,

где  — многочлен, а  правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где , т.е. трехчлен  не имеет действительных корней;

3) методом неопределенных коэффициентов правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби вида :

4) вычислить неопределенные коэффициенты  для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить получившуюся систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью следующих формул:

1. .

2. .

3. .

При интегрировании интегралов третьего вида, как правило, не используют эту формулу, а делают непосредственно преобразования. Такие интегралы можно интегрировать выделением полного квадрата в знаменателе (см. пример 6.2).

Пример 6.16.

Дроби вида  интегрируют, понижая степень знаменателя (см. в справочниках).

Пример 6.17. Найти интеграл .

Решение. Так как каждый из биномов  входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

.

Освобождаемся от знаменателя:

.

Следовательно,

.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений

из которой найдем: .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

.

Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения в равенстве от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае три частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, являющиеся вещественными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобождения от знаменателя мы получили

.

Действительными корнями знаменателя являются числа 1, 2 и 4. Положим в этом равенстве , тогда

,

откуда , т. е. .

Полагая , получаем , т. е.  

Полагая  будем иметь  т.е.  

В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом,

Пример 6.18. Разложение рациональных дробей на простейшие осуществляется по схеме:

,

Напишем еще разложение дробей на простейшие без нахождения коэффициентов: