Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Лекция 13

Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Методы интегрирования.

Вопросы:

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

2. Основные формулы, используемые при интегрировании.

3. Основные методы интегрирования:

а) Непосредственное интегрирование;

б) Интегрирование методом замены переменной;

в) Интегрирование по частям.

4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

5. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

6. Интегрирование тригонометрических функций.

ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Первообразная функции и неопределенный интеграл

Как известно, математические операции встречаются попарно, образуя пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, потенцирование и логарифмирование. При этом прямые действия почти всегда однозначны, а обратные действия чаще всего многозначные.

В предшествующем разделе рассматривалась операция дифференцирования, когда по известной функции , определялась ее производная. Рассмотрим обратную задачу: по известной функции найти функцию , что

. (6.1)

Определение 6.1. Функция называется первообразной для функции в некотором промежутке , если в каждой точке этого промежутка выполнено равенство (6.1).

Нахождение первообразной для данной функции называют интегрированием. Например, для первообразными являются функции и все функции , где — произвольная постоянная.

Теорема 1. Если и — две первообразные для функции на , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. . По следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции на некотором отрезке равна нулю, то функция на этом отрезке постоянная. Следовательно, существует число С такое, что .

Отсюда следует, что если для функции найдена одна первообразная , то совокупность всех первообразных для имеет вид , где — постоянная величина.

Определение 6.2. Если является первообразной для , то выражение называется неопределенныминтегралом от функции и обозначается символом .

Следовательно, по определению

если .

Знак — символ интеграла, функция — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение, — переменная интегрирования.

Теорема 2. Если функция является непрерывной на некотором отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Таблица неопределенных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Пример 6.3.

Часто, при использовании этого метода, эффективен следующий прием.

Пример 6.4.

Пример 6.5.

Пример 6.6.

Пример 6.7.

Следует обратить внимание на то, что после того как найдена первообразная функция , необходимо произвести обратную замену и вернуться к исходной переменной.

Пример 6.8. Найти интеграл .

Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Производная выражения равна 2/х, а второй множитель 1/x отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2. Следовательно,

2. Замена переменной в неопределенном интеграле производится также с помощью подстановки вида , где — монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:

. (6.2)

Этот метод применяется, если предшествующие два метода не дали результата, замена подбирается таким образом, чтобы появились функции, содержащиеся в таблице основных интегралов.

Докажем эту формулу. Найдем производные левой и правой частей.

Так как производные равны, то левая и правая части (6.2) по следствию из теоремы Лагранжа отличаются на некоторую постоянную, ч.т.д.

Пример 6.9.

Пример 6.10. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , тогда , т.е. , и . Тогда

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям основано на использовании формулы

где — непрерывно дифференцируемые функции от х на отрезке [а,b].

Доказательство. Проинтегрируем равенство

, ч.т.д.

Эта формула дает возможность свести вычисление к вычислению интеграла , если он легче интегрируется. При этом за берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv — та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида , , , где — многочлен, за u следует принять , а за dv — соответственно выражения , , ; для интегралов вида , , за u принимаются соответственно функции , , , а за dv — выражение .

Пример 6.11. Найти интеграл .

Решение.

Пример 6.12. Найти интеграл .

Решение.

Если бы выражения u и dv мы выбрали иначе, например , то получили бы , откуда

и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу.

Пример 6.13.

То есть в одном интеграле иногда приходится применять несколько раз этот метод интегрирования.

Пример 6.14.

Пример 6.15.

Отсюда

Пример 6.16.

Дроби вида интегрируют, понижая степень знаменателя (см. в справочниках).

Пример 6.17. Найти интеграл .

Решение. Так как каждый из биномов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

Освобождаемся от знаменателя:

Следовательно,

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений

из которой найдем: .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения в равенстве от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае три частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, являющиеся вещественными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобождения от знаменателя мы получили