Первообразная функция. Неопределенный интеграл
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Лекция 13

Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Методы интегрирования.

Вопросы:

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

2. Основные формулы, используемые при интегрировании.

3. Основные методы интегрирования:

    а) Непосредственное интегрирование;

    б) Интегрирование методом замены переменной;

    в) Интегрирование по частям.

4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

5. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

6. Интегрирование тригонометрических функций.

ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Первообразная функции и неопределенный интеграл

Как известно, математические операции встречаются попарно, образуя пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, потенцирование и логарифмирование. При этом прямые действия почти всегда однозначны, а обратные действия чаще всего многозначные.

В предшествующем разделе рассматривалась операция дифференцирования, когда по известной функции , определялась ее производная. Рассмотрим обратную задачу: по известной функции  найти функцию , что

                                                  .                                          (6.1)

Определение 6.1. Функция  называется первообразной для функции  в некотором промежутке , если в каждой точке этого промежутка выполнено равенство (6.1).

Нахождение первообразной  для данной функции  называют интегрированием. Например, для  первообразными являются функции  и все функции , где  — произвольная постоянная.

Теорема 1. Если  и  — две первообразные для функции  на , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. . По следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции на некотором отрезке равна нулю, то функция на этом отрезке постоянная. Следовательно, существует число С такое, что .

Отсюда следует, что если для функции  найдена одна первообразная , то совокупность всех первообразных для  имеет вид , где  — постоянная величина.

 

Определение 6.2. Если  является первообразной для , то выражение  называется неопределенныминтегралом от функции  и обозначается символом .

Следовательно, по определению

,

если .

Знак  — символ интеграла, функция  — подынтегральная функция,  — подынтегральное выражение,  — переменная интегрирования.

Теорема 2. Если функция является непрерывной на некотором отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

 

Таблица неопределенных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

 

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Пример 6.3.

.

.

Часто, при использовании этого метода, эффективен следующий прием.

Пример 6.4.

.

 

Пример 6.5.

.

Пример 6.6.

.

.

Пример 6.7.

.

Следует обратить внимание на то, что после того как найдена первообразная функция , необходимо произвести обратную замену и вернуться к исходной переменной.

Пример 6.8. Найти интеграл .

Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Производная выражения  равна 2/х, а второй множитель 1/x отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2. Следовательно,

2. Замена переменной в неопределенном интеграле производится также с помощью подстановки вида , где  — монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:

.                                        (6.2)

Этот метод применяется, если предшествующие два метода не дали результата, замена подбирается таким образом, чтобы появились функции, содержащиеся в таблице основных интегралов.

Докажем эту формулу. Найдем производные левой и правой частей.

.

.

Так как производные равны, то левая и правая части (6.2) по следствию из теоремы Лагранжа отличаются на некоторую постоянную, ч.т.д.

Пример 6.9.

.

Пример 6.10. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , тогда , т.е. , и . Тогда

.

 

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям основано на использовании формулы

,

где  — непрерывно дифференцируемые функции от х на отрезке [а,b].

Доказательство. Проинтегрируем равенство

.

, ч.т.д.

Эта формула дает возможность свести вычисление  к вычислению интеграла , если он легче интегрируется. При этом за  берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv — та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида , , , где  — многочлен, за u следует принять , а за dv — соответственно выражения , , ; для интегралов вида , ,  за u принимаются соответственно функции , , , а за dv — выражение .

Пример 6.11. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 6.12. Найти интеграл .

Решение.

Если бы выражения u и dv мы выбрали иначе, например , то получили бы , откуда

 

и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу.

Пример 6.13.

То есть в одном интеграле иногда приходится применять несколько раз этот метод интегрирования.

Пример 6.14.

.

Пример 6.15.

Отсюда

 

Пример 6.16.

Дроби вида  интегрируют, понижая степень знаменателя (см. в справочниках).

Пример 6.17. Найти интеграл .

Решение. Так как каждый из биномов  входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

.

Освобождаемся от знаменателя:

.

Следовательно,

.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений

из которой найдем: .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

.

Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения в равенстве от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае три частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, являющиеся вещественными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобождения от знаменателя мы получили

.

Действительными корнями знаменателя являются числа 1, 2 и 4. Положим в этом равенстве , тогда

,

откуда , т. е. .

Полагая , получаем , т. е.  

Полагая  будем иметь  т.е.  

В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом,

Пример 6.18. Разложение рациональных дробей на простейшие осуществляется по схеме:

,

Напишем еще разложение дробей на простейшие без нахождения коэффициентов:

 

Пример 6.19.

.

2.  

Этот интеграл находится подстановкой .

3.

4.

5.

Пример 6.20.

 

Проверка:

 

Пример 6.21.

.

2. Интегрирование произведений синусов и косинусов производится с помощью формул:

Пример 6.22.

3. Интегрирование четных степеней синусов и косинусов производится понижением степени по формулам .

Пример 6.23.

4. Интегрирование нечетных степеней синусов и косинусов производится с помощью замены функции.

Пример 6.24.

 

Можно использовать следующие подстановки:

.

.

.

 

Лекция 13

Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Методы интегрирования.

Вопросы:

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

2. Основные формулы, используемые при интегрировании.

3. Основные методы интегрирования:

    а) Непосредственное интегрирование;

    б) Интегрирование методом замены переменной;

    в) Интегрирование по частям.

4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

5. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

6. Интегрирование тригонометрических функций.

Дата: 2018-11-18, просмотров: 351.