Первый замечательный предел

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:

Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.

Задача 2.1.в. Вычислить

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . При получаем:

Прежде всего, сделаем замену переменной , так, чтобы новая переменная стремилась к 0, когда :

Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем

Отсюда

Пусть сначала , тогда . Чтобы свести полученное выражение к формуле , поделим и умножим на , а на :

Заменяя пределы дробей и на 1, получаем

При имеем , и предел отличается только знаком:

Второй замечательный предел.

Справедлива формула

Задача 2.1.г. Вычислить .

Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида , где при . Для этого прибавим и вычтем 1 из :

Получаем:

Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение в пределе при на :

Осталось найти предел показателя степени:

Ответ:

Комбинация первого и второго замечательных пределов.

Задача 2.1.д. Вычислить .

Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида . Предел основания степени равен . Предел показателя степени равен . Неопределенность вида указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела в нашей формуле:

Теперь остается найти предел показателя степени. Делая замену переменной , получаем

Ответ: .

Особенность вида .

Задача 2.1.е. Вычислить

Решение. Чтобы свести данный предел к формуле первого замечательного предела, проведем следующее преобразование:

Мы воспользовались формулой

Поскольку

получаем

Остается сделать замену , откуда , , .

В результате получаем

Ответ: .

Производные.

Производной функции в точке называется предел

Наряду с обозначением для производной используется еще обозначение .

Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.

Рассмотрим дифференцирование степенной функции при некоторых .

Имеется два основных приема дифференцирования функций

1) Формула дифференцирования произведения и частного двух функций

2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)

Примеры дифференцирования сложной функции .

1^°)

2^°)

3^°)

4^°)

5^°)

6^°)

В задачах 2.2.а - 2.2.з для функции требуется найти производную .

Задача 2.2.а .

Задача 2.2.б .

Задача 2.2.в .

Задача 2.2.г .

Задача 2.2.д .

Решение. При дифференцировании этой функции удобно воспользоваться приемом, который называется логарифмическим дифференцированием. Прежде чем вычислять производную, найдем логарифм функции :