Цель работы: изучение и освоение методики составления и практической реализации плана первого порядка дробного факторного эксперимента.

Задание

1. Для условий плоского шлифования детали на плоскошлифовальном станке определить факторы, влияющие на волнистость обработанной поверхности;

2. Определить основной, нижний и верхний уровни факторов, а также интервал варьирования;

3. Закодировать факторы и составить план дробного факторного эксперимента и матрицу планирования;

4. Реализовать матрицу планирования, предварительно рандомизировав проведение экспериментов во времени;

5. Рассчитать коэффициенты регрессии и проверить их значимость;

6. Проверить гипотезу адекватности найденной линейной модели, связывающей волнистость обработанной поверхности с независимыми факторами.

7. Построить графики зависимостей волнистости обработанной поверхности от независимых факторов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При большом числе факторов (к>3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться линейным приближением, т. е. получить адекватную модель в виде полинома , то число опытов можно резко сократить в результате применения дробного факторного эксперимента.

Таблица 1

Матрица планирования

Так, например, в полном факторном эксперименте типа 2² при линейном приближении коэффициент регрессии b ₁₂ можно принять равным нулю, а столбец X₁ Х₂ матрицы (табл. 1) использовать для третьего фактора Х₃.

В этом случае линейная модель будет выражаться уравнением . Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре опыта вместо восьми в полном факторном эксперименте типа 2³.

План эксперимента, предусматривающий реализацию половины опытов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (к>3) возможно применение реплик большей дробности.

Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся частью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают выражением 2 ^{k -р} , где р – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При р = 1 получают полуреплику; при р = 2 получают 1/4-реплику; при р = 3 получают 1/8-реплику и т. д. по степеням двойки.

Так, например, если в полном факторном эксперименте 2³ (табл. 2) один из эффектов взаимодействия (Х₁Х₂, Х₁Х_З, Х₂Х_З, Х₁Х₂Х_З) заменим четвертым фактором Х₄ то получим полуреплику 2^4-1 от полно факторного эксперимента 2⁴. Если два эффекта взаимодействия заменить факторами Х₄ и Х₅, то получим 1/4 – реплику 2^5-2 от полного факторного эксперимента 2⁵. Можно получить 1/8 – реплику от полного факторного эксперимента, заменив три эффекта взаимодействия факторами Х₄, Х₅ и Х₆.

Таблица 2

Матрица полного факторного эксперимента типа 2³

Если заменить четыре эффекта взаимодействия факторами Х₄, Х₅ и Х₆ и Х₇, то получим 1/16 – реплику 2^7-4 от полного факторного эксперимента 2⁷. Реплики, которые используют для сокращения числа опытов в 2^m раз, где т = 1, 2, 3, ..., называют регулярными.

В связи с тем, что в дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми факторами, то найденные коэффициенты уравнения регрессии будут являться совместными оценками линейных эффектов и эффектов взаимодействия.

Коэффициенты  будут оценками совмещенных эффектов, а именно

Коэффициент b ₁ является оценкой влияния фактора X₁ и парного взаимодействия X₂X₃ на функцию отклика. Влияние фактора X₁ в этом случае характеризуется величиной , а влияние взаимодействия – величиной . Оценки, в которых невозможно разделить линейный эффект и эффект взаимодействия, называют смешанными. Линейные эффекты рекомендуется смешивать, прежде всего, с их взаимодействиями, которые согласно априорной информации незначимы.