Т а б л и ц а 2

Психрометрическая таблица относительной влажности воздуха

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЁРДОГО ТЕЛА

1. Цель работы — изучение основных законов вращательно­го движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Краткая теория

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси все точки этого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, совпадающей с осью вращения тела.

Угловое положение любой точки твёрдого тела при вращении его вокруг неподвижной оси определяется (измеряется) углом поворота  тела вокруг заданной оси. В системе СИ за единицу измерения плоского угла принят радиан.

Зависимость угла поворота тела от времени  называется уравнением вращательного движения. Конкретный вил этого уравнения зависит от таких характеристик, как угловая скорость вращения  и угловое ускорение . Твёрдое тело может вращаться равномерно, равноускоренно или равнозамедленно и неравномерно.

Средняя угловая скорость вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси  измеряется отношением угла , на который повернулось тело за время , к величине этого промежутка времени. Предел, к которому стремится средняя угловая скорость при стремлении   к нулю, т. е. производная углового перемещения  по времени , называется мгновенной угловой скоростью. Быстрота изменения угловой скорости во времени характеризуется угловым ускорением:

.

В системе СИ угловая скорость измеряется в радианах в секунду , а единицей измерения углового ускорения принят радиан на секунду в квадрате .

И угловая скорость, и угловое ускорение — величины векторные и они относятся к группе аксиальных (осевых) векторов, т. е. таких векторов, направление которых определённым образом связано с направлением вращения твёрдого тела относительно заданной оси (рис. 1). Так, например, вектор угловой скорости совпадает с осью вращения, а положительное направление этого вектора определяется по правилу правого винта (буравчика). Вектор углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, когда угловая скорость вращения тела возрастает . Вектор  будет иметь направление противоположное направлению угловой скорости, если угловая скорость вращения твёрдого тела убывает .

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек этого тела. Что касается таких величин, как линейная скорость  и линейное ускорение , то они одинаковы только для точек, равноудалённых от оси вращения. Однако для любой точки вращающегося твёрдого тела существует вполне определённая связь между соответствующими кинематическими характеристиками, а именно:

,

где  — модуль радиуса-вектора -й точки.

Для того чтобы твёрдое тело привести во вращение вокруг неподвижной оси, необходимо хотя бы в одной из его точек приложить внешнюю силу, но так, чтобы линия действия этой силы не пересекалась с осью вращения рассматриваемого тела, не совпадала бы с этой осью и не была бы параллельна ей. Из сказанного следует, что не всякая сила может вызвать вращение тела.

Рассмотрим случай, когда на твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси (рис. 2), действует сила , расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, а положение точки А приложения этой силы определяется радиусом-вектором . Сила  называется вращающей силой. Величина , равная векторному произведению , называется вращающим моментом. Положительное направление вектора  определяется аналогично вектору угловой скорости  тела, т. е. по правилу правого винта.

Численное значение (модуль) вектора вращающего момента вычисляется по формуле .

Величина  представляет собой кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела и называется плечом  силы .

В системе СИ единица момента силы .        Рис. 2.

Если на тело, закреплённое на оси, действуют одновременно несколько сил, то суммарный момент будет равен алгебраической сумме моментов всех действующих на данное тело сил:

.

Вращающий момент сообщает твёрдому телу угловое ускорение, величина которого зависит не только от величины вращающего момента, но и от момента инерции рассматриваемого тела относительно заданной оси.

По определению моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется произведение массы  этой материальной точки на квадрат её расстояния  от оси вращения: .

Момент инерции всего тела относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции всех составляющих его частиц относительно этой оси:

                                                    (1)

где  и — соответственно масса -й частицы и её расстояние до оси
(i = l, 2,..., n).

Из приведённого соотношения следует, что чем больше масса тела и чем дальше от оси вращения расположены частицы этого тела, тем больше и его момент инерции. Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от того, как эта масса распределена относительно оси вращения.

Закон, устанавливающий зависимость между  и , характеризует вращательное движение твёрдого тела с учетом действующих на это тело сил и называется основным законом динамики вращательного движения.

В общем случае основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела может быть записан в таком виде:

.                                    (2)

Если в процессе вращения твёрдого тела момент инерции остаётся постоянным, то уравнение (2) упрощается:

,                                            (3)

или

,

откуда:

.                                                (4)

Из выражения (4) следует, что угловое ускорение твёрдого тела при его вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции твёрдого тела относительно этой оси.

Уравнение (4) аналогично уравнению, выражающему второй закон Ньютона. Оно отличается тем, что в нём сила заменяется моментом силы, а масса — моментом инерции тела.

Кинетическая энергия  твердого тела в случае вращения тела вокруг неподвижной оси связана с угловой скоростью  и моментом инерции  этого тела соотношением:

.                                           (5)

Фундаментальные работы по теории вращения твёрдого тела принадлежат Леонарду Эйлеру, Софье Ковалевской, Н. Е. Жуковскому, А. Н. Крылову и др.