Тема: «Функции, их свойства и графики. Степенная функция»

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Тема: «Функции, их свойства и графики. Степенная функция»

Степени. Корни.

Определения степеней:

1. aⁿ= a × a × … × a, n Î N.

2. a¹ = a

3. а ⁰= 1 , (0 ⁰ - не имеет смысла).

4. , .

5. , a³ 0, n Î N , т Î Z.

Свойства степеней:

Четная степень отрицательного числа есть число положительное.

Нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное.

Любая степень положительного числа есть число положительное.

4. 0 ⁿ= 0 , n Î N .

5. 1 ⁿ = 1 , n Î N .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Определения корней:

1. .

Свойства корней:

1. , а ³ 0, b ³ 0.

2. , а ³ 0, b > 0.

3. , а ³ 0, n Î N, k Î N.

4. , а ³ 0, n Î N, т Î N.

5. , а ³ 0, n Î N, т Î N , k Î N.

6. При любом значении а .

2. Числовая функция: область определения, множество значений, способы задания

Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятия постоянной и переменной величин. Все величины, изучаемые в математике, делятся на постоянные и переменные.

Определение: Величина называется постоянной, если она в условиях данного эксперимента сохраняет одно и то же значение.

(Постоянная – const. (лат.))

Пример: Постоянными величинами являются:

1. длина радиуса данной окружности;

Температура кипения воды при постоянном давлении.

Замечание: Некоторые постоянные сохраняют свое числовое значение при любых условиях, их называют абсолютными постоянными.

Пример: Абсолютными постоянными величинами являются:

1. сумма углов треугольника;

2. скорость света в пустоте;

3. количество секунд в минуте;

4. p = 3,14…;

5. е = 2,718281828459045… .

Определение: Величина называется переменной, если она в условиях данного эксперимента может принимать различные значения.

Пример: Скорость камня, брошенного вверх, является переменной величиной.

В практических задачах часто рассматриваются переменные величины, которые связаны между собой так, что значения одной определяют значения другой.

Пример: Объем V шара радиуса R определяется по формуле .

; p – постоянные величины;

R – независимая переменная;

Монотонность функций

Определение: Функция называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (Рис. 1).

х₂

х₁

у₂

у₁

х₃

у₃

х₂

х₁

у₂

у₁

х₃

у₃

Определение: Функция называется убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. (Рис. 2)

Рис. 1. Рис. 2

Вывод: График возрастающей функции - восходящая кривая, график убывающей функции - нисходящая кривая при перемещении вдоль оси абсцисс в положительном направлении.

Определение: Функция только возрастающая или только убывающая на данном промежутке называется монотонной на этом промежутке.

монотонно возрастающая монотонно убывающая не монотонная функция функция функция

Обратимость функций

Определение: Функция называется обратимой (имеет обратную функцию), если она принимает каждое свое значение один раз.

х ₃

у ₁

х ₂

х ₁

Рис. 1: Рис. 2:

Функции (Рис. 1) и (Рис. 2) определены на и имеют множество значений .

Функция принимает каждое свое значение один раз, то есть у = f ( х ) - обратимая функция.

Функция принимает некоторые свои значения не один раз, то есть у = j ( х ) - необратимая функция.

Вывод: Обратима только монотонная функция.

Пример: Найти функцию обратную функции . Построить графики взаимно обратных функций.

Решение:

1. Из формулы выразим х через у: ; ; .

В полученной формуле поменяем местами х и у: .

и - взаимно обратные функции.

- 3

- 4

- 5

- 4

- 5

- 2

l₁

l₂

Построим графики взаимно обратных функций и :

х - 2 2

у - 5 3

х - 5 3

у - 2 2

График функции - прямая l₁ проходит через точки (- 2; - 5) и (2;3).

График функции - прямая l₂ проходит через точки (- 5; - 2) и (3;2).

Прямая является осью симметрии прямых l₁ и l₂ .

Вывод:

1. Чтобы получить функцию, обратную данной функции , надо из формулы выразить х через у и в полученной формуле поменять местами х и у.

2. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .

Ограниченность функций

Определение: Функция называется ограниченной, если существуют два числа т и М такие, что все значения функции удовлетворяют условию , то есть .

Определение: Функция называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что все значения функции удовлетворяют условию

, то есть .

Определение: Функция называется ограниченной снизу, если существует число т такое, что все значения функции удовлетворяют условию , то есть .

- ограниченная функция - ограниченная сверху, но неограниченная снизу функция

- ограниченная снизу, но - неограниченнаясверху неограниченная сверху функция и снизу функция

Упражнения:

1. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Найти область определения функции, заданной формулой:

U AAYACAAAACEAndLTfpAKAAAyVgAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAAnn+zuEAAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAADqDAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1s UEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAPgNAAAAAA== ">

а) ; б) ; в) .

3. Дана функция на отрезке .

Найти обратную ей функцию и ее область определения.

4. Исследовать функцию, заданную графиком:

Схема исследования функции

Область определения функции.
Множество значений функции.
Четность, нечетность функции.
Монотонность функции.
Обратимость функции.
Нули функции.
Промежутки знакопостоянства функции.
Ограниченность функции.

4. Линейная функция, ее свойства и графики

Определение: Линейной функцией называется функция вида , где x – независимая переменная, k, b – некоторые числа.

Замечание: Графиком линейной функции является прямая.

1. Область определения функции : .

2. Множество значений функции : .

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

; f ( - х ) = k ∙ ( - х ) + b = - k ∙ x + b;

и .

Функция является монотонной:

Рис. 1. Рис. 2.

Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

a - угол наклона прямой l к положительному направлению оси Ох.

k = tg a - угловой коэффициент прямой l .

Þ – монотонно возрастающая функция (Рис. 1.)

Þ – монотонно убывающая функция (Рис. 2.)

5. Функция является обратимой:

; - функция, обратная для .

у = 0; ; - нуль функции ( k ¹ 0 ).

Рис. 3. Рис. 4.

; ; ; ;

y < 0; y > 0;

y > 0. y < 0 .

8. Функция неограниченная:

9. При х = 0 у = b.

– точка пересечения прямой с осью Оу.

b – начальная ордината – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу .

b > 0

(0; b)

b < 0

(0; b)

Рис. 5. Рис. 6.

Частные случаи линейной функции .

1. k = 0; y = b ( у = const );

2. b = 0, k ¹ 0; y = k x – прямая пропорциональность.

Пример:

О

у

1

- 2

1

a

х

О

у

1

- 1

1

a

- 1

Рис.1 Рис. 2

- 1

- 2

- 1

Рис. 3 Рис. 4

- 1

у = 0, a = 0

- 1

Рис. 5 Рис. 6

5. Степенная функция, ее свойства и графики

Определение: Функция вида , где a Î R, называется степенной функцией.

( a - натуральное четное число)

1. Область определения функции: (любое действительное число можно возвести в квадрат).

2. Множество значений функции:

(при возведении в квадрат любого действительного числа получается неотрицательное число).

;

х = 0 у = 0;

-1

-2

-3

Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой и второй координатных четвертях.

3. Функция является четной, так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого х Î R выполняется равенство .

Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат.

4. Функция не является монотонной, так как она убывает при и возрастает при .

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

( b = 0, c = 0) ( b = 0) ( c = 0)

Общий случай: ( b ¹ 0, c ¹ 0)

Область определения функции: Х = R.
Координаты вершины параболы А ( т, п ) определяются по формулам:

Множество значений функции: при а > 0 ;

при а < 0 .

Функция ни четная ни нечетная, так как .

Рис. 4 Рис. 5

а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0

Функция не монотонная:

при а > 0 у - убывает;

у - возрастает;

при а < 0 у - возрастает;

у - убывает.

Функция не обратимая, так как не монотонная.
Нули функции:

;

; х_1;2 - нули функции;

; х - нуль функции;

; нулей функции нет.

Промежутки знакопостоянства:

х₁

х₂

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;

х₁

х₂

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;

При функция ограниченная снизу, так как при любом ; при функция ограниченная сверху, так как при любом .

7. Уравнения с одной переменной

7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если , и противоположное число - а, если .

Обозначение: - модуль числа а.

Замечание:

1. Из определения следует, что при любом действительном а .

2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.

- 2

3,5

- 1

½2 ½

½ - 2 ½

½3,5 ½

½0 ½

½ - 2 ½= 2; ½2 ½= 2; ½3,5 ½= 3,5; ½0 ½= 0.

3. ½b - а½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b .

½ b ½

½ a ½

½ b - a ½

½а ½

½ b ½

½ b - a ½

½b - а½= b - а , если b > а ½b - а½= а - b , если b < а

Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:

1. Раскрытие модуля по определению.

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

3. Разбиение на промежутки.

Пример:

1. .

Решение:

Так как при любом х , то уравнение решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

2. .

Решение:

Раскроем по определению:

Ответ: х₁= 4; х₂ = - 1 .

Теорема: Если обе части уравнения , где при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п , то получится уравнение , равносильное данному.

3. .

Решение:

Если х+1 < 0 , то уравнение корней не имеет, так как .

Если х+1 ≥ 0 , то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

; ; ;

;

; ; ; .

Ответ: ; .

4. .

Решение:

, .

Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:

Û Û ;

;

; ;

; .

Ответ: ; .

5. .

Решение:

1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0.

3 – х = 0 при х = 3.

х + 2 = 0 при х = – 2.

2) Числовая прямая разбивается на промежутки: .

Определим знак каждого из двучленов в полученных промежутках:

3 – х

х +2

- 2


3 – х	+	+	-
х +2	-	+	+

3) Решим уравнение на каждом промежутке:

При ; .

При ; .

Ответ: .

Упражнения:

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. .

7.2. Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Замечание: Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно сначала освободиться от корней, подкоренные выражения которых содержат переменную. Чаще всего этого добиваются возведением в квадрат обеих частей уравнения. Однако при этом могут появиться «посторонние» корни, которые не удовлетворяют данному иррациональному уравнению. Появление «посторонних» корней возможно при расширении области определения данного иррационального уравнения.

Вывод: При решении иррациональных уравнений необходима проверка.

Пример: