Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Мы уже знаем, что алгебраическая форма комплексного сопротивления Z имеет действительную R и мнимую jX части

.

Значение действительной и мнимой частей определяются составом и структурой схемы. Для схемы с последовательно включенными R, L, и С элементами реактивное сопротивление

Очевидно, что значение слагаемых зависит от частоты . При малых частотах емкостная составляющая имеет большое значение, а индуктивная - малое. Поэтому реактивное сопротивление схемы Х принимает емкостной характер. При больших частотах Х принимает индуктивный характер. Существует такая частота  при которой

При этой частоте реактивное сопротивление равно нулю, а комплексное сопротивление цепи становится активным. Такой режим выделяют особо и называют резонансным.

При резонансном режиме работы электрической цепи принимают режим, при котором ее сопротивление является чисто активным.

Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

 

Резонанс токов

Резонанс токов возникает в цепи с параллельным включением элементов (рис.5.1). Такая цепь содержит два сложных потенциальных узла, а все элементы находятся под одним и тем же напряжением

                                                                                   (5.1)

 

 

Для любого из узлов - 1 или 1’ справедлив первый закон Кирхгофа:

                                                        (5.2)

Применяя к (5.2) выражения (1.7) и (1.12) приведем его к виду

                                          (5.3)

Подставим в (5.3) вместо u(t) его значение из (5.1) и решим его

                         (5.4)

Векторная диаграмма, построенная по (5.4) приведена на рис. 5.2. В качестве исходного в ней принят общий для всех элементов цепи вектор напряжения . С этим вектором совпадает по направлению вектор тока через резистор. Его величина равна

Вектор тока через индуктивность  отстает от вектора напряжения, а вектор тока через емкость опережает его на 90^о. Проведем последовательное сложение векторов . Результатом сложения является вектор Он сдвинут по фазе относительно вектора  на угол j. Разность векторов  дает вектор реактивного тока . Его величина

                                                                      (5.5)

Векторы и  образуют треугольник токов. Для этого треугольника справедливы выражения

         (5.6)

 

                                                     (5.7)

Треугольник токов наглядно показывает, что для достижения резонанса в цепи необходимо обеспечить равенства противофазных токов  и . Тогда результирующий реактивный ток цепи  и угол j будут равны нулю, а сопротивление цепи станет активным. Из выражения (5.5) видно что  может быть равно нулю при соблюдении условия

 

                           (5.8)

Отсюда легко определить:

-частоту , на которой наступает резонанс (резонансную частоту) при заданных значениях элементов L и С

;                  (5.9)

-значение одного из элементов L или С, если заданы резонансная частота и другой элемент

       .                (5.10)  

Определим значение тока всей цепи и токов, протекающих в ее ветвях в режиме резонанса.

Действующее значение тока всей цепи  на частоте  легко найти по (5.6)

                  (5.11)

Но это значение равно току, протекающему через активное сопротивление цепи  т.е.

                 (5.12)

Ток, протекающий через элемент L определим по закону Ома

.              (5.13)

Подставляя в (5.13) вместо U его значение из (5.11) получим

               (5.14)

Аналогично определяем выражение для тока через элемент

                  (5.15)

Принимая во внимание (5.8) нетрудно сделать вывод о том, что токи протекающие через индуктивный и емкостной элементы равны по величине, но противоположны по фазе. Величина Q равная

           (5.16)

может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью.

Еще раз подчеркнем замечательную особенность цепи в режиме резонанса. Токи протекающие в ветвях реактивных элементов могут принимать значения в десятки и сотни раз больше общего тока цепи. Поэтому резонанс цепи называют резонансом токов. Очень важно и то, что они противофазны. Именно это указывает на то, что в цепи происходит колебательный процесс с частотой  по передаче электрической энергии конденсатора в магнитную энергию индуктивности и наоборот. Энергия источника на этот процесс не затрачивается (при идеальных L и С). Она расходуется только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь рис.5.1. называют параллельным колебательным контуром.

Чтобы завершить анализ цепи рассмотрим зависимость ее токов и напряжения от частоты (рис.5.4). Ток, протекающий через элемент R - i_R определяется законом Ома и не зависит от частоты. Ток через емкость i_c  согласно (5.15) прямопропорционален частоте, а ток через индуктивность i_L -обратнопропорционален. На частоте  они равны по величине, но противоположны по направлению. Общий ток цепи определяется суммой трех токов. Поэтому он имеет большое значение на частотах, дальних от резонансной, но принимает значение i_R на резонансной частоте. Физически это означает что на резонансной частоте проводимость цепи минимальна (она равна проводимости только элемента R). Поэтому падение напряжения между узлами 1-1’ максимально на частоте и имеет вид резонансной прямой. В силу этих качеств параллельный колебательный контур широко применяют в радио и радиотехнических устройствах для выделения сигналов на заданной частоте.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным включением элементов (рис.5.5)

Известно, что комплексное сопротивление токов цепи определяется выражением.

По определению резонанс в цепи рис.5.5 наступает когда выполнится условие

Отсюда видно, что резонанс в цепи возникает на частоте

 

Очевидно также, что

, .

Видим, что полученные выражения полностью соответствуют (5.9) и (5.10). Это подтверждает единство физической сути различных видов резонанса.

Определим ток и напряжение всей цепи , а также падение напряжения на ее отдельных элементах в режиме резонанса.

Так как сопротивление всей цепи в режиме резонанса минимально и равно R то ток в ней максимален и равен

  ,               (5.17)

а падение напряжения определяется ЭДС источника - Е.

Падение напряжения на отдельных элементах легко найти по закону Ома. Так, падение напряжения на резисторе R равно

                          (5.18)

Тривиальный математически результат интересен по физической сути. Все напряжение источника выделяется на одном элементе цепи.

Падение напряжения на индуктивности равно

 

                  (5.19)

Величина

                           (5.20)

называется добротностью и может принимать значение десятков и сотен единиц. Значит, падение напряжения на индуктивности может в десятки и сотни раз превышать ЭДС источника.

Падение напряжения на емкости равно

               (5.21)

Так как , то падение напряжения на емкости равно по величине падению напряжения на индуктивности, но согласно (5.8) они противоположны по знаку. Отношение напряжения на индуктивности или на емкости в режиме резонанса к току в этом режиме называют характеристическим сопротивлением , причем

                                               (5.22)

В силу того что

,

рассматриваемый режим назван резонансом напряжений. Противофазность напряжений  и  указывает на то, что в цепи происходит такой же колебательный процесс с частотой , как и в параллельном колебательном контуре.

Здесь также энергия источника затрачивается только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь называется последовательным колебательным контуром.

Завершим анализ резонанса напряжений разбором частотной зависимости тока цепи рис.5.5. и падений напряжений на элементах L и С от частоты (рис.5.6). На рисунке пунктиром отмечен график ЭДС. Падение напряжения на идеальной индуктивности при  равно нулю. С увеличением частоты сопротивление индуктивности, а значит и падение напряжения на ней увеличивается. Когда частота устремляется в бесконечность сопротивление Х_L также устремляется в бесконечность. При этом падение напряжения стремится к Е. Между крайними точками существует экстремум напряжения  который находится по формуле

                                                                                         (5.23)

Частота, на которой достигается этот максимум определяется выражением

                                                                                    (5.24)

Сопротивление емкости на частоте  равно бесконечности и значит напряжение на ее обкладках равно Е. С увеличением частоты сопротивление Х_С уменьшается, а при стремится к нулю. Между крайними точками также существует экстремум причем

                                                                                            (5.25)

Частота, на которой достигается этот максимум определяется выражением

                                                                                      (5.26)

Так как подкоренное выражение в (5.24) и (5.26) всегда меньше единицы то очевидно, что

Кроме того

.

В силу этих особенностей единственным верным признаком наступления резонанса в цепи является максимум тока, значение которого изменяется с изменением частоты по резонансной кривой.