Устойчивость САР

Переходный процесс в автоматической системе зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе две составляющие: свободное движение, определяемое начальными условиями и свойствами системы; вынужденное движение, которое определяется возмущением и также свойствами системы. Свободное движение должно с течением времени стремиться к нулю, так как это определяет устойчивость системы. В устойчивых САР переходный процесс затухает (рис. 62), а в неустойчивых – расходится (рис. 63).

Для аналитического определения характера переходного процесса необходимо составить дифференциальное уравнение движения системы в переходном процессе и проинтегрировать его, т. е. определить y(t).

Рис. 62.                                       Рис. 63.

В общем виде дифференциальное уравнение движения относительно Δу при затухающем процессе можно записать как

.

Нуль в правой части означает, что процесс затухает. Коэффициенты  являются постоянными, определяемыми параметрами системы. Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет вид

,                                (4)

где р – оператор.

Известно, что корни такого уравнения в общем случае есть комплексные числа вида . Необходимым и достаточным условием устойчивости является отрицательное значение всех вещественных частей корней характеристического уравнения. Если хотя бы один , то система неустойчива. Если же все , но имеются нулевые или чисто мнимые корни, то система имеет переходный процесс с незатухающими колебаниями, так называемая консервативная система, которая также считается неустойчивой.

Чем выше порядок дифференциального уравнения системы, тем сложнее искать корни характеристического уравнения. Поэтому были разработаны различные критерии устойчивости, применяемые в инженерных расчетах и позволяющие не решать уравнений. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто применяемые.

1. Критерий Раусса - Гурвица.

Этот критерий позволяет определить устойчивость по коэффициентам уравнения системы. Для этого из коэффициентов характеристического уравнения составляется квадратная матрица, называемая определителем Гурвица. В первой строке матрицы записываются все нечетные коэффициенты, во второй – все четные. При отсутствии какого-либо коэффициента, а также вместо коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля, пишется 0. Например, для характеристического уравнения 4-го порядка:

и в общем виде        

Система автоматического регулирования устройства, если определитель Гурвица, его диагональные миноры и все коэффициенты  положительны. Таким образом, кроме положительности коэффициентов, необходимо определить знак диагональных миноров, отмеченных выше линиями на матрице для уравнения 4-го порядка. Достоинство критерия – простота. Однако применить критерий можно только при постоянстве параметров, и он не позволяет оценить запас устойчивости и быстроту затухания переходного процесса. Обычно применяют критерий для уравнений не выше 4-го порядка.

2. Критерий Найквиста.

По этому критерию об устойчивости замкнутой системы судят по АФЧХ разомкнутой. Для этого необходимо структурную схему замкнутой системы свести к виду, показанному на рис. 64. Затем разомкнуть систему и определить передаточную функцию W(p) = W₁(p)W₂(p). По W(p) строят АФХЧ (годограф). Система устойчива, если годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами 0;–1, рис. 65.

Рис. 64.                                       Рис. 65.

В этом критерии можно определить запас устойчивости по модулю и по фазе. Для этого необходимо провести окружность радиусом R=1, рис. 66.

Проведя радиус через точку пересечения А, можно определить запас устойчивости по фазе как угол  и запас по модулю как отношение отрезков СВ/СО, или , где  – значение АФЧХ разомкнутой системы при частоте , соответствующей  = 180° (точка В), рис. 66.

Рис. 66.

3. Критерий устойчивости по ЛАЧХ.

Этот критерий представляет собой интерпретацию критерия Найквиста при помощи и разомкнутой САР. Замкнутая система устойчива, если  разомкнутой системы при частоте среза  не достигает 180°. При большем сдвиге фаза выходного сигнала меняется на противоположную и система, вместо того, чтобы идти к положению равновесия, уходит от него, рис. 67. Запас по фазе определяется углом  при частоте среза  (рис. 67), а по модулю , где  – частота, при которой  достигает 180°.

Рис. 67.

Для обеспечения удовлетворительных показателей переходного процесса устанавливают L_З ≤ 10 – 20 дБ и = 36–60°.

Различают структурно-устойчивые и структурно-неустойчивые системы. Для первых устойчивость зависит от значения ее параметров. Если при любых параметрах САР неустойчива, она называется структурно-неустойчивой. Способ определения устойчивости по логарифмическим характеристикам хорошо разработан и является инженерным. Здесь легко определить желательную характеристику , выяснить, какие звенья оказывают наибольшее влияние на устойчивость и какую характеристику должны они иметь.

Качество регулирования

Если система устойчива, то следующим этапом является выяснение качества регулирования. Наглядное представление о качестве регулирования системы дает переходная характеристика. У устойчивой системы при мгновенном скачкообразном воздействии переходный процесс может быть апериодическим, или колебательным, рис. 68, а, б.

Рис. 68.

Общими показателями качества для обоих переходных процессов является статическая ошибка Δу и время регулирования t_p. Статическая ошибка – это ошибка, которая определяется как limΔy(t) при t → ∞. Ошибка должна быть меньше допустимой Δy_доп. Время регулирования t_p определяется как время, за которое y(t) достигнет значения у₀ с требуемой точностью, т. е. кривая переходного процесса перестанет выходить за пределы заштрихованной области, ширина которой равна 2Δу_доп, рис. 68. Допустимую ошибку в технике обычно устанавливают 5 или 10 %, но может быть и точнее, например 2 %.

Для колебательного процесса показателями качества дополнительно являются также перерегулирование σ и колебательность М.

Перерегулирование определяется как

.

Перерегулирование обычно допускается не более 20–30 %.

Колебательность системы определяется числом переходов через положение равновесия у₀ . В большинстве случаев допускается М = 2…3. Кроме перечисленных показателей быстродействие САР может характеризоваться также временем первого согласования t_н , временем достижения первого максимума t_max и периодом Т, рис. 68, б.

Существует и интегральная оценка качества, которая заключается в следующем. Если перестроить графики переходных процессов (рис. 68), чтобы у₀ был на линии абсцисс, то получим кривые, показанные на рис. 69 а, б.

Рис. 69.

Величина заштрихованной в обоих случаях площади определяется скоростью затухания переходного процесса, т.е. качеством регулирования системы. Для апериодического процесса площадь под кривой (рис. 68, а):

,

где Δу – отклонение регулируемой величины от заданного значения у₀, о качестве судят по квадратичной зависимости:

.

Интегральный показатель качества может быть вычислен без построения кривой переходного процесса по уравнению h(t). Недостатком интегральных оценок является отсутствие наглядного соответствия между значениями показателей I и другими характеристиками переходных процессов.

Определение формы кривой переходного процесса аналитически (прямой метод) затруднительно, особенно при уравнении высоких порядков и не достаточно информативно, когда требуется выяснить влияние отдельных параметров на показатели качества. Для этих целей разработаны косвенные методы. Однако и эти методы вряд ли можно причислить к исключительно простым. На сегодняшний день при анализе широко используются вычислительная техника и пакеты программ, позволяющие реализовать вышеописанные методы определения устойчивости и качества регулирования быстро и с высокой точностью.

Коррекция САР

Если спроектированная САР не удовлетворяет требованиям запаса устойчивости и качества регулирования, то возникает необходимость в ее коррекции. Без изменения структурной схемы системы можно только повысить общий коэффициент усиления и таким образом снизить статическую ошибку. Но в этом случае повышается скорость регулирования, переходный процесс становится колебательным, или колебания усиливаются, и возможны потеря устойчивости или ухудшение временных показателей качества. Для коррекции в структурную схему вводят дополнительные корректирующие звенья, подключаемые последовательно и параллельно. Положительная обратная связь увеличивает коэффициент усиления звена, отрицательная уменьшает постоянную времени, улучшает устойчивость и изменяет тип звена. При коррекции устойчивости сначала строят ЛАЧХ исходной системы и определяют ЛАЧХ желаемую, изменяя значение . Затем по разности ординат этих характеристик  находят  – ЛАЧХ корректирующего звена. Отсюда определяют W(p)_k и выбирают звено как реальное устройство, обычно как элемент электрической схемы в виде сочетания параметров
RC-цепочки. После этого, учитывая реальные параметры подобранного корректирующего звена, определяют ЛАЧХ скорректированной системы и определяют ее h(t). По характеру кривой h(t) определяют качество регулирования? и если параметры удовлетворяют предъявляемым требованиям, то коррекцию прекращают, а если нет, то производят заново. Для коррекции имеются разработанные рекомендации и номограммы для определения показателей качества регулирования. В настоящее время для расчета САР широко применяется вычислительная техника с пакетами программ, облегчающими и ускоряющими процесс проектирования.