РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

21/1/14 Одобрено кафедрой

«Сопротивление материалов

и строительная механика»

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методические указания к выполнению

Контрольной работы № 1

для студентов III курса

Специальностей:

Локомотивы (Т)

Вагоны (В)

Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование (СМ)

Электрический транспорт железных дорог (ЭПС)

Москва – 2003

Рецензент: д.т.н.Павлов Ю.А., профессор кафедры «Здания и сооружения на транспорте»

Ó Российский государственный открытый технический

университет путей сообщения, 2003

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Примеры решения задач, приведенные в данном методическом указании, относятся к двум видам простого сопротивления материалов: растяжению-сжатию и кручению.

В целях более глубокого понимания предлагаемых решений студентам необходимо изучить по литературным источникам соответствующие разделы курса «Сопротивление материалов». Особое внимание следует обратить на решения задач приведенные в учебниках. Кроме того, следует самостоятельно изучить раздел курса, посвященный определению геометрических характеристик плоских сечений.

К выполняемым контрольным работам предъявляется следующие требования. Каждая контрольная работа должна состоять из расчетов и пояснений к ним. Расчетные схемы и чертежи эпюр можно выполнять в тетради, но лучше это делать на отдельных листах миллиметровой бумаги.

Все схемы и чертежи должны быть выполнены карандашом и в масштабе, удобном для изображения. Схемы и чертежи должны иметь необходимые числовые размеры.

Расчеты в пояснительной записке должны состоять из озаглавленных частей, соответствующих условию задач.

Расчет должен выполняться в следующей последовательности:

1. Записывается расчетная формула или уравнение в общем виде.

2. В формулы или уравнение, подставляются числовые значения, входящих в них величин и приводится результат вычисления. Промежуточные выкладки следует проводить только для сложных выражений.

Все задачи контрольных работ выполняются строго по шифру. Отклонения от шифра влечет за собой возврат контрольной работы и ее повторное выполнение в соответствии с шифром.

Выполненная контрольная работа передается для рецензирования преподавателю кафедры. Работа, выполненная с ошибками, возвращается студенту. Исправление ошибок производится на отдельных листах, вклеенных в не зачтенную работу, и отсылается на повторное рецензирование.

1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ

СЖАТИЕ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

В первом разделе будут рассмотрены статически определимые стержни и стержневые системы, внутренние усилия или реакции связей которых можно определить с помощью уравнений статики.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только одно усилие, продольная сила N (растягивающая или сжимающая). При центральном растяжении или сжатии внешние силы, включая опорные реакции, или их равнодействующие, направлены вдоль оси стержня.

Определение продольных сил

Метод сечений позволяет определять продольную силу в поперечном сечении любого силового участка. Стержень рассекают воображаемой плоскостью перпендикулярно его продольной оси, мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей, а действие на оставшуюся часть заменяют неизвестной продольной силой N (рис. 1,а). Далее составляют единственное уравнение равновесия оставшейся части å Z = 0.

Из этого уравнения определяют значение N, т.е. продольная сила в любом сечении бруса равна сумме проекций внешних сил, действующих на оставшуюся часть, на направление внешней нормали к сечению, взятой с обратным знаком.

Правило знаков

Силу N принято считать положительной при растяжении, т.е. когда она направлена от сечения. При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению.

Эпюра (график) продольных сил дает наглядное представление о законе изменения этих сил на каждом силовом участке, стержня. Эпюра позволяет быстро находить опасные сечения стержня.

Силовой участок стержня – это участок, в котором продольная сила действует по одному определенному закону.

Границами силовых участков стержня являются места приложения внешних сил, включая и реакцию заделки стержня.

Напряжения

При центральном растяжении или сжатии в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределенные нормальные напряжения (рис. 1,б), равные отношению продольной силы N к площади поперечного сечения

[Н/м²] = [Па] (1.1)

Эпюра напряжений для стержней постоянного сечения аналогична эпюре продольных сил, а при ступенчатом изменении площади сечения стержней, эпюра напряжений имеет скачки не только в местах приложения внешних сил, но и в местах изменения сечения. Это связано с тем, что напряжение обратно пропорционально площади сечения.

Границами участков при построении эпюры напряжений для стержня переменного сечения являются не только места приложения внешних сил, но и места ступенчатого изменения площади сечения.

Оценка прочности элементов конструкции, испытывающих растяжение или сжатие, производится по наибольшему нормальному напряжению.

Условие прочности, которое требуется для нормальной эксплуатации конструкции, записывается в виде:

, (1.2)

где – допускаемое напряжение (задается в расчетных нормах или в справочниках).

Допускаемые напряжения равны опасным напряжениям s_оп, деленным на коэффициент запаса прочности n:

. (1.3)

Для хрупких материалов за опасные напряжения принимают предел прочности s_оп = s_в, поэтому

для пластичных материалов – предел текучести s_оп = s_Т, следовательно,

Очевидно, что коэффициент запаса n₁, должен быть больше n₂, так как после появления пластических деформаций стержень еще не разрушается.

Деформации и перемещения

Напряжения, не превосходящие предела пропорциональности, связаны с относительными деформациями законом Гука

, (1.4)

где - относительная деформация;

- абсолютная продольная деформация (удлинение или укорочение участка бруса длиной l с постоянными напряжениями в поперечных сечениях, м;

Е - модуль упругости при растяжении, Па.

Под действием продольных сил происходит удлинение или укорочение силовых участков стержня, а, следовательно, и всего стержня. Если на силовом участке продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, то

где – длина стержня до деформации, м;

– то же, после деформации.

Подставляя выражения для и в (1.4), можно получить формулу для определения абсолютного удлинения стержня.

(1.5)

В случае, когда величина силы N изменяется в пределах силового участка по известному закону, деформация участка складывается из деформаций бесконечно-малых участков , по длине которых величину силы N можно считать постоянной. Тогда, применяя формулу (1.5) можно записать

. (1.6)

Полная деформация участка

; (1.7)

Если на участке с постоянным поперечным сечением действует равномерно распределенная продольная погонная нагрузка t , то усилие от этой нагрузки будет изменяться по закону

. (1.8)

Подставляя (1.8) в (1.7), получим

(1.9)

где - равнодействующая равномерно распределенной погонной нагрузки на данном участке.

Для стержня, имеющего несколько силовых участков, абсолютное изменение длины стержня определяется как алгебраическая сумма деформаций отдельных силовых участков:

, (1.10)

где - абсолютные деформации соответствующих силовых участков стержня, определяемые по формуле (1.5) и (1.9).

Перемещение поперечных сечений стержня вдоль его оси обозначается буквой U и является следствием деформации силовых участков стержня.

Перемещение произвольного сечения стержня равно абсолютному удлинению той части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой. Если известно перемещение сечения в начале участка, длиной l, то перемещение сечения в конце участка в котором действует нормальная сила и, кроме того, по длине участка приложена равномерно распределенная нагрузка, может быть вычислено по формуле

; (1.11)

Знаки у слагаемых определяются соответствием выбранного положительного направления и направлением действия сил.

Отсюда следует, что перемещение поперечных сечений стержня может происходить и на участках, не подверженных деформации, а как результат влияния деформации соседних силовых участков. Это основное отличительное свойство перемещения от деформации.

Определяют перемещения по формуле (1.11) и начинают от неподвижного конца, т.е. от заделки.

Пример 1. Стальной стержень (Е = 2×10⁵ МПа), один конец которого жестко защемлен, другой – свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20 кН/м. Продольные силы и нагрузка вызваны взаимодействием стержня с остальными частями механизма, не показанными на схеме. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения, F или 2F (рис.2,а).