КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине "Прикладная математика"
14 вариант
Выполнил: Рудковский Ф.А.
Москва 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ
АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.
Теперь представим себе, что знакомый предприниматель П, занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб. – второго, у3 руб. – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П.
Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.
Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид 
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 1 единицу ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 2у1 + 1у2 + 3у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы продукции первого вида. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 34 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше 2у1 + 1у2 + 3у3 ³ 34.
Аналогично, для трех оставшихся видов продукции:
+ 5у2 + 4у3³20
2у1 + 4у2 ³8
3у1 + 2у2 + 1у3³23
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 142у1 + 100у2 + 122у3 рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1, у2, у3, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.
Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок у(у1, y2, y3) минимизирующий общую оценку всех ресурсов f = 142у1 + 100у2 + 122у3 (1)
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции
2у1 + 1у2 + 3у3 ³ 34
+ 5у2 + 4у3³ 20 (2)
2у1 + 4у2 ³ 8
3у1 + 2у2 + 1у3³ 23
причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y1 
0, y2 0, y3 0. (3)
Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений 
(х1, х2, х3, х4) и 
(y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий
 | |||
 | |||
x 1 (2у1 + у2 + 3у3 - 34) = 0 y1 (2x1 + 2x3 + 3x4 - 142) = 0
x 2 ( 5у2 + 4у3- 20) = 0 y2 ( x1 +5x2 + 4x3 + 2x4 - 100) = 0
x 3 (2у1 + 4у2 - 8) = 0 y3 (3x1 +4x2 + x4- 122) = 0 .
x 4 (3у1 + 2у2 + у3 - 23) = 0
Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0, x4>0. Поэтому
 |
2y1 + y2 + 3y3 - 34 = 0
3y1 + 2y2 + y3 - 23 = 0
Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у2=0,
то приходим к системе уравнений
2y1 + 3y3 - 34 = 0
3y1 + y3 - 23 = 0
откуда следует у1=5, у3=8.
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=5; у2=0; у3=8, (4)
причем общая оценка всех ресурсов равна 1686.
Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у3=8 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 8 единицы.
ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"
При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют ² узкие места производства ² . Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться услови
H + Q-1T 
0.
Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (t1, 0, t3), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 5t1 + 8t3 (1) при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)
(2)
предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида 
(3)
причем по смыслу задачи t1 0, t3 0. (4)
Переписав неравенства (2) и (3) в виде:
(5)
из условия (3) следует t1£142/3, t3£122/3 (6)
приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).
Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2.
I.) -3/7t1+2/7t3= 26
II.) 5/7t1-1/7t3= 16
III.) 1/7t1-3/7t3 = 32
M (458/15, 122/3)
Программа ²расшивки² имеет вид
t1=458/15, t2=0, t3=122/3 и прирост прибыли составит 5*458/15+8*122/3=478.
Сводка результатов приведена в таблице:
| Cj | 34 8 20 33 | b | x4+i | yi | ti |
| aij | 2 0 2 3 1 5 4 2 3 4 0 1 | 142 100 122 | 0 16 0 | 5 0 8 | 488/15 0 122/3 |
| Xj | 32 0 0 26 | 1686 | 478 | ||
| Dj | 0 12 2 0 |
Таблица 1.
| xj | 0 100 200 300 400 500 600 700 |
| f 1(xj) | 0 20 33 42 48 53 56 58 |
| f 2(xj) | 0 22 37 49 59 68 76 82 |
| f 3(xj) | 0 10 29 42 52 60 65 69 |
| f 4(xj) | 0 16 27 37 44 48 50 56 |
Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f2(x2) складываем со значениями F1(x - x2) = f1(x - x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x’2(x) . Заполняем таблицу 3.
Продолжая процесс, табулируем функции F3(x), x’3(x) и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения x = 700.
Таблица 2
x - x2 0 100 200 300 400 500 600 700
F1(x - x2) 0 20 33 42 48 53 56 58
X2 f2(x2)
0 0 0 20 33 42 48 53 56 58
100 22 22* 42* 55 64 70 75 78
200 37 37 57* 70* 79 85 90
300 49 49 69 82* 91 97
400 59 59 79 92* 101*
500 68 68 88 101
600 76 76 96
700 82 82
Таблица 3
| xj | 0 100 200 300 400 500 600 700 |
| F2(x) | 0 22 42 57 70 82 92 101 |
| x’2(x) | 0 100 100 200 200 300 400 400 |
Таблица 4
x - x3 0 100 200 300 400 500 600 700
F1(x - x3) 0 22 42 57 70 82 92 101
X3 f3(x3)
0 0 0 22* 42* 57* 70 82 92 101
100 10 10 32 52 67 80 92 102
200 29 29 51 71* 86* 99* 111
300 42 42 64 84 99 112*
400 52 52 74 94 109
500 60 60 82 102
600 65 65 87
700 69 69
Таблица 5
| xj | 0 100 200 300 400 500 600 700 |
| F3(x) | 0 22 42 57 71 86 99 112 |
| x’3(x) | 0 0 0 0 200 200 200 300 |
Таблица 6
x - x4 0 100 200 300 400 500 600 700
F1(x - x4) 0 22 42 57 71 86 99 112
X4 f4(x4)
0 0 112
100 16 115*
200 27 113
300 37 108
400 44 101
500 48 90
600 50 77
700 56 56
Наибольшее число на этой диагонали: Zmax = 115 тыс. руб.,
причем четвертому предприятию должно быть выделено x*4 = x’4 (700) = 100 тыс. руб.
На долю остальных трех предприятий остается 600 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено x*3 = x’3 (700- x*4) = x’3 (600) = 200 тыс. руб.
Продолжая обратный процесс, находим x*2 = x’2 (700 - x*4 - x*3) = x’2(300) = 200 тыс. руб.
На долю первого предприятия остается x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*3 = 200 тыс. руб.
Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:
x*1 =200; x*2 =200; x*3 = 200; x*4 = 100.
Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками. Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию). Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения ее доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.
Средний ожидаемый доход: Ǭ = Σqipi
Среднее квадратическое отклонение r= 
Дисперсия: D[Q] = M[Q2]- Ǭ2
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдём средние ожидаемые доходы и риски ri операций. Нанесём точки (Ǭi, ri) на плоскость, найдём операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы φ(Q)=2Q-r найдём лучшую и худшую операции.
Q1: -6 -4 -2 10
1/2 1/4 1/8 1/8
Q2: -6 -2 0 -6
1/4 1/4 1/3 1/6
Q3: -6 -5 -4 3
1/3 1/3 1/6 1/6
Q4: -6 -2 0 4
1/5 1/5 1/5 2/5
Ǭ1 = Σqipi = -6*1/2-4*1/4-2*1/8+10*1/8=-4+1=-3
D[Q1] = M[Q21]- Ǭ21
M[Q21] = 36*1/2+16*1/4+4*1/8+100*1/8=18+4+13=35
r1= 
»5,1
Ǭ2 = -6*1/4-2*1/4-6*1/6= -2-1= -3
M[Q22] = 36*1/4+4*1/4+36*1/6=16
r2»2,64
Ǭ3 = -6*1/3-5*1/3-4*1/6+3*1/6=-23/6 = -3,83
M[Q22] = 36*1/3+25*1/3+16*1/6+9*1/6=24,5
r3= 
» 3,13
Ǭ4 = -6*1/5-2*1/5+4*2/5 = 0
M[Q22] = 36*1/5+4*1/5+16*2/5=14,4
r4 » 3,79
Нанесем средние ожидаемые доходы и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис.):
Получили 4 точки. Чем правее точка (Ǭ, r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Ǭ’, r') доминирует точку (Ǭ, r) если Ǭ'³ Ǭ и r’£ r. В нашем случае 2-я операция доминирует 1-ю и 3-ю, 4-я доминирует 1-ю. Но 2-я и 4-я операции между собой не сравнимы.
Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.
Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Ǭ, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Воспользуемся формулой φ(Q)=2Q-r . Тогда получаем:
φ(Q1)= 2*(-3)-5,1 = -11,1; φ(Q2)= 2*(-3)-2,64=-8,64; φ(Q3)= 2*(-3,83)-3,13=-10,79;
φ(Q4)= -3,79
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине "Прикладная математика"
14 вариант
Выполнил: Рудковский Ф.А.
Москва 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ
АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Дата: 2019-12-22, просмотров: 199.
