Одно из следствий теоремы 5 заключается в том, что облигации, имеющие одинаковые сроки погашения, но различные купонные платежи, могут по-разному реагировать на одно и то же изменение процентной ставки, т.е. курсы этих облигаций могут меняться по-разному при заданном изменении процентной ставки. Однако облигации с одина­ковой дюрацией будут реагировать сходным образом. Таким образом, процентное из­менение курса облигации связано с ее дюрацией по следующей формуле:

дельта Р / Р = -D (дельта y / (1+y))                                               (1)          

Эта формула показывает, что когда доходности двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, изменяются на один и тот же процент, то и курсы этих облигаций изменяются примерно на один и тот же процент [1, c 461].

Для примера рассмотрим облигацию, которая в настоящий момент продается по $1000 при доходности 8%. При условии, что дюрация облигации составляет 10 лет, насколько изменится ее цена при увеличении доходности до 9%? Используя формулу, по­лучим Ау = 9% - 8% = 1% = 0,01, отсюда Ау /(1 + у) = 0,01/1,08 = 0,00926 = 0,926% и - D [Ау /(1 + у)] ~ -10 (0,926%) = -9,26%, т.е. рост доходности на 1% приведет к падению курса приблизительно на 9,26% до $907 [$1000 - (0,0926 х $1000)].

Изменения временной структуры

Как отмечалось ранее, при изменении доходности меняются курсы большинства об­лигаций, но некоторые изменяются сильнее, чем другие. Даже облигации с одинако­вым сроком погашения могут по-разному реагировать на заданное изменение доходно­сти. Однако уравнение 1 показывает, что процентное изменение курса облигации связано с её дюрацией. Следовательно, курсы двух облигаций, имею­щих одну и ту же дюрацию, будут реагировать схожим образом на данное изменение доходности.

Например, облигация, показанная в табл. 1, имеет дюрацию 2,78 и доход­ность 10%. Если ее доходность меняется до 11%, то процентное изменение величины (1 + доходность) равно 0,91% [(1,11 - 1,10)/1,10], т.е. ее курс должен измениться при­мерно на-2,53% (-2,78x0,91%). Используя ставку дисконтирования 11%, можно точно вычислить курс, который будет равен $926,69, при этом фактическое изменение курса составит —$23,56 ($926,69 — $950,25), а соответствующее процентное изменение будет равно -2,48%

(-$23,56/$950,25). Любая другая облигация с дюрацией 2,78 даст похо­жее изменение курса при таком же изменении доходности.

Рассмотрим облигацию, со сроком обращения 4 года, которая также имеет дюра­цию 2,78 года. При одинаковых изменениях процентных ставок и доходностей по трехгодичным и четырехгодичным облигациям, их курсы также изменятся одинаково. На­пример, если доходность по четырехгодичным облигациям увеличивается с 10,8% до 11.81%, а доходность по трехгодичным облигациям увеличивается с 10 до 11%, то про­центное изменение приведенной стоимости четырехгодичной облигации будет примерно равно -2,53% {-2,78 х [(1,1181 - 1,108)/1,108] = 2,78 х 0,91%}, что совпадает с процент­ным изменением приведенной стоимости трехгодичной облигации.

Что произойдет, если процентные изменения величины (1 + доходность) будут различными? Другими словами, что случится, если временная структура изменится таким образом, что процентные изменения величины (1 + доходность) окажутся различны­ми для разных бумаг? Например, доходность по трехгодичным облигациям поднимется с 10 до 11% [процентное изменение 0,91% = (1,11 — 1,10)/1,10], а доходность по четы­рехгодичным облигациям увеличится с 10,8 до 11,5% [процентное изменение 0,63% = = (1,115 - 1,108)/1,108]. В этом случае процентное изменение цены четырехгодичной облигации примерно составит -1,75% {-2,78 х [(1,115-1,108)/1,108]}, что меньше -2,53% для трехгодичной облигации. Так что даже в том случае, если две облигации имеют одну и ту же дюрацию, это еще не значит, что их цены будут одинаково реаги­ровать на любые изменения доходности, поскольку эти изменения могут быть различ­ными для облигаций, имеющих равную дюрацию [1, c 463].

Иммунизация

Введение понятия дюрации привело к развитию техники управления пакетами облига­ций, которая известна под названием иммунизация ( immunization ). Именно эта техника позволяет портфельному менеджеру быть относительно уверенным в получении ожи­даемой суммы дохода. Иначе говоря, когда портфель сформирован, он «иммунизиру­ется» от нежелательных эффектов, связанных с будущими колебаниями процентных ставок.

Как достигается иммунизация

Иммунизация достигается путем вычисления дюрации обещанных платежей и форми­рования на этой основе портфеля облигаций с одинаковой дюрацией. Такой подход использует преимущество того, что дюрация портфеля облигаций равна взвешенному сред­ нему дюрации отдельных бумаг в портфеле. Например, если одну треть портфеля состав­ляют бумаги с дюрацией 6 лет, а две трети — бумаги с дюрацией 3 года, то сам портфель имеет дюрацию 4 года ('/з х 6 + ²/з х 3).

Рассмотрим простую ситуацию, когда менеджер должен через 2 года осуществить за счет своего портфеля только один платеж величиной в

$1 000 000. Поскольку выпла­та только одна, то ее дюрация составляет 2 года. Менеджер рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов. Первый тип облигаций показан в табл. 1 и имеет срок до погашения 3 года. Второй тип — это облигации со сроком погашения 1 год, с единовременным платежом $1070 (состоящим из $70 купонного платежа и $1000 номинала). Текущий курс этих облигаций равен $972,73, и, значит, их доходность к погашению равна 10%.

Рассмотрим альтернативы менеджера. Во-первых, все средства могут быть вложены в облигации со сроком погашения 1 год и реинвестированы через год вновь в ценные бумаги со сроком погашения 1 год. Однако такой подход сопряжен с риском. В частности, если процентные ставки снизятся в течение следующего года, тогда средства, полученные от погашенных облигаций, будут вложены по более низкой ставке, чем та, которая имеется в настоящее время, - 10%. Таким образом, менеджер сталкивается с риском, связанным с возможностью реинвестирования средств по более низкой ставке.

Во-вторых, он может вложить все средства в трехгодичные облигации, но это тоже сопряжено с риском. В частности, трехгодичные ценные бумаги должны быть проданы через 2 года, с тем чтобы получить $1 000 000. Риск состоит в том, что процентные ставки поднимутся до этого момента, приводя к общему снижению курсов облигаций. В этом случае облигации, возможно, не будут стоить $1 000 000, т.е. и здесь менеджер сталкивается с риском изменения процентной ставки.

Одно из возможных решений — инвестировать часть средств в одногодичные об­лигации, а часть в трехгодичные облигации. В какой пропорции их следует делить? При использовании иммунизации решение можно получить, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

                                       W, + W₃ = 1;                                             (2)   

                            (W_l х 1) + (W₃ х 2,78) = 2                                  (3)

Здесь W_l и W _} обозначают веса (или пропорции), по которым средства инвестируются в один и другой тип облигаций соответственно. Заметим, что уравнение (2) требует, чтобы сумма весов была равна 1. В соответствии с уравнением (3) взвешенное сред­нее дюраций бумаг портфеля должно быть равно дюрации выплаты, которая составляет 2 года. Решение этой системы уравнений найти легко. Перепишем вначале уравнение (2) в виде:

W _] = l - W ₃                                                                                                                   (4)

Затем подставим (1 - W ₃ ) вместо W ₁ в уравнение (3) и получим:

[(1- W ₃)х 1] + (W ₃х 2,78) = 2.                               (5)

Это одно уравнение с одним неизвестным может быть легко разрешено. В результате получим W _} = 0,5618. Подставляя это значение в уравнение (4), получим W ₁ = 0,4382. Таким образом, менеджер должен вложить 43,82% средств в одногодичные облигации, а 56,18% — в трехгодичные облигации.

В этом случае менеджеру понадобится $826 446 ($1 000 000/(1,10)²), с тем, чтобы приобрести облигации, которые составят полностью иммунизированный портфель. При этом $362 149 (0,4382 х $826 446) пойдет на приобретение одногодичных облигаций, а $464 297 (0,5618 х $826 446) - на приобретение трехгодичных облигаций. Поскольку текущие рыночные курсы одногодичных и трехгодичных облигаций равны $972,73 и $950,25 соответственно, это значит, что будет приобретено 372 ($362149/5972,73) одно­годичных облигаций и 489 ($464297/$950,25) трехгодичных облигаций [1, c463].

Что достигается посредством иммунизации? Теоретически, при росте доходности потери от продажи трехгодичных облигаций через два года с дисконтом будут в точности компенсированы прибылью от реинвестирования по более высокой ставке средств от по­гашенных одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год). В противном случае при падении доходности потери в результате реинвестиро­вания средств от одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных обли­гаций через год) по более низкой ставке будут компенсированы возможностью продать трехгодичные облигации через 2 года с премией. Таким образом, портфель иммунизи­ рован от влияния различных колебаний процентной ставки в будущем.