Подставим функцию в исходное дифференциальное уравнение .

Перенесем  в левую часть:

Очевидно, что выражение в скобках дает 0. Следовательно, найденная функция удовлетворяет ДУЧП.

Проверим, удовлетворяет ли функция начальным и граничным условиям.

;

;

;

 найденная функция удовлетворяет всем начальным и граничным условиям.

Теперь подберем такое количество членов ряда , чтобы равенство , удовлетворялось с точностью до 10^-5 при . Результат подбора при  - :

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
	0	0.07074	0.5403	0.87758	1	0.87758	0.54030	0.07073	0	0	0
	0	0.07074	0.5403	0.87758	1	0.87758	0.54030	0.07073	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

      График функции           График разложения  в ряд Фурье при  

Достоверность решения доказана.

Вывод конечно-разностных уравнений, формулировка вычислительной схемы метода конечных разностей

При решении уравнений с частными производными методом конечных разностей производные заменяются соответствующими разностями применяем .

 (1)

 (2)

 (3)

Краевая задача для волнового уравнения:

требуется найти решения уравнения , удовлетворяющие краевым условиям:

,

,

,

, .

то есть требуется найти решение  в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , ,  и значение производной при . Покроем нашу область сеткой, образованной прямыми

и будем определять приближенные значения в узлах сетки, т. е. в точках пересечения этих прямых. Введем обозначения: . Напишем вместо волнового уравнения соответствующее ему уравнение в конечных разностях для точки . В соответствии с формулами (1), (2) и (3) получим

В итоге получим систему из  уравнений, решения которой являются приближенными значениями функции в узлах сетки разбиения:

Табулирование значений искомой функции в узлах сетки, покрывающей область, в которой найдено решение. Построение графика найденной функции.

Таблица точных значений функции при следующих значениях управляющих параметров: , , , , , , :

Таблица приближенных значений функции при следующих значениях управляющих параметров: , , , , , , :

Как видно из представленных таблиц табуляции относительная погрешность между точными и приближёнными значениями функции достигает 30%. Это говорит о том, что конечно-разностный метод дает плохую сходимость для волнового уравнения. График найденной функции при вышеуказанных параметрах в области  приведен в приложении.