Функцию будем искать в виде | (1) |
Тогда ДУЧП принимает вид:
(2) |
где - это постоянная и по х, и по t.
Таким образом, ДУЧП заменилось на два обыкновенных ДУ относительно функций
При этих действиях и , так как в противном случае , что не удовлетворяет начальным условиям.
Переносим теперь нулевые граничные условия на одну из функций в равенстве (1):
Сформулируем задачу Штурма–Лиувилля: найти значения , при которых существуют нетривиальные решения системы
(3) |
Найти собственные функции , соответствующие собственным числам .
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общим решением уравнения является функция , где и - фундаментальная система частных решений, которая находится через характеристическое уравнение:
.
Рассмотрим 3 случая для значений , приводящих к различным корням характеристическое уравнение :
1) - действительные противоположные по знаку корни
- общее решение;
удовлетворяем нулевым граничным условиям:
;
так как , то - только тривиальное решение.
Задача Штурма-Лиувилля неразрешима при
2) - равные действительные корни
- общее решение;
удовлетворяем нулевым граничным условиям:
- только тривиальное решение. Задача Штурма-Лиувилля неразрешима при .
3) - комплексно-сопряженные корни
- общее решение;
удовлетворяем нулевым граничным условиям:
, | (4) |
Это собственные числа задачи Штурма – Лиувилля.
Соответствующие им собственные функции: . | (5) |
Решим теперь второе уравнение системы (2) при :
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. общим решением уравнения будет функция , где и - фундаментальная система частных решений, которая находится через характеристическое уравнение:
.
Мы будем предполагать, что коэффициент m настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значений . Ясно, что это будет тогда, когда . Вводя обозначение , получим . Следовательно, общее решение уравнения таково:
, | (6) |
где , | (7) |
Перемножим и и получим последовательность функций :
где
Каждая из этих функций удовлетворяет исходному уравнению и нулевым граничным условиям, следовательно ряд из этих функций будет удовлетворять этому уравнению и нулевым граничным условиям:
(8) |
Коэффициенты и можно найти, удовлетворяя функцию начальным условиям:
1)
. | (9) |
2)
, так как .
Таким образом, получено представление тригонометрическим рядом Фурье с разложением по синусам. Тогда коэффициенты можно определить по формулам Фурье.
(10) |
Так как функция равна 0 при , то интегрирование можно вести только по промежутку :
.
Вычислим сначала неопределенный круговой интеграл:
;
в подстановке имеем:
, .
Окончательно, .
Наконец, функция принимает вид:
, ,
где .
Дата: 2019-12-10, просмотров: 244.