Функцию  будем искать в виде

(1)

Тогда ДУЧП принимает вид:

(2)

где  - это постоянная и по х, и по t.

Таким образом, ДУЧП заменилось на два обыкновенных ДУ относительно функций

При этих действиях  и , так как  в противном случае , что не удовлетворяет начальным условиям.

Переносим теперь нулевые граничные условия на одну из функций в равенстве (1):

Сформулируем задачу Штурма–Лиувилля: найти значения , при которых существуют нетривиальные решения системы

(3)

Найти собственные функции , соответствующие собственным числам .

 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общим решением уравнения является функция , где  и  - фундаментальная система частных решений, которая находится через характеристическое уравнение:

.

Рассмотрим 3 случая для значений , приводящих к различным корням характеристическое уравнение :

1)  - действительные противоположные по знаку корни

 - общее решение;

удовлетворяем нулевым граничным условиям:

;

так как , то  - только тривиальное решение.

Задача Штурма-Лиувилля неразрешима при

2)  - равные действительные корни

 - общее решение;

удовлетворяем нулевым граничным условиям:

 - только тривиальное решение. Задача Штурма-Лиувилля неразрешима при .

3)  - комплексно-сопряженные корни

 - общее решение;

удовлетворяем нулевым граничным условиям:

,

(4)

Это собственные числа задачи Штурма – Лиувилля.

Соответствующие им собственные функции: .

(5)

Решим теперь второе уравнение системы (2) при :

 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. общим решением уравнения будет функция , где  и  - фундаментальная система частных решений, которая находится через характеристическое уравнение:

.

Мы будем предполагать, что коэффициент m настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значений . Ясно, что это будет тогда, когда . Вводя обозначение , получим . Следовательно, общее решение уравнения таково:

,	(6)
где ,	(7)

Перемножим  и  и получим последовательность функций :

где

Каждая из этих функций удовлетворяет исходному уравнению  и нулевым граничным условиям, следовательно ряд из этих функций будет удовлетворять этому уравнению и нулевым граничным условиям:

(8)

Коэффициенты  и  можно найти, удовлетворяя функцию начальным условиям:

1)

.

(9)

2)

, так как .

Таким образом, получено представление  тригонометрическим рядом Фурье с разложением по синусам. Тогда коэффициенты  можно определить по формулам Фурье.

(10)

Так как функция  равна 0 при , то интегрирование можно вести только по промежутку :

.

Вычислим сначала неопределенный круговой интеграл:

;

в подстановке имеем:

, .

Окончательно, .

Наконец, функция  принимает вид:

, ,

где .