10.4.1. Потеря устойчивости. У продольно сжатых стержней может наступить потеря устойчивости - катастрофическое нарастание деформаций и последующее разрушение под воздействием сил, которые настолько малы, что разрушения от сжатия произойти не может. Это происходит тогда, когда ось стержня имеет первоначальное искривление, или продольная сила действует с эксцентриситетом - появляется изгибающий момент, который разрушает стержень (рис.10.11) .

Уравнение продольного изгиба:

E*J* (d2z/dx2) = M (x) = - P*z . (10.18)

Решение этого уравнения при k = (P/E*J) **0.5 :

z (x) = C1*cos (k*x) + C2*sin (k*x) . (10.19)

Из граничных условий z = 0 при x = l следует: C1 = 0, k*l =

 = pi*n, где n = 1, 2, 3 ... Из (10.19) получают выражение для критической силы, вызывающей потерю устойчивости:

 (P)кр = E* (J)min* (pi*n/l) **2 . (10.20)

Для n = 1 получают минимальное значение критической силы (P) кр; если ввести промежуточные опоры по длине стержня, можно получить (P) кр при n = 2, 3 и т.д. (рис.10.12) .

10.4.2. Приведенная длина стержня. Влияние закрепления концов на устойчивость учитывают с помощью коэффициента приведения длины mju (рис.

 10.13) . В зависимости от характера закрепления концов на длине стержня возникает различное число полуволн синусоиды, что и учитывает коэффициент mju. Поэтому критическая сила

 (P)кр = (pi) **2* (E*J) min/ (mju*l) **2 . (10.21)

10.4.3. Гибкость стержня. Формула (10.21) справедлива, пока выполняется закон Гука, т.е. пока критическое напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности (sig) пц :

 (sig) кр = (P) кр/S = pi**2* (E*J) min/[S* (mju*l) **2 =

= pi**2*E/lam**2 <= (sig) пц, (10.22)

где lam = mju*l/i - гибкость стержня; i = (Jmin/S) **0.5 - наименьший главный радиус инерции сечения стержня.

Предельная гибкость стержня, при которой наступает потеря устойчивости:

 (lam) пр >= pi*[E/ (sig) пц]**0.5 . (10.23)

Если lam меньше этого значения, стержень разрушается от сжатия, потери устойчивости не будет. Считают, что для пластичных материалов (sig) кр = (sig) т, для хрупких (sig) кр = (sig) в, если lam < (lam) пр.

10.4.4. Расчет устойчивости. Для оценки устойчивости рассчитывают гибкость стержня lam, и если lam > (lam) пр, определяют критическую силу (P) кр по формуле (10.21), (sig) кр по формуле (10.22) .

Условие устойчивости: (sig) у = (sig) кр/nу, где nу = 1.8 - 3.2 коэффициент запаса по устойчивости.

Глава 11. Контактная прочность. Прочность при переменных нагрузках и сложных видах нагружения.

Контактная прочность деталей.

11.1.1. Общая характеристика. При контактировании поверхностей, из которых одна или обе криволинейны (теоретически контакт происходит по линии или в точке), возникают контактные напряжения и контактные деформации. Их определяют методами теории упругости, считая, что в контактной зоне образуется в общем случае эллиптическая площадка малых размеров, давление на которой распределяется также по закону эллипса (рис. 11.1) :

q (x,y) = qm*[1 - (x/a) **2 - (y/b) **2]**0.5, (11.1)

где qm - давление в центре площадки с полуосями a и b.

11.1.2. Напряжения в зоне контакта. Значение sig можно найти из условий равновесия: 

P = int{int[sig (x,y) *dx*dy]} ; (sig) max = 1.5*P/ (pi*a*b) . (11.2)

Размеры полуосей контакта:

a = alf*[P* (ro) пр/ (E)пр]** (1/3) ;

b = bet*[P* (ro) пр/ (E)пр]** (1/3),

где (ro) пр - приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей (рис.11.2) ; (E) пр - приведенный модуль упругости:

 (ro) пр = 4/ (1/ro11 + 1/ro12 + 1/ro21 + 1/ro22 ) ;

 (E)пр = (8/3) /{[1 - (nju1) **2]/E1 + [1 - (nju2) **2]/E2} . (11.3)

E1 и E2, nju1 и nju2 - соответственно модули упругости и коэффициенты Пуассона для материалов контактирующих поверхностей; ro11 и ro21, ro12 и ro22 - наибольшие и наименьшие радиусы кривизны.

Коэффициенты alf и bet зависят от взаимной ориентировки главных радиусов кривизны ro11 и ro21 и приведены в справочниках.

Для контакта двух шаров с радиусами R1 и R2 :

 (sig) max = 0.578*| P* (1/R +- 1/R) **2/{[1 - (nju1) **2]/E1 +

+ [1 - (nju2) **2]/E2} |** (1/3) . (11.4)

Для цилиндрических поверхностей с параллельными образующими и длиной контактной линии l

 (sig) max = 0.564*| P* (1/R +- 1/R) **2/l{[1 - (nju) **2]/E1 + [1 - (nju2) **2]/E2} |** (1/3) . (11.5)

11.1.3. Проверака контактной прочности. Материал в зоне контакта находится в состоянии всестороннего сжатия, поэтому допускаемые напряжения при расчете контактной прочности выше, чем предел прочности при одноосном сжатии (sig) c в 1.5 - 1.8 раза. Для различных материалов допустимые напряжения (sig) кp приведены в справочниках.